Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (2)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 6 y - 1 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (3 , 4) \text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \(x^{2} + (y - 3)^{2} = 10\)
Dus \(M (0 , 3)\) en \(r = \sqrt{10} \text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {3 - 4 \over 0 - 3} = \frac{1}{3} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = \frac{1}{3}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -3\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = -3 x + b \\ \text{door } A (3 , 4)\end{rcases} \begin{matrix}4 = -3 ⋅ 3 + b \\ 4 = -9 + b \\ b = 13\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -3 x + 13 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 10 x - 6 y + 21 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 8\) en \(y_{A} > y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
De lijn \(k\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(l\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(l \text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} - 10 x - 6 y + 21 = 0 \\ x = 8\end{rcases}\) geeft
\(8^{2} + y^{2} - 10 ⋅ 8 - 6 y + 21 = 0\)
\(1 y^{2} + -6 y + 5 = 0\)
\((y + -1) (y + -5) = 0\)
\(y = 1 ∨ y = 5\)

1p

○

\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (8 , 5)\) en \(B (8 , 1) \text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\((x - 5)^{2} - 25 + (y - 3)^{2} - 9 + 21 = 0\)
\((x - 5)^{2} + (y - 3)^{2} = 13\)
Dus \(M (5 , 3) \text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(B\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{BM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {3 - 1 \over 5 - 8} = -\frac{2}{3} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{BM} \perp l \text{, dus } \text{rc}_{\text{BM}} ⋅ \text{rc}_{l} = -1 \\ \text{rc}_{\text{BM}} = -\frac{2}{3}\end{rcases} \text{rc}_{l} = 1\frac{1}{2}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l{:}\,y = 1\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } B (8 , 1)\end{rcases} \begin{matrix}1 = 1\frac{1}{2} ⋅ 8 + b \\ 1 = 12 + b \\ b = -11\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = 1\frac{1}{2} x - 11 \text{.}\)

1p
"