Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

havo wiskunde B 6.1 Raaklijnen en toppen

Toepassingen van de afgeleide functie (7)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x)=-4x^3+6x^2+2x-1\text{.}\) Op de grafiek van \(f\) ligt het punt \(A\) met \(x_A=1\text{.}\)

4p

Stel algebraïsch de formule op van de raaklijn \(l\) in \(A\text{.}\)

OpstellenFormuleRaaklijn
00a3 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 132ms

\(f(1)=3\text{,}\) dus \(A(1, 3)\text{.}\)

1p

\(f(x)=-4x^3+6x^2+2x-1\) geeft \(f'(x)=-12x^2+12x+2\text{.}\)

1p

Stel \(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=f'(1)=2\text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}y=2x+b \\ \text{door }A(1, 3)\end{rcases}\begin{matrix}2⋅1+b=3 \\ 2+b=3 \\ b=1\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=2x+1\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de functie \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-11x+1\frac{1}{6}\text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-3\text{.}\)

4p

Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B\text{.}\)

RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient
00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms

\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-11x+1\frac{1}{6}\) geeft \(f'(x)=x^2-2x-11\text{.}\)

1p

\(f'(x)=-3\) geeft
\(x^2-2x-11=-3\)
\(x^2-2x-8=0\)
\((x+2)(x-4)=0\)
\(x=-2∨x=4\text{.}\)

1p

\(f(-2)=16\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(A(-2, 16\frac{1}{2})\text{.}\)

1p

\(f(4)=-37\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(B(4, -37\frac{1}{2})\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven is de functie \(f(x)=-x^3-9x^2-15x+48\text{.}\)

4p

Bereken exact de extreme waarden van \(f\text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (1)
00j1 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms

\(f'(x)=-3x^2-18x-15\)

1p

\(f'(x)=0\) geeft
\(-3x^2-18x-15=0\)
\(x^2+6x+5=0\)
\((x+5)(x+1)=0\)
\(x=-5∨x=-1\)

1p

Schets:

xy-5-1

1p

min. is \(f(-5)=23\) en max. is \(f(-1)=55\text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de functie \(f(x)=3x^4+20x^3+24x^2+12\text{.}\)

4p

Bereken exact de extreme waarden van \(f\text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (2)
00j2 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms

\(f'(x)=12x^3+60x^2+48x\)

1p

\(f'(x)=0\) geeft
\(12x^3+60x^2+48x=0\)
\(x^3+5x^2+4x=0\)
\(x(x+4)(x+1)=0\)
\(x=0∨x=-4∨x=-1\)

1p

Schets:

Oxy-4-10

1p

min. is \(f(-4)=-116\text{,}\) max. is \(f(-1)=19\) en min. is \(f(0)=12\text{.}\)

1p

opgave 5

Gegeven is de functie \(f(x)=-\frac{2}{5}x^5-\frac{1}{3}x^3+10x\text{.}\)

4p

Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x=\sqrt{2}\text{.}\)

ExtremeWaardenAantonen
00j3 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 3ms

\(f'(x)=-2x^4-x^2+10\)

1p

\(f'(\sqrt{2})=-2(\sqrt{2})^4-(\sqrt{2})^2+10=0\)

1p

Schets:

Oxy

1p

\(f'(\sqrt{2})=0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x=\sqrt{2}\text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x=\sqrt{2}\text{.}\)

1p

opgave 6

Gegeven is de functie \(f(x)=\frac{2}{3}x-\sqrt{4x-3}\text{.}\)

6p

a

Bereken exact de top van \(f\text{.}\)

2p

b

Bepaal exact het bereik en het domein van \(f\text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (3)
00j4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 4ms - data pool: #142 (4ms)

a

\(f(x)=\frac{2}{3}x-\sqrt{4x-3}=\frac{2}{3}x-(4x-3)^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x)=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}⋅(4x-3)^{-\frac{1}{2}}⋅4=\frac{2}{3}-{2 \over \sqrt{4x-3}}\text{.}\)

2p

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{2}{3}-{2 \over \sqrt{4x-3}}=0\)
\(-{2 \over \sqrt{4x-3}}=-\frac{2}{3}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(2\sqrt{4x-3}=6\)
\(\sqrt{4x-3}=3\)

1p

Kwadrateren geeft
\(4x-3=9\)
\(x=3\)

1p

Schets:

