Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(1, 2)\) en \(B(4, -3)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(1-4)^2+(2--3)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(2, 4)\) en de lijn \(l{:}\,-x-3y=-4\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 191ms - data pool: #1576 (191ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-3x+y=c \\ A(2, 4)\end{rcases}c=-3⋅2+1⋅4=-2\) Dus \(n{:}\,-3x+y=-2\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-x-3y=-4 \\ -3x+y=-2\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-3x-9y=-12 \\ -3x+y=-2\end{cases}\) Aftrekken geeft \(-10y=-10\) dus \(y=1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-x-3y=-4 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}-x-3⋅1=-4 \\ x=1\end{matrix}\) Dus \(S(1, 1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(2-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{10}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn het punt \(A(-4, 3)\) en de lijn \(l{:}\,-x+4y=-1\text{.}\) 5p Stel een vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(A(-4, 3)\) die de lijn \(l{:}\,-x+4y=-1\) raakt. OpstellenCirkelMetRaaklijn 00bw - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 141ms - data pool: #1576 (191ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,4x+y=c \\ A(-4, 3)\end{rcases}c=4⋅-4+1⋅3=-13\) Dus \(n{:}\,4x+y=-13\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-x+4y=-1 \\ 4x+y=-13\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}4 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-4x+16y=-4 \\ 4x+y=-13\end{cases}\) Optellen geeft \(17y=-17\) dus \(y=-1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-x+4y=-1 \\ y=-1\end{rcases}\begin{matrix}-x+4⋅-1=-1 \\ x=-3\end{matrix}\) Dus \(S(-3, -1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-4--3)^2+(3--1)^2}=\sqrt{17}\text{.}\) 1p ○ \(A(-4, 3)\) en \(r=d(A, l)=\sqrt{17}\text{,}\) dus \(c{:}\,(x+4)^2+(y-3)^2=17\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8y=0\) en het punt \(A(2, 6)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 3ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+(y-4)^2=16\) Dus \(M(0, 4)\) en \(r=\sqrt{16}=4\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(0-2)^2+(4-6)^2}=\sqrt{8}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{8}<\sqrt{16}\text{,}\) dus \(d(M, A)<r\) en dus \(d(c, A)=r-d(M, A)=4-\sqrt{8}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x-2)^2+(y-1)^2=20\) en het punt \(A(0, 5)\text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M(2, 1)\) en \(r=\sqrt{20}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(0-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{20}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=r\text{,}\) dus \(A\) ligt op \(c\text{.}\) 1p

"