Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (1 , 2)\) en \(B (-4 , 6) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(1 - -4)^{2} + (2 - 6)^{2}} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (4 , -5)\) en de lijn \(l{:}\,x - 2 y = 4 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (51ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-2 x - y = c \\ A (4 , -5)\end{rcases} c = -2 ⋅ 4 - 1 ⋅ -5 = -3\) Dus \(n{:}\,-2 x - y = -3 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}x - 2 y = 4 \\ -2 x - y = -3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x - 4 y = 8 \\ -2 x - y = -3\end{cases}\) Optellen geeft \(-5 y = 5\) dus \(y = -1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x - 2 y = 4 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}x - 2 ⋅ -1 = 4 \\ x = 2\end{matrix}\) Dus \(S (2 , -1) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(4 - 2)^{2} + (-5 - -1)^{2}} = \sqrt{20} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (3)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 4 y + 1 = 0\) en het punt \(A (1 , -1) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^{2} + (y + 2)^{2} = 3\) Dus \(M (0 , -2)\) en \(r = \sqrt{3} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(0 - 1)^{2} + (-2 - -1)^{2}} = \sqrt{2} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2} < \sqrt{3} \text{,}\) dus \(d(M , A) < r\) en dus \(d(c , A) = r - d(M , A) = \sqrt{3} - \sqrt{2} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x + 1)^{2} + (y + 4)^{2} = 37\) en het punt \(A (-4 , 1) \text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(M (-1 , -4)\) en \(r = \sqrt{37} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-4 - -1)^{2} + (1 - -4)^{2}} = \sqrt{34} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) < r \text{,}\) dus \(A\) ligt binnen \(c \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x + 5)^{2} + (y + 2)^{2} = 4\) en de lijn \(l{:}\,x + 2 y = 1 \text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #788 (51ms) ○ \(M (-5 , -2)\) en \(r = 2 \text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,2 x - y = c \\ M (-5 , -2)\end{rcases} c = 2 ⋅ -5 - 1 ⋅ -2 = -8\) Dus \(n{:}\,2 x - y = -8 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}x + 2 y = 1 \\ 2 x - y = -8\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x + 4 y = 2 \\ 2 x - y = -8\end{cases}\) Aftrekken geeft \(5 y = 10\) dus \(y = 2 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x + 2 y = 1 \\ y = 2\end{rcases} \begin{matrix}x + 2 ⋅ 2 = 1 \\ x = -3\end{matrix}\) Dus \(S (-3 , 2) \text{.}\) 1p ○ \(d(M , l) = d(M , S) = \sqrt{(-5 - -3)^{2} + (-2 - 2)^{2}} = \sqrt{20} \text{.}\) 1p ○ \(d(c , l) = d(M , l) - r = \sqrt{20} - 2 \text{.}\) 1p

"