Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (11)	opgave 1 gegeven is het punt \(M(-3, 5)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis ○ \(c{:}\,(x+3)^2+(y-5)^2=4\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M(-2, 3)\) en \(A(0, -2)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(-2-0)^2+(3--2)^2}=\sqrt{29}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+2)^2+(y-3)^2=29\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A(-3, -5)\) en \(B(4, 1)\text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus \(M({1 \over 2}(-3+4), {1 \over 2}(-5+1))=M(\frac{1}{2}, -2)\text{.}\) 1p ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(\frac{1}{2}--3)^2+(-2--5)^2}=\sqrt{21\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-\frac{1}{2})^2+(y+2)^2=21\frac{1}{4}\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M(2, -7)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(y\text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=2\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-2)^2+(y+7)^2=4\text{.}\) 1p opgave 5 gegeven is het punt \(M(-7, 0)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis ○ \(c{:}\,(x+7)^2+y^2=4\text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x-6y-24=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-8x-6y-24=0\) \((x-4)^2-16+(y-3)^2-9-24=0\) \((x-4)^2+(y-3)^2=49\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(4, 3)\) en \(r=\sqrt{49}=7\text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x-3y+12=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-8x-3y+12=0\) \((x-4)^2-16+(y-1\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}+12=0\) \((x-4)^2+(y-1\frac{1}{2})^2=6\frac{1}{4}\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(4, 1\frac{1}{2})\) en \(r=\sqrt{6\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+6x+5=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2+6x+5=0\) \((x+3)^2-9+y^2+5=0\) \((x+3)^2+y^2=4\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(-3, 0)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\) 1p opgave 9 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+10x+12=0\text{.}\) De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=-3\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\) 2p Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\) PuntenMetGegevenCoordinaat 00br - De vergelijking van een cirkel - basis ○ \(x=-3\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft \((-3)^2+y^2+10⋅-3+12=0\text{.}\) 1p ○ De vergelijking oplossen geeft \(y^2-9=0\) \((y+3)(y-3)=0\) \(y=-3∨y=3\) \(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(-3, 3)\) en \(B(-3, -3)\text{.}\) 1p opgave 10 gegeven is het punt \(M(2, 0)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis ○ \(c{:}\,(x-2)^2+y^2=16\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2-4x+4+y^2=16\) en dus \(c{:}\,x^2+y^2-4x-12=0\text{.}\) 1p opgave 11 Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=x+2\) ligt, die straal \(4\) hebben en die de \(x\text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis ○ De cirkels raken de \(x\text{-}\)as en hebben straal \(4\text{,}\) dus \(y_M=4\) of \(y_M=-4\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=x+2 \\ y_M=4\end{rcases}\text{ geeft }x+2=4\text{ dus }x_M=2\) 1p ○ Middelpunt \(M_1(2, 4)\) en straal \(r=4\text{,}\) dus \(c_1{:}\,(x-2)^2+(y-4)^2=4\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y=x+2 \\ y_M=-4\end{rcases}\text{ geeft }x+2=-4\text{ dus }x_M=-6\) Middelpunt \(M_2(-6, -4)\) en straal \(r=4\text{,}\) dus \(c_2{:}\,(x+6)^2+(y+4)^2=16\) 1p

havo wiskunde B

7.3 Cirkelvergelijkingen

De vergelijking van een cirkel (11)

opgave 1

gegeven is het punt \(M(-3, 5)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (1)

00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis

○

\(c{:}\,(x+3)^2+(y-5)^2=4\text{.}\)

opgave 2

Gegeven zijn de punten \(M(-2, 3)\) en \(A(0, -2)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.

MiddelpuntDoorPunt

00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-2-0)^2+(3--2)^2}=\sqrt{29}\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x+2)^2+(y-3)^2=29\text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(A(-3, -5)\) en \(B(4, 1)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

Middellijn

00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis

○

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(-3+4), {1 \over 2}(-5+1))=M(\frac{1}{2}, -2)\text{.}\)

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(\frac{1}{2}--3)^2+(-2--5)^2}=\sqrt{21\frac{1}{4}}\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x-\frac{1}{2})^2+(y+2)^2=21\frac{1}{4}\text{.}\)

opgave 4

Gegeven is het punt \(M(2, -7)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(y\text{-}\)as.

MiddelpuntRaaktAanAs

00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis

○

Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=2\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x-2)^2+(y+7)^2=4\text{.}\)

opgave 5

gegeven is het punt \(M(-7, 0)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (2)

00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis

○

\(c{:}\,(x+7)^2+y^2=4\text{.}\)

opgave 6

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x-6y-24=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (1)

00ba - De vergelijking van een cirkel - basis

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-8x-6y-24=0\)
\((x-4)^2-16+(y-3)^2-9-24=0\)
\((x-4)^2+(y-3)^2=49\text{.}\)

○

Dus \(M(4, 3)\) en \(r=\sqrt{49}=7\text{.}\)

opgave 7

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x-3y+12=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (2)

00bb - De vergelijking van een cirkel - basis

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-8x-3y+12=0\)
\((x-4)^2-16+(y-1\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}+12=0\)
\((x-4)^2+(y-1\frac{1}{2})^2=6\frac{1}{4}\text{.}\)

○

Dus \(M(4, 1\frac{1}{2})\) en \(r=\sqrt{6\frac{1}{4}}\text{.}\)

opgave 8

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+6x+5=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (3)

00bc - De vergelijking van een cirkel - basis

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+6x+5=0\)
\((x+3)^2-9+y^2+5=0\)
\((x+3)^2+y^2=4\text{.}\)

○

Dus \(M(-3, 0)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\)

opgave 9

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+10x+12=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=-3\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\)

Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\)

PuntenMetGegevenCoordinaat

00br - De vergelijking van een cirkel - basis

○

\(x=-3\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\((-3)^2+y^2+10⋅-3+12=0\text{.}\)

○

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2-9=0\)
\((y+3)(y-3)=0\)
\(y=-3∨y=3\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(-3, 3)\) en \(B(-3, -3)\text{.}\)

opgave 10

gegeven is het punt \(M(2, 0)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (3)

00bx - De vergelijking van een cirkel - basis

○

\(c{:}\,(x-2)^2+y^2=16\text{.}\)

○

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2-4x+4+y^2=16\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2-4x-12=0\text{.}\)

opgave 11

Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=x+2\) ligt, die straal \(4\) hebben en die de \(x\text{-}\)as raken.

Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op.

MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs

00es - De vergelijking van een cirkel - basis

○

De cirkels raken de \(x\text{-}\)as en hebben straal \(4\text{,}\) dus \(y_M=4\) of \(y_M=-4\text{.}\)

○

\(\begin{rcases}y=x+2 \\ y_M=4\end{rcases}\text{ geeft }x+2=4\text{ dus }x_M=2\)

○

Middelpunt \(M_1(2, 4)\) en straal \(r=4\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x-2)^2+(y-4)^2=4\)

○

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=x+2 \\ y_M=-4\end{rcases}\text{ geeft }x+2=-4\text{ dus }x_M=-6\)
Middelpunt \(M_2(-6, -4)\) en straal \(r=4\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+6)^2+(y+4)^2=16\)