Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (2)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-2x-24=0\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A(4, 4)\text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x-1)^2+y^2=25\)
Dus \(M(1, 0)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={0-4 \over 1-4}=1\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=1\frac{1}{3}\end{rcases}\text{rc}_l=-\frac{3}{4}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=-\frac{3}{4}x+b \\ \text{door }A(4, 4)\end{rcases}\begin{matrix}4=-\frac{3}{4}⋅4+b \\ 4=-3+b \\ b=7\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{3}{4}x+7\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+2x-9=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=2\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\)
De lijn \(k\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(l\) raakt \(c\) in \(B\text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(l\text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^2+y^2+2x-9=0 \\ x=2\end{rcases}\) geeft
\(2^2+y^2+2⋅2-9=0\)
\(y^2-1=0\)
\(y^2=1\)
\(y=-1∨y=1\)

1p

○

\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(2, 1)\) en \(B(2, -1)\text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\((x+1)^2-1+y^2-9=0\)
\((x+1)^2+y^2=10\)
Dus \(M(-1, 0)\text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(B\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{BM}}={\Delta y \over \Delta x}={0--1 \over -1-2}=-\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{BM}\perp l\text{, dus }\text{rc}_{\text{BM}}⋅\text{rc}_l=-1 \\ \text{rc}_{\text{BM}}=-\frac{1}{3}\end{rcases}\text{rc}_l=3\)

1p

○

\(\begin{rcases}l{:}\,y=3x+b \\ \text{door }B(2, -1)\end{rcases}\begin{matrix}-1=3⋅2+b \\ -1=6+b \\ b=-7\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=3x-7\text{.}\)

1p
"