Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-3x+2\frac{1}{6}\text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(5\text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B\text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-3x+2\frac{1}{6}\) geeft \(f'(x)=x^2+2x-3\text{.}\) 1p ○ \(f'(x)=5\) geeft \(x^2+2x-3=5\) \(x^2+2x-8=0\) \((x+4)(x-2)=0\) \(x=-4∨x=2\text{.}\) 1p ○ \(f(-4)=8\frac{5}{6}\text{,}\) dus \(A(-4, 8\frac{5}{6})\text{.}\) 1p ○ \(f(2)=2\frac{5}{6}\text{,}\) dus \(B(2, 2\frac{5}{6})\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.4 Toepassingen van de afgeleide
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x)={-9 \over 2x-7}\) en het punt \(A\) met \(x_A=5\text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A\text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y\text{-}\)as in het punt \(B\text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B\text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 48ms - data pool: #536 (48ms) ○ \(f(5)=-3\text{,}\) dus \(A(5, -3)\) 1p ○ \(f(x)={-9 \over 2x-7}=-9(2x-7)^{-1}\) geeft \(f'(x)=-9⋅-1⋅(2x-7)^{-2}⋅2={18 \over (2x-7)^2}\) 2p ○ \(\text{rc}_k=f'(5)=2\) 1p ○ \(\text{rc}_k⋅\text{rc}_l=-1\) geeft \(\text{rc}_l=-\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(y=-\frac{1}{2}x+b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=-\frac{1}{2}x+b \\ \text{door }A(5, -3)\end{rcases}\begin{matrix}-\frac{1}{2}⋅5+b=-3 \\ -2\frac{1}{2}+b=-3 \\ b=-\frac{1}{2}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\text{.}\) 1p ○ \(B(0, -\frac{1}{2})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x)=x^2+3x+2\) en \(g(x)=-x^2+4x+5\text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B\text{,}\) met \(x_A<x_B\text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C\text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C\text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 24ms - data pool: #503 (23ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^2+3x+2=-x^2+4x+5\) \(2x^2-x-3=0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c\text{-}\)formule met \(D=(-1)^2-4⋅2⋅-3=25\) geeft \(x={1-\sqrt{25} \over 2⋅2}=-1∨x={1+\sqrt{25} \over 2⋅2}=1\frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_A=-1\text{,}\) dus \(y_A=g(-1)=0\) 1p ○ \(g'(x)=-2x+4\) 1p ○ \(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=g'(-1)=6\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=6x+b \\ \text{door }A(-1, 0)\end{rcases}\begin{matrix}6⋅-1+b=0 \\ -6+b=0 \\ b=6\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y=6x+6\text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^2+3x+2=6x+6\) \(x^2-3x-4=0\) \((x+1)(x-4)=0\) \(x=-1∨x=4\) 1p ○ \(x_C=4\text{,}\) dus \(y_C=f(4)=30\) en \(C(4, 30)\text{.}\) 1p

"