Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (11)	opgave 1 Gegeven is het punt \(M(-3, 2)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(5\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(c{:}\,(x+3)^2+(y-2)^2=25\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M(-2, 1)\) en \(A(-5, 5)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(-2--5)^2+(1-5)^2}=\sqrt{25}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+2)^2+(y-1)^2=25\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A(4, 3)\) en \(B(1, 0)\text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus \(M({1 \over 2}(4+1), {1 \over 2}(3+0))=M(2\frac{1}{2}, 1\frac{1}{2})\text{.}\) 1p ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(2\frac{1}{2}-4)^2+(1\frac{1}{2}-3)^2}=\sqrt{4\frac{1}{2}}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-2\frac{1}{2})^2+(y-1\frac{1}{2})^2=4\frac{1}{2}\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M(-3, -5)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(y\text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=3\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+3)^2+(y+5)^2=9\text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het punt \(M(0, -3)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(5\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(c{:}\,x^2+(y+3)^2=25\text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+6x+4y-3=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2+6x+4y-3=0\) \((x+3)^2-9+(y+2)^2-4-3=0\) \((x+3)^2+(y+2)^2=16\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(-3, -2)\) en \(r=\sqrt{16}=4\text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-11x-6y+27=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-11x-6y+27=0\) \((x-5\frac{1}{2})^2-30\frac{1}{4}+(y-3)^2-9+27=0\) \((x-5\frac{1}{2})^2+(y-3)^2=12\frac{1}{4}\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(5\frac{1}{2}, 3)\) en \(r=\sqrt{12\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-6y-16=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-6y-16=0\) \(x^2+(y-3)^2-9-16=0\) \(x^2+(y-3)^2=25\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(0, 3)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\) 1p opgave 9 Gegeven zijn het punt \(A(-4, 2)\) en de lijn \(l{:}\,2x-y=5\text{.}\) 5p Stel een vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(A(-4, 2)\) die de lijn \(l{:}\,2x-y=5\) raakt. OpstellenCirkelMetRaaklijn 00bw - De vergelijking van een cirkel - basis - 97ms - data pool: #788 (97ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-x-2y=c \\ A(-4, 2)\end{rcases}c=-1⋅-4-2⋅2=0\) Dus \(n{:}\,-x-2y=0\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}2x-y=5 \\ -x-2y=0\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2x-y=5 \\ -2x-4y=0\end{cases}\) Optellen geeft \(-5y=5\) dus \(y=-1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}2x-y=5 \\ y=-1\end{rcases}\begin{matrix}2x-1⋅-1=5 \\ x=2\end{matrix}\) Dus \(S(2, -1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-4-2)^2+(2--1)^2}=\sqrt{45}\text{.}\) 1p ○ \(A(-4, 2)\) en \(r=d(A, l)=\sqrt{45}\text{,}\) dus \(c{:}\,(x+4)^2+(y-2)^2=45\text{.}\) 1p opgave 10 Gegeven is het punt \(M(0, -2)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3\text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(c{:}\,x^2+(y+2)^2=9\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2+y^2+4y+4=9\) en dus \(c{:}\,x^2+y^2+4y-5=0\text{.}\) 1p opgave 11 Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=3x+4\) ligt, die straal \(5\) hebben en die de \(x\text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ De cirkels raken de \(x\text{-}\)as en hebben straal \(5\text{,}\) dus \(y_M=5\) of \(y_M=-5\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=3x+4 \\ y_M=5\end{rcases}\text{ geeft }3x+4=5\text{ dus }x_M=\frac{1}{3}\) 1p ○ Middelpunt \(M_1(\frac{1}{3}, 5)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus \(c_1{:}\,(x-\frac{1}{3})^2+(y-5)^2=25\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y=3x+4 \\ y_M=-5\end{rcases}\text{ geeft }3x+4=-5\text{ dus }x_M=-3\) Middelpunt \(M_2(-3, -5)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus \(c_2{:}\,(x+3)^2+(y+5)^2=25\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
De vergelijking van een cirkel (1)	opgave 1 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+6x-16=0\text{.}\) De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=0\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\) 2p Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\) GegevenRaakpunt (2) 00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(x=0\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft \(0^2+y^2+6⋅0-16=0\text{.}\) 1p ○ De vergelijking oplossen geeft \(y^2-16=0\) \((y+4)(y-4)=0\) \(y=-4∨y=4\) \(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(0, 4)\) en \(B(0, -4)\text{.}\) 1p

"