\(f(-1)=-5\text{,}\) dus \(A(-1, -5)\text{.}\)

\(f(x)=3x^3-2x^2-6x-6\) geeft \(f'(x)=9x^2-4x-6\text{.}\)

Stel \(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=f'(-1)=7\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=7x+b \\ \text{door }A(-1, -5)\end{rcases}\begin{matrix}7⋅-1+b=-5 \\ -7+b=-5 \\ b=2\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=7x+2\text{.}\)

\(f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-13x+\frac{2}{3}\) geeft \(f'(x)=x^2+2x-13\text{.}\)

\(f'(x)=2\) geeft
\(x^2+2x-13=2\)
\(x^2+2x-15=0\)
\((x+5)(x-3)=0\)
\(x=-5∨x=3\text{.}\)

\(f(-5)=49\text{,}\) dus \(A(-5, 49)\text{.}\)

\(f(3)=-20\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(B(3, -20\frac{1}{3})\text{.}\)

\(f'(x)=-6x^2-30x-24\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(-6x^2-30x-24=0\)
\(x^2+5x+4=0\)
\((x+4)(x+1)=0\)
\(x=-4∨x=-1\)

Schets:

min. is \(f(-4)=-55\) en max. is \(f(-1)=-28\text{.}\)

\(f'(x)=-12x^3+72x^2-60x\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(-12x^3+72x^2-60x=0\)
\(x^3-6x^2+5x=0\)
\(x(x-1)(x-5)=0\)
\(x=0∨x=1∨x=5\)

Schets:

max. is \(f(0)=-42\text{,}\) min. is \(f(1)=-51\) en max. is \(f(5)=333\text{.}\)

\(f'(x)=-x^4-x^2+12\)

\(f'(\sqrt{3})=-(\sqrt{3})^4-(\sqrt{3})^2+12=0\)

Schets:

\(f'(\sqrt{3})=0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x=\sqrt{3}\text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x=\sqrt{3}\text{.}\)

\(f(x)=\frac{1}{2}x-\sqrt{x+5}=\frac{1}{2}x-(x+5)^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}⋅(x+5)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}-{1 \over 2\sqrt{x+5}}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{1}{2}-{1 \over 2\sqrt{x+5}}=0\)
\(-{1 \over 2\sqrt{x+5}}=-\frac{1}{2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(2\sqrt{x+5}=2\)
\(\sqrt{x+5}=1\)

Kwadrateren geeft
\(x+5=1\)
\(x=-4\)

Schets:

min. is \(f(-4)=-3\text{.}\)

\(x+5≥0\) geeft \(x≥-5\text{,}\) dus \(D_f=[-5, \rightarrow ⟩\text{.}\)

min. is \(f(-4)=-3\text{,}\) dus \(B_f=[-3, \rightarrow ⟩\text{.}\)

Uitdelen geeft
\(f(x)={4x^2+6x+81 \over 8x}={4x^2 \over 8x}+{6x \over 8x}+{81 \over 8x}=\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}+\frac{81}{8}x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x)=\frac{1}{2}+\frac{81}{8}⋅-1⋅x^{-2}=\frac{1}{2}-{81 \over 8x^2}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{1}{2}-{81 \over 8x^2}=0\)
\(\frac{1}{2}={81 \over 8x^2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(8x^2=162\)
\(x^2=\frac{81}{4}\)
\(x=\sqrt{\frac{81}{4}}=4\frac{1}{2}∨x=-\sqrt{\frac{81}{4}}=-4\frac{1}{2}\)

Schets:

min. is \(f(-4\frac{1}{2})=-3\frac{3}{4}\) en max. is \(f(4\frac{1}{2})=5\frac{1}{4}\text{.}\)

\(f(4)=1\text{,}\) dus \(A(4, 1)\)

\(f(x)={-1 \over 2x-9}=-1(2x-9)^{-1}\) geeft
\(f'(x)=-1⋅-1⋅(2x-9)^{-2}⋅2={2 \over (2x-9)^2}\)

\(\text{rc}_k=f'(4)=2\)

\(\text{rc}_k⋅\text{rc}_l=-1\) geeft \(\text{rc}_l=-\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(y=-\frac{1}{2}x+b\)

\(\begin{rcases}y=-\frac{1}{2}x+b \\ \text{door }A(4, 1)\end{rcases}\begin{matrix}-\frac{1}{2}⋅4+b=1 \\ -2+b=1 \\ b=3\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{1}{2}x+3\text{.}\)

\(B(0, 3)\)

De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit
\(x^2+5x-5=-x^2+x+1\)
\(2x^2+4x-6=0\)
\(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c\text{-}\)formule met \(D=4^2-4⋅2⋅-6=64\) geeft
\(x={-4-\sqrt{64} \over 2⋅2}=-3∨x={-4+\sqrt{64} \over 2⋅2}=1\)

\(x_A=-3\text{,}\) dus \(y_A=g(-3)=-11\)

\(g'(x)=-2x+1\)

\(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=g'(-3)=7\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=7x+b \\ \text{door }A(-3, -11)\end{rcases}\begin{matrix}7⋅-3+b=-11 \\ -21+b=-11 \\ b=10\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=7x+10\text{.}\)

Snijpunt \(C\) volgt uit
\(x^2+5x-5=7x+10\)
\(x^2-2x-15=0\)
\((x+3)(x-5)=0\)
\(x=-3∨x=5\)

\(x_C=5\text{,}\) dus \(y_C=f(5)=45\) en
\(C(5, 45)\text{.}\)