Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (11)	opgave 1 Gegeven is het punt \(M(7, 3)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(c{:}\,(x-7)^2+(y-3)^2=16\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M(-1, -4)\) en \(A(-5, -9)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(-1--5)^2+(-4--9)^2}=\sqrt{41}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+1)^2+(y+4)^2=41\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A(-2, -5)\) en \(B(-7, 3)\text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus \(M({1 \over 2}(-2+-7), {1 \over 2}(-5+3))=M(-4\frac{1}{2}, -1)\text{.}\) 1p ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(-4\frac{1}{2}--2)^2+(-1--5)^2}=\sqrt{22\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+4\frac{1}{2})^2+(y+1)^2=22\frac{1}{4}\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M(-4, 2)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x\text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=2\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+4)^2+(y-2)^2=4\text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het punt \(M(1, 0)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x-1)^2+y^2=16\text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+4x-6y-23=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2+4x-6y-23=0\) \((x+2)^2-4+(y-3)^2-9-23=0\) \((x+2)^2+(y-3)^2=36\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(-2, 3)\) en \(r=\sqrt{36}=6\text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x+11y+29=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-8x+11y+29=0\) \((x-4)^2-16+(y+5\frac{1}{2})^2-30\frac{1}{4}+29=0\) \((x-4)^2+(y+5\frac{1}{2})^2=17\frac{1}{4}\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(4, -5\frac{1}{2})\) en \(r=\sqrt{17\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+12y+32=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2+12y+32=0\) \(x^2+(y+6)^2-36+32=0\) \(x^2+(y+6)^2=4\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(0, -6)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\) 1p opgave 9 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x+10y+24=0\text{.}\) De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=8\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\) 2p Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\) PuntenMetGegevenCoordinaat 00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(x=8\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft \(8^2+y^2-8⋅8+10y+24=0\text{.}\) 1p ○ De vergelijking oplossen geeft \(y^2+10y+24=0\) \((y+6)(y+4)=0\) \(y=-6∨y=-4\) \(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(8, -4)\) en \(B(8, -6)\text{.}\) 1p opgave 10 Gegeven is het punt \(M(5, 3)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(7\text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x-5)^2+(y-3)^2=49\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2-10x+25+y^2-6y+9=49\) en dus \(c{:}\,x^2+y^2-10x-6y-15=0\text{.}\) 1p opgave 11 Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=5x+4\) ligt, die straal \(3\) hebben en die de \(x\text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ De cirkels raken de \(x\text{-}\)as en hebben straal \(3\text{,}\) dus \(y_M=3\) of \(y_M=-3\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=5x+4 \\ y_M=3\end{rcases}\text{ geeft }5x+4=3\text{ dus }x_M=-\frac{1}{5}\) 1p ○ Middelpunt \(M_1(-\frac{1}{5}, 3)\) en straal \(r=3\text{,}\) dus \(c_1{:}\,(x+\frac{1}{5})^2+(y-3)^2=9\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y=5x+4 \\ y_M=-3\end{rcases}\text{ geeft }5x+4=-3\text{ dus }x_M=-1\frac{2}{5}\) Middelpunt \(M_2(-1\frac{2}{5}, -3)\) en straal \(r=3\text{,}\) dus \(c_2{:}\,(x+1\frac{2}{5})^2+(y+3)^2=9\) 1p

havo wiskunde B

7.3 Cirkelvergelijkingen

De vergelijking van een cirkel (11)

opgave 1

Gegeven is het punt \(M(7, 3)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (1)

00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

\(c{:}\,(x-7)^2+(y-3)^2=16\text{.}\)

opgave 2

Gegeven zijn de punten \(M(-1, -4)\) en \(A(-5, -9)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.

MiddelpuntDoorPunt

00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-1--5)^2+(-4--9)^2}=\sqrt{41}\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x+1)^2+(y+4)^2=41\text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(A(-2, -5)\) en \(B(-7, 3)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

Middellijn

00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(-2+-7), {1 \over 2}(-5+3))=M(-4\frac{1}{2}, -1)\text{.}\)

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-4\frac{1}{2}--2)^2+(-1--5)^2}=\sqrt{22\frac{1}{4}}\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x+4\frac{1}{2})^2+(y+1)^2=22\frac{1}{4}\text{.}\)

opgave 4

Gegeven is het punt \(M(-4, 2)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x\text{-}\)as.

MiddelpuntRaaktAanAs

00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=2\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x+4)^2+(y-2)^2=4\text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het punt \(M(1, 0)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (2)

00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,(x-1)^2+y^2=16\text{.}\)

opgave 6

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+4x-6y-23=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (1)

00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+4x-6y-23=0\)
\((x+2)^2-4+(y-3)^2-9-23=0\)
\((x+2)^2+(y-3)^2=36\text{.}\)

○

Dus \(M(-2, 3)\) en \(r=\sqrt{36}=6\text{.}\)

opgave 7

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x+11y+29=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (2)

00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-8x+11y+29=0\)
\((x-4)^2-16+(y+5\frac{1}{2})^2-30\frac{1}{4}+29=0\)
\((x-4)^2+(y+5\frac{1}{2})^2=17\frac{1}{4}\text{.}\)

○

Dus \(M(4, -5\frac{1}{2})\) en \(r=\sqrt{17\frac{1}{4}}\text{.}\)

opgave 8

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+12y+32=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (3)

00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+12y+32=0\)
\(x^2+(y+6)^2-36+32=0\)
\(x^2+(y+6)^2=4\text{.}\)

○

Dus \(M(0, -6)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\)

opgave 9

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x+10y+24=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=8\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\)

Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\)

PuntenMetGegevenCoordinaat

00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

\(x=8\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(8^2+y^2-8⋅8+10y+24=0\text{.}\)

○

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2+10y+24=0\)
\((y+6)(y+4)=0\)
\(y=-6∨y=-4\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(8, -4)\) en \(B(8, -6)\text{.}\)

opgave 10

Gegeven is het punt \(M(5, 3)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(7\text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (3)

00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,(x-5)^2+(y-3)^2=49\text{.}\)

○

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2-10x+25+y^2-6y+9=49\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2-10x-6y-15=0\text{.}\)

opgave 11

Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=5x+4\) ligt, die straal \(3\) hebben en die de \(x\text{-}\)as raken.

Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op.

MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs

00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

De cirkels raken de \(x\text{-}\)as en hebben straal \(3\text{,}\) dus \(y_M=3\) of \(y_M=-3\text{.}\)

○

\(\begin{rcases}y=5x+4 \\ y_M=3\end{rcases}\text{ geeft }5x+4=3\text{ dus }x_M=-\frac{1}{5}\)

○

Middelpunt \(M_1(-\frac{1}{5}, 3)\) en straal \(r=3\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x+\frac{1}{5})^2+(y-3)^2=9\)

○

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=5x+4 \\ y_M=-3\end{rcases}\text{ geeft }5x+4=-3\text{ dus }x_M=-1\frac{2}{5}\)
Middelpunt \(M_2(-1\frac{2}{5}, -3)\) en straal \(r=3\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+1\frac{2}{5})^2+(y+3)^2=9\)