Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + 3\frac{2}{3} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(5 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + 3\frac{2}{3}\) geeft \(f'(x) = x^{2} + x - 1 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = 5\) geeft \(x^{2} + x - 1 = 5\) \(x^{2} + x - 6 = 0\) \((x + 3) (x - 2) = 0\) \(x = -3 ∨ x = 2 \text{.}\) 1p ○ \(f(-3) = 2\frac{1}{6} \text{,}\) dus \(A (-3 , 2\frac{1}{6}) \text{.}\) 1p ○ \(f(2) = 6\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(B (2 , 6\frac{1}{3}) \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.4 Toepassingen van de afgeleide
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {-3 \over x - 4}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = 5 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 31ms - data pool: #536 (30ms) ○ \(f(5) = -3 \text{,}\) dus \(A (5 , -3)\) 1p ○ \(f(x) = {-3 \over x - 4} = -3 (x - 4)^{-1}\) geeft \(f'(x) = -3 ⋅ -1 ⋅ (x - 4)^{-2} ⋅ 1 = {3 \over (x - 4)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(5) = 3\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = -\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(y = -\frac{1}{3} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -\frac{1}{3} x + b \\ \text{door } A (5 , -3)\end{rcases} \begin{matrix}-\frac{1}{3} ⋅ 5 + b = -3 \\ -1\frac{2}{3} + b = -3 \\ b = -1\frac{1}{3}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = -\frac{1}{3} x - 1\frac{1}{3} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , -1\frac{1}{3})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} - 3 x + 4\) en \(g(x) = -x^{2} + 5 x - 2 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 20ms - data pool: #503 (20ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} - 3 x + 4 = -x^{2} + 5 x - 2\) \(2 x^{2} - 8 x + 6 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = (-8)^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ 6 = 16\) geeft \(x = {8 - \sqrt{16} \over 2 ⋅ 2} = 1 ∨ x = {8 + \sqrt{16} \over 2 ⋅ 2} = 3\) 1p ○ \(x_{A} = 1 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(1) = 2\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x + 5\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(1) = 3 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 3 x + b \\ \text{door } A (1 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}3 ⋅ 1 + b = 2 \\ 3 + b = 2 \\ b = -1\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 3 x - 1 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} - 3 x + 4 = 3 x - 1\) \(x^{2} - 6 x + 5 = 0\) \((x - 1) (x - 5) = 0\) \(x = 1 ∨ x = 5\) 1p ○ \(x_{C} = 5 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(5) = 14\) en \(C (5 , 14) \text{.}\) 1p

"