Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde A

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

havo wiskunde A 9.1 Exponentiële groei

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per kwartier met \(2{,}2\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{kwartier}} = {2{,}2 \over 100} + 1 = 1{,}022 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}022^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}022^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 31{,}852...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(31{,}9\) kwartier.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per minuut met \(1{,}2\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{minuut}} = {-1{,}2 \over 100} + 1 = 0{,}988 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}988^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}988^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 57{,}414...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(57{,}4\) minuten.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(13{,}6\) weken.

3p

Bereken de procentuele toename per week.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per week is de oplossing van de vergelijking \(g^{13{,}6} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{13{,}6}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}052...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}052... - 1) × 100\% = 5{,}2\%\) per week.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(20{,}3\) dagen.

3p

Bereken de procentuele afname per dag.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per dag is de oplossing van de vergelijking \(g^{20{,}3} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{20{,}3}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}966...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}966... - 1) × 100\% = -3{,}4\%\) dus een procentuele afname van \(3{,}4\%\) per dag.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per minuut met \(3{,}2\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(72\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{minuut}} = {3{,}2 \over 100} + 1 = 1{,}032 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(72\%\) komt overeen met een factor \({72 \over 100} + 1 = 1{,}72 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}032^{t} = 1{,}72 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}032^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}72\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 17{,}217...\)

1p

○

Dus duurt het \(17{,}2\) minuten voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(72\% \text{.}\)

1p
"