Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde A

'Formule bij tabellen opstellen'.

8.2 Tabellen en groei

Formule bij tabellen opstellen (3)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(t\)	\(2\,020\)	\(2\,021\)	\(2\,022\)	\(2\,023\)	\(2\,024\)
\(B\)	\(17{,}88\)	\(19{,}26\)	\(20{,}64\)	\(22{,}02\)	\(23{,}40\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(B\text{.}\) Neem \(t=0\) in \(2\,020\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Lineair (1)

00jz - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(19{,}26-17{,}88=1{,}38\)

○

\(20{,}64-19{,}26=1{,}38\)
\(22{,}02-20{,}64=1{,}38\)
\(23{,}40-22{,}02=1{,}38\)

○

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(B=at+b\) met \(a=1{,}38\)

○

\(b\) is de waarde bij \(t=0\text{,}\) dus \(b=17{,}88\text{.}\)

○

Dus \(B=1{,}38t+17{,}88\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(t\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(N\)	\(23{,}36\)	\(20{,}79\)	\(18{,}50\)	\(16{,}47\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(N\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Exponentieel (1)

00k1 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

\({20{,}79 \over 23{,}36}≈0{,}89\)

○

\({18{,}50 \over 20{,}79}≈0{,}89\)
\({16{,}47 \over 18{,}50}≈0{,}89\)

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(N=b⋅g^t\) met \(g=0{,}89\)

○

\(b\) is de waarde bij \(t=0\text{,}\) dus \(b=23{,}36\text{.}\)

○

Dus \(N=23{,}36⋅0{,}89^t\text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,021\)	\(2\,022\)	\(2\,023\)	\(2\,024\)
\(y\)	\(15{,}27\)	\(16{,}33\)	\(17{,}39\)	\(18{,}45\)

Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,021\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

LineairOfExponentieel (1)

00k3 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(16{,}33-15{,}27=1{,}06\)

○

\(17{,}39-16{,}33=1{,}06\)
\(18{,}45-17{,}39=1{,}06\)

○

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y=ax+b\) met \(a=1{,}06\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=15{,}27\text{.}\)

○

Dus \(y=1{,}06x+15{,}27\)

vwo wiskunde A

1.3 Interpoleren, extrapoleren en evenredigheid

Formule bij tabellen opstellen (4)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(t\)	\(6\)	\(8\)	\(13\)	\(17\)	\(20\)
\(N\)	\(30{,}96\)	\(28{,}20\)	\(21{,}30\)	\(15{,}78\)	\(11{,}64\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(N\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Lineair (2)

00k0 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({\Delta N \over \Delta t}={28{,}20-30{,}96 \over 8-6}=-1{,}38\)

○

\({\Delta N \over \Delta t}={21{,}30-28{,}20 \over 13-8}=-1{,}38\)
\({\Delta N \over \Delta t}={15{,}78-21{,}30 \over 17-13}=-1{,}38\)
\({\Delta N \over \Delta t}={11{,}64-15{,}78 \over 20-17}=-1{,}38\)

○

De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(N=at+b\) met \(a=-1{,}38\)

○

\(\begin{rcases}N=-1{,}38t+b \\ t=6\text{ en }N=30{,}96\end{rcases}\begin{matrix}-1{,}38⋅6+b=30{,}96 \\ -8{,}28+b=30{,}96 \\ b=39{,}24\end{matrix}\)

○

Dus \(N=-1{,}38t+39{,}24\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(t\)	\(1\)	\(3\)	\(8\)	\(14\)
\(N\)	\(14{,}42\)	\(43{,}26\)	\(115{,}36\)	\(201{,}88\)

Toon aan dat de tabel bij een recht evenredig verband hoort.

Stel de formule op van \(N\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Evenredig

00k5 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

\({N \over t}={14{,}42 \over 1}=14{,}42\)

○

\({N \over t}={43{,}26 \over 3}=14{,}42\)
\({N \over t}={115{,}36 \over 8}=14{,}42\)
\({N \over t}={201{,}88 \over 14}=14{,}42\)

○

De verhoudingen zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een recht evenredig verband.

\(N=at\)

○

\(a=14{,}42\)

○

\(N=14{,}42t\)

opgave 3

Gegeven is de volgende tabel.

\(q\)	\(4\)	\(7\)	\(8\)	\(11\)	\(20\)
\(K\)	\(7{,}70\)	\(4{,}40\)	\(3{,}85\)	\(2{,}80\)	\(1{,}54\)

Toon aan dat de tabel bij een omgekeerd evenredig verband hoort.

Stel de formule op van \(K\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

OmgekeerdEvenredig

00k6 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 2ms - dynamic variables

\(q⋅K=4⋅7{,}70=30{,}80\)

○

\(q⋅K=7⋅4{,}40=30{,}80\)
\(q⋅K=8⋅3{,}85=30{,}80\)
\(q⋅K=11⋅2{,}80=30{,}80\)
\(q⋅K=20⋅1{,}54=30{,}80\)

○

De producten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een omgekeerd evenredig verband.

\(K={a \over q}\)

○

\(a=30{,}8\)

○

\(K={30{,}8 \over q}\)

opgave 4

Gegeven is de volgende tabel.

\(q\)	\(3\)	\(13\)	\(14\)	\(15\)
\(R\)	\(63{,}70\)	\(14{,}70\)	\(13{,}65\)	\(12{,}74\)

Onderzoek of bij de tabel bij een recht evenredig of een omgekeerd evenredig verband hoort.

Stel de formule op van \(R\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

RechtOfOmgekeerdEvenredig

00k7 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(q⋅R=3⋅63{,}70=191{,}10\)

○

\(q⋅R=13⋅14{,}70=191{,}10\)
\(q⋅R=14⋅13{,}65=191{,}10\)
\(q⋅R=15⋅12{,}74=191{,}10\)

○

De producten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een omgekeerd evenredig verband.

\(R={a \over q}\)

○

\(a=191{,}1\)

○

\(R={191{,}1 \over q}\)