Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(-2, 4)\) en \(B(-1, 0)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis ○ \(d(A, B)=\sqrt{(-2--1)^2+(4-0)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(-4, -3)\) en de lijn \(l{:}\,x-2y=-3\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - data pool: #1576 (102ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-2x-y=c \\ A(-4, -3)\end{rcases}c=-2⋅-4-1⋅-3=11\) Dus \(n{:}\,-2x-y=11\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}x-2y=-3 \\ -2x-y=11\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2x-4y=-6 \\ -2x-y=11\end{cases}\) Optellen geeft \(-5y=5\) dus \(y=-1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x-2y=-3 \\ y=-1\end{rcases}\begin{matrix}x-2⋅-1=-3 \\ x=-5\end{matrix}\) Dus \(S(-5, -1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-4--5)^2+(-3--1)^2}=\sqrt{5}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn het punt \(A(-2, -4)\) en de lijn \(l{:}\,-4x-2y=1\text{.}\) 5p Stel een vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(-2, -4)\) die de lijn \(l{:}\,-4x-2y=1\) raakt. OpstellenCirkelMetRaaklijn 00bw - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - data pool: #1576 (102ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-2x+4y=c \\ M(-2, -4)\end{rcases}c=-2⋅-2+4⋅-4=-12\) Dus \(n{:}\,-2x+4y=-12\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-4x-2y=1 \\ -2x+4y=-12\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-4x-2y=1 \\ -4x+8y=-24\end{cases}\) Aftrekken geeft \(-10y=25\) dus \(y=-2\frac{1}{2}\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-4x-2y=1 \\ y=-2\frac{1}{2}\end{rcases}\begin{matrix}-4x-2⋅-2\frac{1}{2}=1 \\ x=1\end{matrix}\) Dus \(S(1, -2\frac{1}{2})\text{.}\) 1p ○ \(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(-2-1)^2+(-4--2\frac{1}{2})^2}=\sqrt{11\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p ○ \(M(-2, -4)\) en \(r=d(M, l)=\sqrt{11\frac{1}{4}}\text{,}\) dus \(c{:}\,(x+2)^2+(y+4)^2=11\frac{1}{4}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-4x+2y-7=0\) en het punt \(A(6, 3)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-2)^2+(y+1)^2=12\) Dus \(M(2, -1)\) en \(r=\sqrt{12}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(2-6)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{32}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M, A)>r\text{,}\) dus \(d(c, A)=d(M, A)-r=\sqrt{32}-\sqrt{12}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+2)^2+(y+4)^2=32\) en het punt \(A(-7, -1)\text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis ○ \(M(-2, -4)\) en \(r=\sqrt{32}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(-7--2)^2+(-1--4)^2}=\sqrt{34}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)>r\text{,}\) dus \(A\) ligt buiten \(c\text{.}\) 1p

"