Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(3, -4)\) en \(B(7, 1)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(3-7)^2+(-4-1)^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(5, -2)\) en de lijn \(l{:}\,3x+y=3\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (97ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,x-3y=c \\ A(5, -2)\end{rcases}c=1⋅5-3⋅-2=11\) Dus \(n{:}\,x-3y=11\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}3x+y=3 \\ x-3y=11\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3x+y=3 \\ 3x-9y=33\end{cases}\) Aftrekken geeft \(10y=-30\) dus \(y=-3\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}3x+y=3 \\ y=-3\end{rcases}\begin{matrix}3x+1⋅-3=3 \\ x=2\end{matrix}\) Dus \(S(2, -3)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(5-2)^2+(-2--3)^2}=\sqrt{10}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (3)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+8x+1=0\) en het punt \(A(-7, -3)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 4ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x+4)^2+y^2=15\) Dus \(M(-4, 0)\) en \(r=\sqrt{15}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(-4--7)^2+(0--3)^2}=\sqrt{18}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M, A)>r\text{,}\) dus \(d(c, A)=d(M, A)-r=\sqrt{18}-\sqrt{15}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+1)^2+(y+3)^2=41\) en het punt \(A(4, 1)\text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M(-1, -3)\) en \(r=\sqrt{41}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(4--1)^2+(1--3)^2}=\sqrt{41}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=r\text{,}\) dus \(A\) ligt op \(c\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x-5)^2+(y-3)^2=6\) en de lijn \(l{:}\,x+2y=1\text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms - data pool: #788 (97ms) ○ \(M(5, 3)\) en \(r=\sqrt{6}\text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,2x-y=c \\ M(5, 3)\end{rcases}c=2⋅5-1⋅3=7\) Dus \(n{:}\,2x-y=7\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}x+2y=1 \\ 2x-y=7\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2x+4y=2 \\ 2x-y=7\end{cases}\) Aftrekken geeft \(5y=-5\) dus \(y=-1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x+2y=1 \\ y=-1\end{rcases}\begin{matrix}x+2⋅-1=1 \\ x=3\end{matrix}\) Dus \(S(3, -1)\text{.}\) 1p ○ \(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(5-3)^2+(3--1)^2}=\sqrt{20}\text{.}\) 1p ○ \(d(c, l)=d(M, l)-r=\sqrt{20}-\sqrt{6}\text{.}\) 1p

"