Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(-3, -2)\) en \(B(2, 2)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(-3-2)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(-2, 5)\) en de lijn \(l{:}\,x-4y=-5\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 191ms - data pool: #1576 (191ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-4x-y=c \\ A(-2, 5)\end{rcases}c=-4⋅-2-1⋅5=3\) Dus \(n{:}\,-4x-y=3\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}x-4y=-5 \\ -4x-y=3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}4 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4x-16y=-20 \\ -4x-y=3\end{cases}\) Optellen geeft \(-17y=-17\) dus \(y=1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x-4y=-5 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}x-4⋅1=-5 \\ x=-1\end{matrix}\) Dus \(S(-1, 1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-2--1)^2+(5-1)^2}=\sqrt{17}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn het punt \(A(5, -2)\) en de lijn \(l{:}\,-x+3y=-1\text{.}\) 5p Stel een vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(A(5, -2)\) die de lijn \(l{:}\,-x+3y=-1\) raakt. OpstellenCirkelMetRaaklijn 00bw - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 141ms - data pool: #1576 (191ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,3x+y=c \\ A(5, -2)\end{rcases}c=3⋅5+1⋅-2=13\) Dus \(n{:}\,3x+y=13\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-x+3y=-1 \\ 3x+y=13\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-3x+9y=-3 \\ 3x+y=13\end{cases}\) Optellen geeft \(10y=10\) dus \(y=1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-x+3y=-1 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}-x+3⋅1=-1 \\ x=4\end{matrix}\) Dus \(S(4, 1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(5-4)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{10}\text{.}\) 1p ○ \(A(5, -2)\) en \(r=d(A, l)=\sqrt{10}\text{,}\) dus \(c{:}\,(x-5)^2+(y+2)^2=10\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x-2y+11=0\) en het punt \(A(1, -3)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 3ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-5)^2+(y-1)^2=15\) Dus \(M(5, 1)\) en \(r=\sqrt{15}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(5-1)^2+(1--3)^2}=\sqrt{32}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M, A)>r\text{,}\) dus \(d(c, A)=d(M, A)-r=\sqrt{32}-\sqrt{15}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+1)^2+(y+2)^2=10\) en het punt \(A(-2, -4)\text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M(-1, -2)\) en \(r=\sqrt{10}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(-2--1)^2+(-4--2)^2}=\sqrt{5}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)<r\text{,}\) dus \(A\) ligt binnen \(c\text{.}\) 1p

"