Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Sinus- en cosinusregel'.

havo wiskunde B	3.2 De sinusregel
Sinus- en cosinusregel (6)	opgave 1 3p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 27 \text{,}\) \(\angle C = 64\degree\) en \(\angle A = 71\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInScherp 007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms a De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} = {A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(B\kern{-.8pt}C = {A\kern{-.8pt}B ⋅ \sin(\angle A) \over \sin(\angle C)} = {27 ⋅ \sin(71\degree) \over \sin(64\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(B\kern{-.8pt}C ≈ 28{,}4 \text{.}\) 1p 3p b Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C = 12 \text{,}\) \(\angle A = 39\degree\) en \(\angle B = 94\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInStomp 007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} = {A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}C = {B\kern{-.8pt}C ⋅ \sin(\angle B) \over \sin(\angle A)} = {12 ⋅ \sin(94\degree) \over \sin(39\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}C ≈ 19{,}0 \text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 12 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B = 20\) en \(\angle B = 28\degree \text{.}\) Bereken \(\angle \text{C} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInScherp 007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 5ms c De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} \text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle C) = {A\kern{-.8pt}B ⋅ \sin(\angle B) \over A\kern{-.8pt}C} = {20 ⋅ \sin(28\degree) \over 12} = 0{,}782... \text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle C ≈ 51{,}5\degree\) of \(\angle C ≈ 128{,}5\degree \text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle C\) een scherpe hoek is, dus \(\angle C ≈ 51{,}5\degree \text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}R = 15 \text{,}\) \(P\kern{-.8pt}Q = 19\) en \(\angle Q = 51\degree \text{.}\) Bereken \(\angle \text{R} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInStomp 007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)} = {P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)} = {Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)} \text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle R) = {P\kern{-.8pt}Q ⋅ \sin(\angle Q) \over P\kern{-.8pt}R} = {19 ⋅ \sin(51\degree) \over 15} = 0{,}984... \text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle R ≈ 79{,}9\degree\) of \(\angle R ≈ 100{,}1\degree \text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle R\) een stompe hoek is, dus \(\angle R ≈ 100{,}1\degree \text{.}\) 1p opgave 2 4p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 17 \text{,}\) \(\angle A = 43\degree\) en \(\angle C = 59\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInScherp 007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms a Uit \(\angle A + \angle B + \angle C = 180\degree\) volgt \(\angle B = 180\degree - \angle A - \angle C = 180\degree - 43\degree - 59\degree = 78\degree \text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} = {A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(B\kern{-.8pt}C = {A\kern{-.8pt}C ⋅ \sin(\angle A) \over \sin(\angle B)} = {17 ⋅ \sin(43\degree) \over \sin(78\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(B\kern{-.8pt}C ≈ 11{,}9 \text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M = 21 \text{,}\) \(\angle K = 32\degree\) en \(\angle M = 41\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(L\kern{-.8pt}M \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInStomp 007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b Uit \(\angle K + \angle L + \angle M = 180\degree\) volgt \(\angle L = 180\degree - \angle K - \angle M = 180\degree - 32\degree - 41\degree = 107\degree \text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)} = {K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)} = {K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(L\kern{-.8pt}M = {K\kern{-.8pt}M ⋅ \sin(\angle K) \over \sin(\angle L)} = {21 ⋅ \sin(32\degree) \over \sin(107\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(L\kern{-.8pt}M ≈ 11{,}6 \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	3.3 De cosinusregel
Sinus- en cosinusregel (4)	opgave 1 3p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 25 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B = 31\) en \(\angle A = 87\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInScherp 007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms a De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}C^{2} + A\kern{-.8pt}B^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}C ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ \cos(\angle A) \text{.}\) 1p ○ Dus \(B\kern{-.8pt}C^{2} = 25^{2} + 31^{2} - 2 ⋅ 25 ⋅ 31 ⋅ \cos(87\degree) = 1504{,}879... \text{.}\) 1p ○ \(B\kern{-.8pt}C = \sqrt{1504{,}879...} ≈ 38{,}8 \text{.}\) 1p 3p b Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 22 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B = 19\) en \(\angle A = 121\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInStomp 007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}C^{2} + A\kern{-.8pt}B^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}C ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ \cos(\angle A) \text{.}\) 1p ○ Dus \(B\kern{-.8pt}C^{2} = 22^{2} + 19^{2} - 2 ⋅ 22 ⋅ 19 ⋅ \cos(121\degree) = 1275{,}571... \text{.}\) 1p ○ \(B\kern{-.8pt}C = \sqrt{1275{,}571...} ≈ 35{,}7 \text{.}\) 1p 4p c Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 24 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C = 24\) en \(A\kern{-.8pt}C = 29 \text{.}\) Bereken \(\angle \text{B} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInScherp 007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 4ms c De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}B^{2} + B\kern{-.8pt}C^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ B\kern{-.8pt}C ⋅ \cos(\angle B) \text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(29^{2} = 24^{2} + 24^{2} - 2 ⋅ 24 ⋅ 24 ⋅ \cos(\angle B)\) dus \(841 = 1\,152 - 1\,152 ⋅ \cos(\angle B) \text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle B) = {841 - 1\,152 \over -1\,152} = 0{,}269...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle B = \cos^{-1}(0{,}269...) ≈ 74{,}3\degree \text{.}\) 1p 4p d Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 18 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C = 26\) en \(A\kern{-.8pt}C = 37 \text{.}\) Bereken \(\angle \text{B} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInStomp 007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}B^{2} + B\kern{-.8pt}C^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ B\kern{-.8pt}C ⋅ \cos(\angle B) \text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(37^{2} = 18^{2} + 26^{2} - 2 ⋅ 18 ⋅ 26 ⋅ \cos(\angle B)\) dus \(1\,369 = 1\,000 - 936 ⋅ \cos(\angle B) \text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle B) = {1\,369 - 1\,000 \over -936} = -0{,}394...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle B = \cos^{-1}(-0{,}394...) ≈ 113{,}2\degree \text{.}\) 1p

"