Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (2)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-6x-8y+20=0\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A(4, 6)\text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x-3)^2+(y-4)^2=5\)
Dus \(M(3, 4)\) en \(r=\sqrt{5}\text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={4-6 \over 3-4}=2\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=2\end{rcases}\text{rc}_l=-\frac{1}{2}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=-\frac{1}{2}x+b \\ \text{door }A(4, 6)\end{rcases}\begin{matrix}6=-\frac{1}{2}⋅4+b \\ 6=-2+b \\ b=8\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{1}{2}x+8\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x+8y+7=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=8\) en \(y_A<y_B\) liggen op \(c\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(k\) raakt \(c\) in \(B\text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(l\text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^2+y^2-10x+8y+7=0 \\ x=8\end{rcases}\) geeft
\(8^2+y^2-10⋅8+8y+7=0\)
\(y^2+8y-9=0\)
\((y+9)(y-1)=0\)
\(y=-9∨y=1\)

1p

○

\(y_A<y_B\text{,}\) dus \(A(8, -9)\) en \(B(8, 1)\text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\((x-5)^2-25+(y+4)^2-16+7=0\)
\((x-5)^2+(y+4)^2=34\)
Dus \(M(5, -4)\text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(A\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{AM}}={\Delta y \over \Delta x}={-4--9 \over 5-8}=-1\frac{2}{3}\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{AM}\perp l\text{, dus }\text{rc}_{\text{AM}}⋅\text{rc}_l=-1 \\ \text{rc}_{\text{AM}}=-1\frac{2}{3}\end{rcases}\text{rc}_l=\frac{3}{5}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l{:}\,y=\frac{3}{5}x+b \\ \text{door }A(8, -9)\end{rcases}\begin{matrix}-9=\frac{3}{5}⋅8+b \\ -9=4\frac{4}{5}+b \\ b=-13\frac{4}{5}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=\frac{3}{5}x-13\frac{4}{5}\text{.}\)

1p
"