Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (2)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 4 y - 9 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (3 , 4) \text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \(x^{2} + (y - 2)^{2} = 13\)
Dus \(M (0 , 2)\) en \(r = \sqrt{13} \text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {2 - 4 \over 0 - 3} = \frac{2}{3} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = \frac{2}{3}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -1\frac{1}{2}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = -1\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (3 , 4)\end{rcases} \begin{matrix}4 = -1\frac{1}{2} ⋅ 3 + b \\ 4 = -4\frac{1}{2} + b \\ b = 8\frac{1}{2}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -1\frac{1}{2} x + 8\frac{1}{2} \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y - 27 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 1\) en \(y_{A} > y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(k\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(l \text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y - 27 = 0 \\ x = 1\end{rcases}\) geeft
\(1^{2} + y^{2} + 6 ⋅ 1 - 8 y - 27 = 0\)
\(1 y^{2} + -8 y + -20 = 0\)
\((y + 2) (y + -10) = 0\)
\(y = -2 ∨ y = 10\)

1p

○

\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (1 , 10)\) en \(B (1 , -2) \text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\((x + 3)^{2} - 9 + (y - 4)^{2} - 16 - 27 = 0\)
\((x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 52\)
Dus \(M (-3 , 4) \text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(A\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{AM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {4 - 10 \over -3 - 1} = 1\frac{1}{2} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{AM} \perp l \text{, dus } \text{rc}_{\text{AM}} ⋅ \text{rc}_{l} = -1 \\ \text{rc}_{\text{AM}} = 1\frac{1}{2}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -\frac{2}{3}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l{:}\,y = -\frac{2}{3} x + b \\ \text{door } A (1 , 10)\end{rcases} \begin{matrix}10 = -\frac{2}{3} ⋅ 1 + b \\ 10 = -\frac{2}{3} + b \\ b = 10\frac{2}{3}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -\frac{2}{3} x + 10\frac{2}{3} \text{.}\)

1p
"