Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (2)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 10 x - 8 y + 21 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (9 , 6) \text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 5)^{2} + (y - 4)^{2} = 20\)
Dus \(M (5 , 4)\) en \(r = \sqrt{20} \text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {4 - 6 \over 5 - 9} = \frac{1}{2} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = \frac{1}{2}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -2\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = -2 x + b \\ \text{door } A (9 , 6)\end{rcases} \begin{matrix}6 = -2 ⋅ 9 + b \\ 6 = -18 + b \\ b = 24\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -2 x + 24 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 x + 6 y + 5 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 0\) en \(y_{A} < y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(k\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(l \text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 x + 6 y + 5 = 0 \\ x = 0\end{rcases}\) geeft
\(0^{2} + y^{2} + 8 ⋅ 0 + 6 y + 5 = 0\)
\(1 y^{2} + 6 y + 5 = 0\)
\((y + 5) (y + 1) = 0\)
\(y = -5 ∨ y = -1\)

1p

○

\(y_{A} < y_{B} \text{,}\) dus \(A (0 , -5)\) en \(B (0 , -1) \text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\((x + 4)^{2} - 16 + (y + 3)^{2} - 9 + 5 = 0\)
\((x + 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 20\)
Dus \(M (-4 , -3) \text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(A\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{AM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {-3 - -5 \over -4 - 0} = -\frac{1}{2} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{AM} \perp l \text{, dus } \text{rc}_{\text{AM}} ⋅ \text{rc}_{l} = -1 \\ \text{rc}_{\text{AM}} = -\frac{1}{2}\end{rcases} \text{rc}_{l} = 2\)

1p

○

\(\begin{rcases}l{:}\,y = 2 x + b \\ \text{door } A (0 , -5)\end{rcases} \begin{matrix}-5 = 2 ⋅ 0 + b \\ -5 = 0 + b \\ b = -5\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = 2 x - 5 \text{.}\)

1p
"