Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Extreme waarden bepalen'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Extreme waarden bepalen (5)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 120 x - 40 \text{.}\) 4p Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (1) 00j1 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ \(f'(x) = 6 x^{2} - 6 x - 120\) 1p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(6 x^{2} - 6 x - 120 = 0\) \(x^{2} - x - 20 = 0\) \((x + 4) (x - 5) = 0\) \(x = -4 ∨ x = 5\) 1p ○ Schets: 1p ○ max. is \(f(-4) = 264\) en min. is \(f(5) = -465 \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de functie \(f(x) = 3 x^{4} - 54 x^{2} - 23 \text{.}\) 4p Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (2) 00j2 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ \(f'(x) = 12 x^{3} - 108 x\) 1p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(12 x^{3} - 108 x = 0\) \(x^{3} - 9 x = 0\) \(x (x + 3) (x - 3) = 0\) \(x = 0 ∨ x = -3 ∨ x = 3\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(-3) = -266 \text{,}\) max. is \(f(0) = -23\) en min. is \(f(3) = -266 \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven is de functie \(f(x) = -\frac{4}{5} x^{5} + 3\frac{1}{3} x^{3} - 4 x \text{.}\) 4p Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\) ExtremeWaardenAantonen 00j3 - Extreme waarden bepalen - basis - 2ms ○ \(f'(x) = -4 x^{4} + 10 x^{2} - 4\) 1p ○ \(f'(\sqrt{2}) = -4 (\sqrt{2})^{4} + 10 (\sqrt{2})^{2} - 4 = 0\) 1p ○ Schets: 1p ○ \(f'(\sqrt{2}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is de functie \(f(x) = \sqrt{5 x - 3} - \frac{1}{2} x \text{.}\) 6p a Bereken exact de top van \(f \text{.}\) 2p b Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (3) 00j4 - Extreme waarden bepalen - basis - 3ms - data pool: #142 (2ms) a \(f(x) = \sqrt{5 x - 3} - \frac{1}{2} x = (5 x - 3)^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x\) geeft \(f'(x) = \frac{1}{2} ⋅ (5 x - 3)^{-\frac{1}{2}} ⋅ 5 - \frac{1}{2} = {5 \over 2 \sqrt{5 x - 3}} - \frac{1}{2} \text{.}\) 2p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \({5 \over 2 \sqrt{5 x - 3}} - \frac{1}{2} = 0\) \({5 \over 2 \sqrt{5 x - 3}} = \frac{1}{2}\) Kruislings vermenigvuldigen geeft \(2 \sqrt{5 x - 3} = 10\) \(\sqrt{5 x - 3} = 5\) 1p ○ Kwadrateren geeft \(5 x - 3 = 25\) \(x = 5\frac{3}{5}\) 1p ○ Schets: 1p ○ max. is \(f(5\frac{3}{5}) = 2\frac{1}{5} \text{.}\) 1p b \(5 x - 3 ≥ 0\) geeft \(x ≥ \frac{3}{5} \text{,}\) dus \(D_{f} = [\frac{3}{5} , \rightarrow ⟩ \text{.}\) 1p ○ max. is \(f(5\frac{3}{5}) = 2\frac{1}{5} \text{,}\) dus \(B_{f} = ⟨\leftarrow , 2\frac{1}{5}] \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is de functie \(f(x) = {3 x^{2} + 10 x + 27 \over 6 x} \text{.}\) 5p Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (4) 00j5 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ Uitdelen geeft \(f(x) = {3 x^{2} + 10 x + 27 \over 6 x} = {3 x^{2} \over 6 x} + {10 x \over 6 x} + {27 \over 6 x} = \frac{1}{2} x + \frac{5}{3} + \frac{9}{2} x^{-1}\) De afgeleide is dan \(f'(x) = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{1}{2} - {9 \over 2 x^{2}} \text{.}\) 2p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(\frac{1}{2} - {9 \over 2 x^{2}} = 0\) \(\frac{1}{2} = {9 \over 2 x^{2}}\) Kruislings vermenigvuldigen geeft \(2 x^{2} = 18\) \(x^{2} = 9\) \(x = \sqrt{9} = 3 ∨ x = -\sqrt{9} = -3\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(-3) = -1\frac{1}{3}\) en max. is \(f(3) = 4\frac{2}{3} \text{.}\) 1p

havo wiskunde B

6.1 Raaklijnen en toppen

Extreme waarden bepalen (5)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 120 x - 40 \text{.}\)

Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (1)

00j1 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

\(f'(x) = 6 x^{2} - 6 x - 120\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(6 x^{2} - 6 x - 120 = 0\)
\(x^{2} - x - 20 = 0\)
\((x + 4) (x - 5) = 0\)
\(x = -4 ∨ x = 5\)

○

Schets:

○

max. is \(f(-4) = 264\) en min. is \(f(5) = -465 \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de functie \(f(x) = 3 x^{4} - 54 x^{2} - 23 \text{.}\)

Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (2)

00j2 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

\(f'(x) = 12 x^{3} - 108 x\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(12 x^{3} - 108 x = 0\)
\(x^{3} - 9 x = 0\)
\(x (x + 3) (x - 3) = 0\)
\(x = 0 ∨ x = -3 ∨ x = 3\)

○

Schets:

○

min. is \(f(-3) = -266 \text{,}\) max. is \(f(0) = -23\) en min. is \(f(3) = -266 \text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de functie \(f(x) = -\frac{4}{5} x^{5} + 3\frac{1}{3} x^{3} - 4 x \text{.}\)

Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\)

ExtremeWaardenAantonen

00j3 - Extreme waarden bepalen - basis - 2ms

○

\(f'(x) = -4 x^{4} + 10 x^{2} - 4\)

○

\(f'(\sqrt{2}) = -4 (\sqrt{2})^{4} + 10 (\sqrt{2})^{2} - 4 = 0\)

○

Schets:

○

\(f'(\sqrt{2}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\)

opgave 4

Gegeven is de functie \(f(x) = \sqrt{5 x - 3} - \frac{1}{2} x \text{.}\)

Bereken exact de top van \(f \text{.}\)

Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (3)

00j4 - Extreme waarden bepalen - basis - 3ms - data pool: #142 (2ms)

\(f(x) = \sqrt{5 x - 3} - \frac{1}{2} x = (5 x - 3)^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x\) geeft
\(f'(x) = \frac{1}{2} ⋅ (5 x - 3)^{-\frac{1}{2}} ⋅ 5 - \frac{1}{2} = {5 \over 2 \sqrt{5 x - 3}} - \frac{1}{2} \text{.}\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\({5 \over 2 \sqrt{5 x - 3}} - \frac{1}{2} = 0\)
\({5 \over 2 \sqrt{5 x - 3}} = \frac{1}{2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(2 \sqrt{5 x - 3} = 10\)
\(\sqrt{5 x - 3} = 5\)

○

Kwadrateren geeft
\(5 x - 3 = 25\)
\(x = 5\frac{3}{5}\)

○

Schets:

○

max. is \(f(5\frac{3}{5}) = 2\frac{1}{5} \text{.}\)

\(5 x - 3 ≥ 0\) geeft \(x ≥ \frac{3}{5} \text{,}\) dus \(D_{f} = [\frac{3}{5} , \rightarrow ⟩ \text{.}\)

○

max. is \(f(5\frac{3}{5}) = 2\frac{1}{5} \text{,}\) dus \(B_{f} = ⟨\leftarrow , 2\frac{1}{5}] \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is de functie \(f(x) = {3 x^{2} + 10 x + 27 \over 6 x} \text{.}\)

Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (4)

00j5 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

Uitdelen geeft
\(f(x) = {3 x^{2} + 10 x + 27 \over 6 x} = {3 x^{2} \over 6 x} + {10 x \over 6 x} + {27 \over 6 x} = \frac{1}{2} x + \frac{5}{3} + \frac{9}{2} x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x) = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{1}{2} - {9 \over 2 x^{2}} \text{.}\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{1}{2} - {9 \over 2 x^{2}} = 0\)
\(\frac{1}{2} = {9 \over 2 x^{2}}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(2 x^{2} = 18\)
\(x^{2} = 9\)
\(x = \sqrt{9} = 3 ∨ x = -\sqrt{9} = -3\)

○

Schets:

○

min. is \(f(-3) = -1\frac{1}{3}\) en max. is \(f(3) = 4\frac{2}{3} \text{.}\)