Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Raaklijnen aan cirkels (2)	opgave 1 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 10 x - 6 y + 29 = 0 \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (6 , 5) \text{.}\) 4p Stel de vergelijking van \(l\) op. GegevenRaakpunt 00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 5)^{2} + (y - 3)^{2} = 5\) Dus \(M (5 , 3)\) en \(r = \sqrt{5} \text{.}\) 1p ○ De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {3 - 5 \over 5 - 6} = 2 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = 2\end{rcases} \text{rc}_{l} = -\frac{1}{2}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (6 , 5)\end{rcases} \begin{matrix}5 = -\frac{1}{2} ⋅ 6 + b \\ 5 = -3 + b \\ b = 8\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = -\frac{1}{2} x + 8 \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 10 y + 5 = 0 \text{.}\) De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 4\) en \(y_{A} < y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\) De lijn \(l\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(k\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\) 6p Stel de vergelijking op van \(l \text{.}\) GegevenRaakpunt (2) 00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms ○ \(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} + 10 y + 5 = 0 \\ x = 4\end{rcases}\) geeft \(4^{2} + y^{2} + 0 ⋅ 4 + 10 y + 5 = 0\) \(y^{2} + 10 y + 21 = 0\) \((y + 7) (y + 3) = 0\) \(y = -7 ∨ y = -3\) 1p ○ \(y_{A} < y_{B} \text{,}\) dus \(A (4 , -7)\) en \(B (4 , -3) \text{.}\) 1p ○ (kwadraatafsplitsen) \(x^{2} + (y + 5)^{2} - 25 + 5 = 0\) \(x^{2} + (y + 5)^{2} = 20\) Dus \(M (0 , -5) \text{.}\) 1p ○ (voor de lijn door \(A\) en \(M\) geldt) \(\text{rc}_{\text{AM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {-5 - -7 \over 0 - 4} = -\frac{1}{2} \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}\text{AM} \perp l \text{, dus } \text{rc}_{\text{AM}} ⋅ \text{rc}_{l} = -1 \\ \text{rc}_{\text{AM}} = -\frac{1}{2}\end{rcases} \text{rc}_{l} = 2\) 1p ○ \(\begin{rcases}l{:}\,y = 2 x + b \\ \text{door } A (4 , -7)\end{rcases} \begin{matrix}-7 = 2 ⋅ 4 + b \\ -7 = 8 + b \\ b = -15\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 2 x - 15 \text{.}\) 1p

7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (2)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 10 x - 6 y + 29 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (6 , 5) \text{.}\)

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt

00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 5)^{2} + (y - 3)^{2} = 5\)
Dus \(M (5 , 3)\) en \(r = \sqrt{5} \text{.}\)

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {3 - 5 \over 5 - 6} = 2 \text{.}\)

○

\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = 2\end{rcases} \text{rc}_{l} = -\frac{1}{2}\)

○

\(\begin{rcases}y = -\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (6 , 5)\end{rcases} \begin{matrix}5 = -\frac{1}{2} ⋅ 6 + b \\ 5 = -3 + b \\ b = 8\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -\frac{1}{2} x + 8 \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 10 y + 5 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 4\) en \(y_{A} < y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(k\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\)

Stel de vergelijking op van \(l \text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)

00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} + 10 y + 5 = 0 \\ x = 4\end{rcases}\) geeft
\(4^{2} + y^{2} + 0 ⋅ 4 + 10 y + 5 = 0\)
\(y^{2} + 10 y + 21 = 0\)
\((y + 7) (y + 3) = 0\)
\(y = -7 ∨ y = -3\)

○

\(y_{A} < y_{B} \text{,}\) dus \(A (4 , -7)\) en \(B (4 , -3) \text{.}\)

○

(kwadraatafsplitsen)
\(x^{2} + (y + 5)^{2} - 25 + 5 = 0\)
\(x^{2} + (y + 5)^{2} = 20\)
Dus \(M (0 , -5) \text{.}\)

○

(voor de lijn door \(A\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{AM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {-5 - -7 \over 0 - 4} = -\frac{1}{2} \text{.}\)

○

\(\begin{rcases}\text{AM} \perp l \text{, dus } \text{rc}_{\text{AM}} ⋅ \text{rc}_{l} = -1 \\ \text{rc}_{\text{AM}} = -\frac{1}{2}\end{rcases} \text{rc}_{l} = 2\)

○

\(\begin{rcases}l{:}\,y = 2 x + b \\ \text{door } A (4 , -7)\end{rcases} \begin{matrix}-7 = 2 ⋅ 4 + b \\ -7 = 8 + b \\ b = -15\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = 2 x - 15 \text{.}\)