Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Extreme waarden bepalen'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Extreme waarden bepalen (5)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = -2 x^{3} - 27 x^{2} - 120 x + 11 \text{.}\) 4p Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (1) 00j1 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms ○ \(f'(x) = -6 x^{2} - 54 x - 120\) 1p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(-6 x^{2} - 54 x - 120 = 0\) \(x^{2} + 9 x + 20 = 0\) \((x + 5) (x + 4) = 0\) \(x = -5 ∨ x = -4\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(-5) = 186\) en max. is \(f(-4) = 187 \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de functie \(f(x) = 3 x^{4} - 54 x^{2} - 26 \text{.}\) 4p Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (2) 00j2 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms ○ \(f'(x) = 12 x^{3} - 108 x\) 1p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(12 x^{3} - 108 x = 0\) \(x^{3} - 9 x = 0\) \(x (x + 3) (x - 3) = 0\) \(x = 0 ∨ x = -3 ∨ x = 3\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(-3) = -269 \text{,}\) max. is \(f(0) = -26\) en min. is \(f(3) = -269 \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{3}{5} x^{5} - 2\frac{1}{3} x^{3} + 2 x \text{.}\) 4p Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\) ExtremeWaardenAantonen 00j3 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ \(f'(x) = 3 x^{4} - 7 x^{2} + 2\) 1p ○ \(f'(\sqrt{2}) = 3 (\sqrt{2})^{4} - 7 (\sqrt{2})^{2} + 2 = 0\) 1p ○ Schets: 1p ○ \(f'(\sqrt{2}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is de functie \(f(x) = \sqrt{x + 5} - \frac{1}{4} x \text{.}\) 6p a Bereken exact de top van \(f \text{.}\) 2p b Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (3) 00j4 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms - data pool: #142 (1ms) a \(f(x) = \sqrt{x + 5} - \frac{1}{4} x = (x + 5)^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} x\) geeft \(f'(x) = \frac{1}{2} ⋅ (x + 5)^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} = {1 \over 2 \sqrt{x + 5}} - \frac{1}{4} \text{.}\) 2p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \({1 \over 2 \sqrt{x + 5}} - \frac{1}{4} = 0\) \({1 \over 2 \sqrt{x + 5}} = \frac{1}{4}\) Kruislings vermenigvuldigen geeft \(2 \sqrt{x + 5} = 4\) \(\sqrt{x + 5} = 2\) 1p ○ Kwadrateren geeft \(x + 5 = 4\) \(x = -1\) 1p ○ Schets: 1p ○ max. is \(f(-1) = 2\frac{1}{4} \text{.}\) 1p b \(x + 5 ≥ 0\) geeft \(x ≥ -5 \text{,}\) dus \(D_{f} = [-5 , \rightarrow ⟩ \text{.}\) 1p ○ max. is \(f(-1) = 2\frac{1}{4} \text{,}\) dus \(B_{f} = ⟨\leftarrow , 2\frac{1}{4}] \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is de functie \(f(x) = {4 x^{2} + 3 x + 1 \over 9 x} \text{.}\) 5p Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (4) 00j5 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ Uitdelen geeft \(f(x) = {4 x^{2} + 3 x + 1 \over 9 x} = {4 x^{2} \over 9 x} + {3 x \over 9 x} + {1 \over 9 x} = \frac{4}{9} x + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} x^{-1}\) De afgeleide is dan \(f'(x) = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{4}{9} - {1 \over 9 x^{2}} \text{.}\) 2p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(\frac{4}{9} - {1 \over 9 x^{2}} = 0\) \(\frac{4}{9} = {1 \over 9 x^{2}}\) Kruislings vermenigvuldigen geeft \(36 x^{2} = 9\) \(x^{2} = \frac{1}{4}\) \(x = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} ∨ x = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{9}\) en max. is \(f(\frac{1}{2}) = \frac{7}{9} \text{.}\) 1p

havo wiskunde B

6.1 Raaklijnen en toppen

Extreme waarden bepalen (5)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x) = -2 x^{3} - 27 x^{2} - 120 x + 11 \text{.}\)

Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (1)

00j1 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms

○

\(f'(x) = -6 x^{2} - 54 x - 120\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(-6 x^{2} - 54 x - 120 = 0\)
\(x^{2} + 9 x + 20 = 0\)
\((x + 5) (x + 4) = 0\)
\(x = -5 ∨ x = -4\)

○

Schets:

○

min. is \(f(-5) = 186\) en max. is \(f(-4) = 187 \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de functie \(f(x) = 3 x^{4} - 54 x^{2} - 26 \text{.}\)

Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (2)

00j2 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms

○

\(f'(x) = 12 x^{3} - 108 x\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(12 x^{3} - 108 x = 0\)
\(x^{3} - 9 x = 0\)
\(x (x + 3) (x - 3) = 0\)
\(x = 0 ∨ x = -3 ∨ x = 3\)

○

Schets:

○

min. is \(f(-3) = -269 \text{,}\) max. is \(f(0) = -26\) en min. is \(f(3) = -269 \text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{3}{5} x^{5} - 2\frac{1}{3} x^{3} + 2 x \text{.}\)

Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\)

ExtremeWaardenAantonen

00j3 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

\(f'(x) = 3 x^{4} - 7 x^{2} + 2\)

○

\(f'(\sqrt{2}) = 3 (\sqrt{2})^{4} - 7 (\sqrt{2})^{2} + 2 = 0\)

○

Schets:

○

\(f'(\sqrt{2}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\)

opgave 4

Gegeven is de functie \(f(x) = \sqrt{x + 5} - \frac{1}{4} x \text{.}\)

Bereken exact de top van \(f \text{.}\)

Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (3)

00j4 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms - data pool: #142 (1ms)

\(f(x) = \sqrt{x + 5} - \frac{1}{4} x = (x + 5)^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} x\) geeft
\(f'(x) = \frac{1}{2} ⋅ (x + 5)^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} = {1 \over 2 \sqrt{x + 5}} - \frac{1}{4} \text{.}\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\({1 \over 2 \sqrt{x + 5}} - \frac{1}{4} = 0\)
\({1 \over 2 \sqrt{x + 5}} = \frac{1}{4}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(2 \sqrt{x + 5} = 4\)
\(\sqrt{x + 5} = 2\)

○

Kwadrateren geeft
\(x + 5 = 4\)
\(x = -1\)

○

Schets:

○

max. is \(f(-1) = 2\frac{1}{4} \text{.}\)

\(x + 5 ≥ 0\) geeft \(x ≥ -5 \text{,}\) dus \(D_{f} = [-5 , \rightarrow ⟩ \text{.}\)

○

max. is \(f(-1) = 2\frac{1}{4} \text{,}\) dus \(B_{f} = ⟨\leftarrow , 2\frac{1}{4}] \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is de functie \(f(x) = {4 x^{2} + 3 x + 1 \over 9 x} \text{.}\)

Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (4)

00j5 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

Uitdelen geeft
\(f(x) = {4 x^{2} + 3 x + 1 \over 9 x} = {4 x^{2} \over 9 x} + {3 x \over 9 x} + {1 \over 9 x} = \frac{4}{9} x + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x) = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{4}{9} - {1 \over 9 x^{2}} \text{.}\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{4}{9} - {1 \over 9 x^{2}} = 0\)
\(\frac{4}{9} = {1 \over 9 x^{2}}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(36 x^{2} = 9\)
\(x^{2} = \frac{1}{4}\)
\(x = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} ∨ x = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}\)

○

Schets:

○

min. is \(f(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{9}\) en max. is \(f(\frac{1}{2}) = \frac{7}{9} \text{.}\)