Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1 \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-5 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1\) geeft \(f'(x) = x^{2} - 6 x + 3 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = -5\) geeft \(x^{2} - 6 x + 3 = -5\) \(x^{2} - 6 x + 8 = 0\) \((x - 2) (x - 4) = 0\) \(x = 2 ∨ x = 4 \text{.}\) 1p ○ \(f(2) = -2\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(A (2 , -2\frac{1}{3}) \text{.}\) 1p ○ \(f(4) = -13\frac{2}{3} \text{,}\) dus \(B (4 , -13\frac{2}{3}) \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.4 Toepassingen van de afgeleide
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {2 \over x - 4}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = 3 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 23ms - data pool: #536 (23ms) ○ \(f(3) = -2 \text{,}\) dus \(A (3 , -2)\) 1p ○ \(f(x) = {2 \over x - 4} = 2 (x - 4)^{-1}\) geeft \(f'(x) = 2 ⋅ -1 ⋅ (x - 4)^{-2} ⋅ 1 = {-2 \over (x - 4)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(3) = -2\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = \frac{1}{2} \text{,}\) dus \(y = \frac{1}{2} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = \frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (3 , -2)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{2} ⋅ 3 + b = -2 \\ 1\frac{1}{2} + b = -2 \\ b = -3\frac{1}{2}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = \frac{1}{2} x - 3\frac{1}{2} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , -3\frac{1}{2})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} + 3 x + 3\) en \(g(x) = -x^{2} + 2 x + 4 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 15ms - data pool: #503 (15ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} + 3 x + 3 = -x^{2} + 2 x + 4\) \(2 x^{2} + x - 1 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = 1^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ -1 = 9\) geeft \(x = {-1 - \sqrt{9} \over 2 ⋅ 2} = -1 ∨ x = {-1 + \sqrt{9} \over 2 ⋅ 2} = \frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_{A} = -1 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-1) = 1\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x + 2\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-1) = 4 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 4 x + b \\ \text{door } A (-1 , 1)\end{rcases} \begin{matrix}4 ⋅ -1 + b = 1 \\ -4 + b = 1 \\ b = 5\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 4 x + 5 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} + 3 x + 3 = 4 x + 5\) \(x^{2} - x - 2 = 0\) \((x + 1) (x - 2) = 0\) \(x = -1 ∨ x = 2\) 1p ○ \(x_{C} = 2 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(2) = 13\) en \(C (2 , 13) \text{.}\) 1p

"