Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (4 , -3)\) en \(B (9 , -7) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(4 - 9)^{2} + (-3 - -7)^{2}} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (5 , 3)\) en de lijn \(l{:}\,3 x + 5 y = -4 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (57ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,5 x - 3 y = c \\ A (5 , 3)\end{rcases} c = 5 ⋅ 5 - 3 ⋅ 3 = 16\) Dus \(n{:}\,5 x - 3 y = 16 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}3 x + 5 y = -4 \\ 5 x - 3 y = 16\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}5 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}15 x + 25 y = -20 \\ 15 x - 9 y = 48\end{cases}\) Aftrekken geeft \(34 y = -68\) dus \(y = -2 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}3 x + 5 y = -4 \\ y = -2\end{rcases} \begin{matrix}3 x + 5 ⋅ -2 = -4 \\ x = 2\end{matrix}\) Dus \(S (2 , -2) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(5 - 2)^{2} + (3 - -2)^{2}} = \sqrt{34} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (3)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 y + 2 = 0\) en het punt \(A (-4 , 0) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^{2} + (y - 4)^{2} = 14\) Dus \(M (0 , 4)\) en \(r = \sqrt{14} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(0 - -4)^{2} + (4 - 0)^{2}} = \sqrt{32} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(d(c , A) = d(M , A) - r = \sqrt{32} - \sqrt{14} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 13\) en het punt \(A (5 , -4) \text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M (3 , -1)\) en \(r = \sqrt{13} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(5 - 3)^{2} + (-4 - -1)^{2}} = \sqrt{13} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = r \text{,}\) dus \(A\) ligt op \(c \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 25\) en de lijn \(l{:}\,x + 5 y = -4 \text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #788 (57ms) ○ \(M (2 , 4)\) en \(r = 5 \text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,5 x - y = c \\ M (2 , 4)\end{rcases} c = 5 ⋅ 2 - 1 ⋅ 4 = 6\) Dus \(n{:}\,5 x - y = 6 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}x + 5 y = -4 \\ 5 x - y = 6\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}5 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}5 x + 25 y = -20 \\ 5 x - y = 6\end{cases}\) Aftrekken geeft \(26 y = -26\) dus \(y = -1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x + 5 y = -4 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}x + 5 ⋅ -1 = -4 \\ x = 1\end{matrix}\) Dus \(S (1 , -1) \text{.}\) 1p ○ \(d(M , l) = d(M , S) = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (4 - -1)^{2}} = \sqrt{26} \text{.}\) 1p ○ \(d(c , l) = d(M , l) - r = \sqrt{26} - 5 \text{.}\) 1p

"