Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(1, -3)\) en \(B(6, -6)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(1-6)^2+(-3--6)^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(-4, -2)\) en de lijn \(l{:}\,-3x+2y=-5\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #1576 (120ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,2x+3y=c \\ A(-4, -2)\end{rcases}c=2⋅-4+3⋅-2=-14\) Dus \(n{:}\,2x+3y=-14\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-3x+2y=-5 \\ 2x+3y=-14\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-6x+4y=-10 \\ 6x+9y=-42\end{cases}\) Optellen geeft \(13y=-52\) dus \(y=-4\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-3x+2y=-5 \\ y=-4\end{rcases}\begin{matrix}-3x+2⋅-4=-5 \\ x=-1\end{matrix}\) Dus \(S(-1, -4)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-4--1)^2+(-2--4)^2}=\sqrt{13}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn het punt \(A(5, -4)\) en de lijn \(l{:}\,-2x+5y=-1\text{.}\) 5p Stel een vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(A(5, -4)\) die de lijn \(l{:}\,-2x+5y=-1\) raakt. OpstellenCirkelMetRaaklijn 00bw - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #1576 (120ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,5x+2y=c \\ A(5, -4)\end{rcases}c=5⋅5+2⋅-4=17\) Dus \(n{:}\,5x+2y=17\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-2x+5y=-1 \\ 5x+2y=17\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}5 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-10x+25y=-5 \\ 10x+4y=34\end{cases}\) Optellen geeft \(29y=29\) dus \(y=1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-2x+5y=-1 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}-2x+5⋅1=-1 \\ x=3\end{matrix}\) Dus \(S(3, 1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(5-3)^2+(-4-1)^2}=\sqrt{29}\text{.}\) 1p ○ \(A(5, -4)\) en \(r=d(A, l)=\sqrt{29}\text{,}\) dus \(c{:}\,(x-5)^2+(y+4)^2=29\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-6x-2y+4=0\) en het punt \(A(-1, -3)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-3)^2+(y-1)^2=6\) Dus \(M(3, 1)\) en \(r=\sqrt{6}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(3--1)^2+(1--3)^2}=\sqrt{32}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M, A)>r\text{,}\) dus \(d(c, A)=d(M, A)-r=\sqrt{32}-\sqrt{6}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+1)^2+(y-3)^2=8\) en het punt \(A(-4, 1)\text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M(-1, 3)\) en \(r=\sqrt{8}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(-4--1)^2+(1-3)^2}=\sqrt{13}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)>r\text{,}\) dus \(A\) ligt buiten \(c\text{.}\) 1p

"