Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (1 , -4)\) en \(B (5 , -5) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(1 - 5)^{2} + (-4 - -5)^{2}} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (-4 , 4)\) en de lijn \(l{:}\,5 x - 2 y = 1 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (49ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-2 x - 5 y = c \\ A (-4 , 4)\end{rcases} c = -2 ⋅ -4 - 5 ⋅ 4 = -12\) Dus \(n{:}\,-2 x - 5 y = -12 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}5 x - 2 y = 1 \\ -2 x - 5 y = -12\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 5\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}10 x - 4 y = 2 \\ -10 x - 25 y = -60\end{cases}\) Optellen geeft \(-29 y = -58\) dus \(y = 2 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}5 x - 2 y = 1 \\ y = 2\end{rcases} \begin{matrix}5 x - 2 ⋅ 2 = 1 \\ x = 1\end{matrix}\) Dus \(S (1 , 2) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(-4 - 1)^{2} + (4 - 2)^{2}} = \sqrt{29} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (3)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 x - 2 y + 14 = 0\) en het punt \(A (-3 , 2) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 3ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 3\) Dus \(M (-4 , 1)\) en \(r = \sqrt{3} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-4 - -3)^{2} + (1 - 2)^{2}} = \sqrt{2} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2} < \sqrt{3} \text{,}\) dus \(d(M , A) < r\) en dus \(d(c , A) = r - d(M , A) = \sqrt{3} - \sqrt{2} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} = 23\) en het punt \(A (5 , 4) \text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(M (4 , -1)\) en \(r = \sqrt{23} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(5 - 4)^{2} + (4 - -1)^{2}} = \sqrt{26} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(A\) ligt buiten \(c \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x + 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 17\) en de lijn \(l{:}\,5 x - 3 y = -1 \text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #788 (49ms) ○ \(M (-4 , 5)\) en \(r = \sqrt{17} \text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-3 x - 5 y = c \\ M (-4 , 5)\end{rcases} c = -3 ⋅ -4 - 5 ⋅ 5 = -13\) Dus \(n{:}\,-3 x - 5 y = -13 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}5 x - 3 y = -1 \\ -3 x - 5 y = -13\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 5\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}15 x - 9 y = -3 \\ -15 x - 25 y = -65\end{cases}\) Optellen geeft \(-34 y = -68\) dus \(y = 2 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}5 x - 3 y = -1 \\ y = 2\end{rcases} \begin{matrix}5 x - 3 ⋅ 2 = -1 \\ x = 1\end{matrix}\) Dus \(S (1 , 2) \text{.}\) 1p ○ \(d(M , l) = d(M , S) = \sqrt{(-4 - 1)^{2} + (5 - 2)^{2}} = \sqrt{34} \text{.}\) 1p ○ \(d(c , l) = d(M , l) - r = \sqrt{34} - \sqrt{17} \text{.}\) 1p

"