Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (11)	opgave 1 Gegeven is het punt \(M(3, -1)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(5\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(c{:}\,(x-3)^2+(y+1)^2=25\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M(-1, 2)\) en \(A(-4, 0)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(-1--4)^2+(2-0)^2}=\sqrt{13}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+1)^2+(y-2)^2=13\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A(2, -6)\) en \(B(5, 1)\text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus \(M({1 \over 2}(2+5), {1 \over 2}(-6+1))=M(3\frac{1}{2}, -2\frac{1}{2})\text{.}\) 1p ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(3\frac{1}{2}-2)^2+(-2\frac{1}{2}--6)^2}=\sqrt{14\frac{1}{2}}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-3\frac{1}{2})^2+(y+2\frac{1}{2})^2=14\frac{1}{2}\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M(-3, 2)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x\text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=2\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+3)^2+(y-2)^2=4\text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het punt \(M(7, 0)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x-7)^2+y^2=36\text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+2x-14y+25=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2+2x-14y+25=0\) \((x+1)^2-1+(y-7)^2-49+25=0\) \((x+1)^2+(y-7)^2=25\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(-1, 7)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-11x-4y+17=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-11x-4y+17=0\) \((x-5\frac{1}{2})^2-30\frac{1}{4}+(y-2)^2-4+17=0\) \((x-5\frac{1}{2})^2+(y-2)^2=17\frac{1}{4}\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(5\frac{1}{2}, 2)\) en \(r=\sqrt{17\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-2y-35=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-2y-35=0\) \(x^2+(y-1)^2-1-35=0\) \(x^2+(y-1)^2=36\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(0, 1)\) en \(r=\sqrt{36}=6\text{.}\) 1p opgave 9 Gegeven zijn het punt \(A(5, 2)\) en de lijn \(l{:}\,-x-4y=4\text{.}\) 5p Stel een vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(A(5, 2)\) die de lijn \(l{:}\,-x-4y=4\) raakt. OpstellenCirkelMetRaaklijn 00bw - De vergelijking van een cirkel - basis - 127ms - data pool: #1576 (127ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-4x+y=c \\ A(5, 2)\end{rcases}c=-4⋅5+1⋅2=-18\) Dus \(n{:}\,-4x+y=-18\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-x-4y=4 \\ -4x+y=-18\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}4 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-4x-16y=16 \\ -4x+y=-18\end{cases}\) Aftrekken geeft \(-17y=34\) dus \(y=-2\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-x-4y=4 \\ y=-2\end{rcases}\begin{matrix}-x-4⋅-2=4 \\ x=4\end{matrix}\) Dus \(S(4, -2)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(5-4)^2+(2--2)^2}=\sqrt{17}\text{.}\) 1p ○ \(A(5, 2)\) en \(r=d(A, l)=\sqrt{17}\text{,}\) dus \(c{:}\,(x-5)^2+(y-2)^2=17\text{.}\) 1p opgave 10 Gegeven is het punt \(M(-5, -2)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6\text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x+5)^2+(y+2)^2=36\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2+10x+25+y^2+4y+4=36\) en dus \(c{:}\,x^2+y^2+10x+4y-7=0\text{.}\) 1p opgave 11 Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=4x+3\) ligt, die straal \(5\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(5\text{,}\) dus \(x_M=5\) of \(x_M=-5\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=4x+3 \\ x_M=5\end{rcases}\text{ geeft }y_M=4⋅5+3=23\) 1p ○ Middelpunt \(M_1(5, 23)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus \(c_1{:}\,(x-5)^2+(y-23)^2=25\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y=4x+3 \\ x_M=-5\end{rcases}\text{ geeft }y_M=4⋅-5+3=-17\) Middelpunt \(M_2(-5, -17)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus \(c_2{:}\,(x+5)^2+(y+17)^2=25\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
De vergelijking van een cirkel (1)	opgave 1 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x+4y-5=0\text{.}\) De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=7\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\) 2p Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\) GegevenRaakpunt (2) 00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(x=7\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft \(7^2+y^2-8⋅7+4y-5=0\text{.}\) 1p ○ De vergelijking oplossen geeft \(y^2+4y-12=0\) \((y+6)(y-2)=0\) \(y=-6∨y=2\) \(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(7, 2)\) en \(B(7, -6)\text{.}\) 1p

"