Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (-1 , -4)\) en \(B (2 , -9) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(-1 - 2)^{2} + (-4 - -9)^{2}} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (4 , -2)\) en de lijn \(l{:}\,2 x - 4 y = -4 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (58ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-4 x - 2 y = c \\ A (4 , -2)\end{rcases} c = -4 ⋅ 4 - 2 ⋅ -2 = -12\) Dus \(n{:}\,-4 x - 2 y = -12 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}2 x - 4 y = -4 \\ -4 x - 2 y = -12\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x - 8 y = -8 \\ -4 x - 2 y = -12\end{cases}\) Optellen geeft \(-10 y = -20\) dus \(y = 2 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}2 x - 4 y = -4 \\ y = 2\end{rcases} \begin{matrix}2 x - 4 ⋅ 2 = -4 \\ x = 2\end{matrix}\) Dus \(S (2 , 2) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(4 - 2)^{2} + (-2 - 2)^{2}} = \sqrt{20} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (3)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 16 = 0\) en het punt \(A (2 , -5) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 3)^{2} + (y + 4)^{2} = 9\) Dus \(M (3 , -4)\) en \(r = \sqrt{9} = 3 \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(3 - 2)^{2} + (-4 - -5)^{2}} = \sqrt{2} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2} < \sqrt{9} \text{,}\) dus \(d(M , A) < r\) en dus \(d(c , A) = r - d(M , A) = 3 - \sqrt{2} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 18\) en het punt \(A (-6 , 7) \text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(M (-4 , 3)\) en \(r = \sqrt{18} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-6 - -4)^{2} + (7 - 3)^{2}} = \sqrt{20} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(A\) ligt buiten \(c \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 5)^{2} + (y + 2)^{2} = 5\) en de lijn \(l{:}\,3 x + y = 3 \text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #788 (58ms) ○ \(M (5 , -2)\) en \(r = \sqrt{5} \text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,x - 3 y = c \\ M (5 , -2)\end{rcases} c = 1 ⋅ 5 - 3 ⋅ -2 = 11\) Dus \(n{:}\,x - 3 y = 11 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}3 x + y = 3 \\ x - 3 y = 11\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3 x + y = 3 \\ 3 x - 9 y = 33\end{cases}\) Aftrekken geeft \(10 y = -30\) dus \(y = -3 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}3 x + y = 3 \\ y = -3\end{rcases} \begin{matrix}3 x + 1 ⋅ -3 = 3 \\ x = 2\end{matrix}\) Dus \(S (2 , -3) \text{.}\) 1p ○ \(d(M , l) = d(M , S) = \sqrt{(5 - 2)^{2} + (-2 - -3)^{2}} = \sqrt{10} \text{.}\) 1p ○ \(d(c , l) = d(M , l) - r = \sqrt{10}-\sqrt{5} = \sqrt{10}-\sqrt{5} \text{.}\) 1p

"