Oxy

1p

min. is \(f(3)=-1\text{.}\)

1p

b

\(4x-3≥0\) geeft \(x≥\frac{3}{4}\text{,}\) dus \(D_f=[\frac{3}{4}, \rightarrow ⟩\text{.}\)

1p

min. is \(f(3)=-1\text{,}\) dus \(B_f=[-1, \rightarrow ⟩\text{.}\)

1p

opgave 7

Gegeven is de functie \(f(x)={4x^2+9x+49 \over 3x}\text{.}\)

5p

Bereken de extreme waarden van \(f\text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (4)
00j5 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 2ms

Uitdelen geeft
\(f(x)={4x^2+9x+49 \over 3x}={4x^2 \over 3x}+{9x \over 3x}+{49 \over 3x}=\frac{4}{3}x+3+\frac{49}{3}x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x)=\frac{4}{3}+\frac{49}{3}⋅-1⋅x^{-2}=\frac{4}{3}-{49 \over 3x^2}\text{.}\)

2p

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{4}{3}-{49 \over 3x^2}=0\)
\(\frac{4}{3}={49 \over 3x^2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(12x^2=147\)
\(x^2=\frac{49}{4}\)
\(x=\sqrt{\frac{49}{4}}=3\frac{1}{2}∨x=-\sqrt{\frac{49}{4}}=-3\frac{1}{2}\)

1p

Schets:

Oxy

1p

min. is \(f(-3\frac{1}{2})=-6\frac{1}{3}\) en max. is \(f(3\frac{1}{2})=12\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

havo wiskunde B 6.4 Toepassingen van de afgeleide

Toepassingen van de afgeleide functie (2)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x)={4 \over 4x+10}\) en het punt \(A\) met \(x_A=-2\text{.}\)

De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A\text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y\text{-}\)as in het punt \(B\text{.}\)

OxyAB

7p

Bereken exact de coördinaten van \(B\text{.}\)

LoodrechteLijnOpstellen
00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 33ms - data pool: #536 (33ms)

\(f(-2)=2\text{,}\) dus \(A(-2, 2)\)

1p

\(f(x)={4 \over 4x+10}=4(4x+10)^{-1}\) geeft
\(f'(x)=4⋅-1⋅(4x+10)^{-2}⋅4={-16 \over (4x+10)^2}\)

2p

\(\text{rc}_k=f'(-2)=-4\)

1p

\(\text{rc}_k⋅\text{rc}_l=-1\) geeft \(\text{rc}_l=\frac{1}{4}\text{,}\) dus \(y=\frac{1}{4}x+b\)

1p

\(\begin{rcases}y=\frac{1}{4}x+b \\ \text{door }A(-2, 2)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{1}{4}⋅-2+b=2 \\ -\frac{2}{4}+b=2 \\ b=2\frac{1}{2}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=\frac{1}{4}x+2\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

\(B(0, 2\frac{1}{2})\)

1p

opgave 2

Gegeven zijn de functies \(f(x)=x^2+2x-4\) en \(g(x)=-x^2+x+2\text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B\text{,}\) met \(x_A<x_B\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C\text{.}\)

OxyABC

7p

Bereken exact de coördinaten van het punt \(C\text{.}\)

RaaklijnAanSnijdendeParabolen
00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 61ms - data pool: #503 (61ms)

De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit
\(x^2+2x-4=-x^2+x+2\)
\(2x^2+x-6=0\)
\(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c\text{-}\)formule met \(D=1^2-4⋅2⋅-6=49\) geeft
\(x={-1-\sqrt{49} \over 2⋅2}=-2∨x={-1+\sqrt{49} \over 2⋅2}=1\frac{1}{2}\)

1p

\(x_A=-2\text{,}\) dus \(y_A=g(-2)=-4\)

1p

\(g'(x)=-2x+1\)

1p

\(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=g'(-2)=5\text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}y=5x+b \\ \text{door }A(-2, -4)\end{rcases}\begin{matrix}5⋅-2+b=-4 \\ -10+b=-4 \\ b=6\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=5x+6\text{.}\)

1p

Snijpunt \(C\) volgt uit
\(x^2+2x-4=5x+6\)
\(x^2-3x-10=0\)
\((x+2)(x-5)=0\)
\(x=-2∨x=5\)

1p

\(x_C=5\text{,}\) dus \(y_C=f(5)=31\) en
\(C(5, 31)\text{.}\)

1p

"