Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(3, 1)\) en \(B(6, -3)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(3-6)^2+(1--3)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(-2, 5)\) en de lijn \(l{:}\,-4x+y=-4\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #1576 (127ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,x+4y=c \\ A(-2, 5)\end{rcases}c=1⋅-2+4⋅5=18\) Dus \(n{:}\,x+4y=18\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-4x+y=-4 \\ x+4y=18\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 4\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-4x+y=-4 \\ 4x+16y=72\end{cases}\) Optellen geeft \(17y=68\) dus \(y=4\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-4x+y=-4 \\ y=4\end{rcases}\begin{matrix}-4x+1⋅4=-4 \\ x=2\end{matrix}\) Dus \(S(2, 4)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-2-2)^2+(5-4)^2}=\sqrt{17}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (3)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-2x-9=0\) en het punt \(A(3, 2)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-1)^2+y^2=10\) Dus \(M(1, 0)\) en \(r=\sqrt{10}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(1-3)^2+(0-2)^2}=\sqrt{8}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{8}<\sqrt{10}\text{,}\) dus \(d(M, A)<r\) en dus \(d(c, A)=r-d(M, A)=\sqrt{10}-\sqrt{8}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+2)^2+(y-4)^2=10\) en het punt \(A(-5, 5)\text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M(-2, 4)\) en \(r=\sqrt{10}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(-5--2)^2+(5-4)^2}=\sqrt{10}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=r\text{,}\) dus \(A\) ligt op \(c\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+3)^2+(y+4)^2=3\) en de lijn \(l{:}\,2x-y=3\text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #1576 (127ms) ○ \(M(-3, -4)\) en \(r=\sqrt{3}\text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-x-2y=c \\ M(-3, -4)\end{rcases}c=-1⋅-3-2⋅-4=11\) Dus \(n{:}\,-x-2y=11\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}2x-y=3 \\ -x-2y=11\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2x-y=3 \\ -2x-4y=22\end{cases}\) Optellen geeft \(-5y=25\) dus \(y=-5\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}2x-y=3 \\ y=-5\end{rcases}\begin{matrix}2x-1⋅-5=3 \\ x=-1\end{matrix}\) Dus \(S(-1, -5)\text{.}\) 1p ○ \(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(-3--1)^2+(-4--5)^2}=\sqrt{5}\text{.}\) 1p ○ \(d(c, l)=d(M, l)-r=\sqrt{5}-\sqrt{3}\text{.}\) 1p

"