Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Goniometrische vergelijkingen'.

havo wiskunde B 8.4 Goniometrische vergelijkingen

Goniometrische vergelijkingen (7)

opgave 1

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

3p

a

\(\sin(3x-\frac{1}{2}\pi )=0\)

ExacteWaarde (0)
004f - Goniometrische vergelijkingen - basis - 52ms - dynamic variables

a

De exacte waardencirkel geeft
\(3x-\frac{1}{2}\pi =k⋅\pi \)

1p

○

\(3x=\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi \)
\(x=\frac{1}{6}\pi +k⋅\frac{1}{3}\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=\frac{1}{6}\pi ∨x=\frac{1}{2}\pi ∨x=\frac{5}{6}\pi ∨x=1\frac{1}{6}\pi ∨x=1\frac{1}{2}\pi ∨x=1\frac{5}{6}\pi \)

1p

4p

b

\(-4\cos(\frac{1}{2}q+\frac{2}{3}\pi )=2\)

ExacteWaarde (1)
004g - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

b

Balansmethode geeft \(\cos(\frac{1}{2}q+\frac{2}{3}\pi )=-\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{1}{2}q+\frac{2}{3}\pi =\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{1}{2}q+\frac{2}{3}\pi =-\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(\frac{1}{2}q=k⋅2\pi ∨\frac{1}{2}q=-1\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi \)
\(q=k⋅4\pi ∨q=-2\frac{2}{3}\pi +k⋅4\pi \)

1p

○

\(q\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(q=0∨q=1\frac{1}{3}\pi \)

1p

4p

c

\(2\cos(3q+\frac{1}{4}\pi )=\sqrt{2}\)

ExacteWaarde (2)
004h - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

c

Balansmethode geeft \(\cos(3q+\frac{1}{4}\pi )=\frac{1}{2}\sqrt{2}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(3q+\frac{1}{4}\pi =\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi ∨3q+\frac{1}{4}\pi =1\frac{3}{4}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(3q=k⋅2\pi ∨3q=1\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)
\(q=k⋅\frac{2}{3}\pi ∨q=\frac{1}{2}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi \)

1p

○

\(q\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(q=0∨q=\frac{2}{3}\pi ∨q=1\frac{1}{3}\pi ∨q=2\pi ∨q=\frac{1}{2}\pi ∨q=1\frac{1}{6}\pi ∨q=1\frac{5}{6}\pi \)

1p

4p

d

\(-3\sin(1\frac{1}{2}x)=1\frac{1}{2}\sqrt{3}\)

ExacteWaarde (3)
006x - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

d

Balansmethode geeft \(\sin(1\frac{1}{2}x)=-\frac{1}{2}\sqrt{3}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(1\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi ∨1\frac{1}{2}x=-\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(1\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi ∨1\frac{1}{2}x=-\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=-\frac{2}{9}\pi +k⋅1\frac{1}{3}\pi ∨x=-\frac{4}{9}\pi +k⋅1\frac{1}{3}\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=1\frac{1}{9}\pi ∨x=\frac{8}{9}\pi \)

1p

opgave 2

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

4p

\(-5+3\sin(\frac{2}{3}\pi x-\frac{3}{4}\pi )=-2\)

ExacteWaarde (4)
006y - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

○

Balansmethode geeft \(3\sin(\frac{2}{3}\pi x-\frac{3}{4}\pi )=3\) dus \(\sin(\frac{2}{3}\pi x-\frac{3}{4}\pi )=1\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{2}{3}\pi x-\frac{3}{4}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(\frac{2}{3}\pi x=1\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=1\frac{7}{8}+k⋅3\)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=1\frac{7}{8}∨x=4\frac{7}{8}\)

1p

opgave 3

Los exact op.

3p

a

\(\cos^2(3x+\frac{2}{3}\pi )=1\)

Kwadraat
006z - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

a

\(\cos(3x+\frac{2}{3}\pi )=1∨\cos(3x+\frac{2}{3}\pi )=-1\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(3x+\frac{2}{3}\pi =k⋅2\pi ∨3x+\frac{2}{3}\pi =\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(3x=-\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi ∨3x=\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=-\frac{2}{9}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi ∨x=\frac{1}{9}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi \)

1p

3p

b

\(1\frac{1}{6}\cos(\frac{2}{3}q+\frac{1}{4}\pi )\sin(2q+\frac{1}{2}\pi )=0\)

ProductIsNul
0070 - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

\(\cos(\frac{2}{3}q+\frac{1}{4}\pi )=0∨\sin(2q+\frac{1}{2}\pi )=0\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{2}{3}q+\frac{1}{4}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi ∨2q+\frac{1}{2}\pi =k⋅\pi \)

1p

○

\(\frac{2}{3}q=\frac{1}{4}\pi +k⋅\pi ∨2q=-\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi \)
\(q=\frac{3}{8}\pi +k⋅1\frac{1}{2}\pi ∨q=-\frac{1}{4}\pi +k⋅\frac{1}{2}\pi \)

1p
"