Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

havo wiskunde B 7.3 Cirkelvergelijkingen

De vergelijking van een cirkel (11)

opgave 1

Gegeven is het punt \(M(7, 3)\text{.}\)

1p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (1)
00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

\(c{:}\,(x-7)^2+(y-3)^2=16\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven zijn de punten \(M(-1, -4)\) en \(A(-5, -9)\text{.}\)

2p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.

MiddelpuntDoorPunt
00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-1--5)^2+(-4--9)^2}=\sqrt{41}\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x+1)^2+(y+4)^2=41\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(A(-2, -5)\) en \(B(-7, 3)\text{.}\)

3p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

Middellijn
00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(-2+-7), {1 \over 2}(-5+3))=M(-4\frac{1}{2}, -1)\text{.}\)

1p

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-4\frac{1}{2}--2)^2+(-1--5)^2}=\sqrt{22\frac{1}{4}}\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x+4\frac{1}{2})^2+(y+1)^2=22\frac{1}{4}\text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is het punt \(M(-4, 2)\text{.}\)

2p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x\text{-}\)as.

MiddelpuntRaaktAanAs
00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=2\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x+4)^2+(y-2)^2=4\text{.}\)

1p

opgave 5

Gegeven is het punt \(M(1, 0)\text{.}\)

1p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (2)
00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

\(c{:}\,(x-1)^2+y^2=16\text{.}\)

1p

opgave 6

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+4x-6y-23=0\text{.}\)

2p

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (1)
00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+4x-6y-23=0\)
\((x+2)^2-4+(y-3)^2-9-23=0\)
\((x+2)^2+(y-3)^2=36\text{.}\)

1p

Dus \(M(-2, 3)\) en \(r=\sqrt{36}=6\text{.}\)

1p

opgave 7

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x+11y+29=0\text{.}\)

2p

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (2)
00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-8x+11y+29=0\)
\((x-4)^2-16+(y+5\frac{1}{2})^2-30\frac{1}{4}+29=0\)
\((x-4)^2+(y+5\frac{1}{2})^2=17\frac{1}{4}\text{.}\)

1p

Dus \(M(4, -5\frac{1}{2})\) en \(r=\sqrt{17\frac{1}{4}}\text{.}\)

1p

opgave 8

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+12y+32=0\text{.}\)

2p

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (3)
00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+12y+32=0\)
\(x^2+(y+6)^2-36+32=0\)
\(x^2+(y+6)^2=4\text{.}\)

1p

Dus \(M(0, -6)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\)

1p

opgave 9

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x+10y+24=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=8\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\)

2p

Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\)

PuntenMetGegevenCoordinaat
00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

\(x=8\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(8^2+y^2-8⋅8+10y+24=0\text{.}\)

1p

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2+10y+24=0\)
\((y+6)(y+4)=0\)
\(y=-6∨y=-4\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(8, -4)\) en \(B(8, -6)\text{.}\)

1p

opgave 10

Gegeven is het punt \(M(5, 3)\text{.}\)

2p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(7\text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (3)
00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

\(c{:}\,(x-5)^2+(y-3)^2=49\text{.}\)

1p

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2-10x+25+y^2-6y+9=49\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2-10x-6y-15=0\text{.}\)

1p

opgave 11

Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=5x+4\) ligt, die straal \(3\) hebben en die de \(x\text{-}\)as raken.

4p

Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op.

MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs
00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

De cirkels raken de \(x\text{-}\)as en hebben straal \(3\text{,}\) dus \(y_M=3\) of \(y_M=-3\text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}y=5x+4 \\ y_M=3\end{rcases}\text{ geeft }5x+4=3\text{ dus }x_M=-\frac{1}{5}\)

1p

Middelpunt \(M_1(-\frac{1}{5}, 3)\) en straal \(r=3\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x+\frac{1}{5})^2+(y-3)^2=9\)

1p

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=5x+4 \\ y_M=-3\end{rcases}\text{ geeft }5x+4=-3\text{ dus }x_M=-1\frac{2}{5}\)
Middelpunt \(M_2(-1\frac{2}{5}, -3)\) en straal \(r=3\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+1\frac{2}{5})^2+(y+3)^2=9\)

1p

"