Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde A

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

havo wiskunde A 9.1 Exponentiële groei

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per dag met \(1{,}8\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{dag}} = 1 + {1{,}8 \over 100} = 1{,}018 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}018^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}018^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 38{,}853...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(38{,}9\) dagen.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per dag met \(5{,}2\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{dag}} = 1 - {5{,}2 \over 100} = 0{,}948 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}948^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}948^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 12{,}980...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(13{,}0\) dagen.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(11{,}5\) seconden.

3p

Bereken de procentuele toename per seconde.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per seconde is de oplossing van de vergelijking \(g^{11{,}5} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{11{,}5}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}062...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}062... - 1) × 100\% = 6{,}2\%\) per seconde.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(18{,}7\) weken.

3p

Bereken de procentuele afname per week.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per week is de oplossing van de vergelijking \(g^{18{,}7} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{18{,}7}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}963...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}963... - 1) × 100\% = -3{,}6\%\) dus een procentuele afname van \(3{,}6\%\) per week.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per seconde met \(2{,}6\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(76\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{seconde}} = 1 + {2{,}6 \over 100} = 1{,}026 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(76\%\) komt overeen met een factor \(1 + {76 \over 100} = 1{,}76 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}026^{t} = 1{,}76 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}026^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}76\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 22{,}024...\)

1p

○

Dus duurt het \(22{,}0\) seconden voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(76\% \text{.}\)

1p
"