Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde A

'Formule van een lijn opstellen'.

2 vwo

3.2 De formule van een lijn opstellen

Formule van een lijn opstellen (5)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (0 , 8)\) en heeft \(\text{rc}_{l} = -3 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

GegevenRcMetBeginpunt

000y - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = -3\)

○

Door \((0 , 8)\) dus \(b = 8 \text{,}\) en dus \(l{:}\,y = -3 x + 8\)

opgave 2

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (0 , 8)\) en is evenwijdig met de lijn \(m{:}\,y = 6 x + 3 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

EvenwijdigMetBeginpunt

000z - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = \text{rc}_{m} = 6\)

○

Door \((0 , 8)\) dus \(b = 8 \text{,}\) en dus \(l{:}\,y = 6 x + 8\)

opgave 3

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (3 , 5)\) en is evenwijdig met de lijn \(m{:}\,y = 2 - 9 x \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

EvenwijdigMetPunt

0010 - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = \text{rc}_{m} = -9\)

○

\(\begin{rcases}y = -9 x + b \\ \text{door } A (3 , 5)\end{rcases} \begin{matrix}-9 ⋅ 3 + b = 5 \\ -27 + b = 5 \\ b = 32\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = -9 x + 32\)

opgave 4

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (7 , 2)\) en heeft \(\text{rc}_{l} = 8 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

GegevenRcMetPunt

0011 - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = 8\)

○

\(\begin{rcases}y = 8 x + b \\ \text{door } A (7 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}8 ⋅ 7 + b = 2 \\ 56 + b = 2 \\ b = -54\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = 8 x - 54\)

opgave 5

Stel de formule op van de lijn.

Grafiek (1)

00my - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 2ms - data pool: #120 (2ms) - dynamic variables

○

\(y = a x + b \text{.}\)

○

Door \((0 , -30) \text{,}\) dus \(b = -30 \text{.}\)

○

\(a = {\text{verticaal} \over \text{horizontaal}} = {10 \over 15} = \frac{2}{3} \text{.}\)

○

\(y = \frac{2}{3} x - 30 \text{.}\)

3 vwo

1.2 Lineaire formules

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x + b \text{.}\)

Grafiek (2)

008t - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 21ms - dynamic variables

○

Rasterpunten \((5 , 0)\) en \((25 , 6)\) aflezen.

○

\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {6 - 0 \over 25 - 5} = 0{,}3\)

○

\(\begin{rcases}y = 0{,}3 x + b \\ \text{door } A (5 , 0)\end{rcases} \begin{matrix}0{,}3 ⋅ 5 + b = 0 \\ 1{,}5 + b = 0 \\ b = -1{,}5\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 0{,}3 x - 1{,}5\)

3 vwo

8.2 Tabellen en groei

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,020\)	\(2\,021\)	\(2\,022\)	\(2\,023\)
\(y\)	\(14{,}09\)	\(13{,}14\)	\(12{,}19\)	\(11{,}24\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,020 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

UitTabel (1)

00jz - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

\(13{,}14 - 14{,}09 = -0{,}95\)

○

\(12{,}19 - 13{,}14 = -0{,}95\)
\(11{,}24 - 12{,}19 = -0{,}95\)

○

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y = a x + b\) met \(a = -0{,}95\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 14{,}09 \text{.}\)

○

Dus \(y = -0{,}95 x + 14{,}09\)

vwo wiskunde A

1.1 Lineaire formules

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Je hebt €200 op je spaarrekening. Elke week geef je €10 uit.

Stel de formule op van het spaarsaldo \(S\) in euro als functie van de tijd \(w\) in weken.

Contextueel

00n9 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 2ms

○

De beginwaarde is \(b = 200 \text{.}\)

○

De verandering is \(a = -10 \text{.}\)

○

De gevraagde formule is dus \(S = -10 w + 200 \text{.}\)

vwo wiskunde A

1.2 Een lijn door twee gegeven punten

Formule van een lijn opstellen (4)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (-6 , 13)\) en \(B (-3 , 7) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePunten (1)

0012 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 1ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {7 - 13 \over -3 - -6} = -2\)

○

\(\begin{rcases}y = -2 x + b \\ \text{door } A (-6 , 13)\end{rcases} \begin{matrix}-2 ⋅ -6 + b = 13 \\ 12 + b = 13 \\ b = 1\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = -2 x + 1\)

opgave 2

\(y\) is een lineaire functie van \(x \text{.}\)
Voor \(x = -7\) is \(y = -25\) en voor \(x = -1\) is \(y = -7 \text{.}\)

Druk \(y\) uit in \(x \text{.}\)

TweePunten (2)

0013 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

○

\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {-7 - -25 \over -1 - -7} = 3\)

○

\(\begin{rcases}y = 3 x + b \\ \text{door } A (-7 , -25)\end{rcases} \begin{matrix}3 ⋅ -7 + b = -25 \\ -21 + b = -25 \\ b = -4\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 3 x - 4\)

opgave 3

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (4 , 3)\) en \(B (7 , 3) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePuntenHorizontaal

0014 - Formule van een lijn opstellen - pro - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {3 - 3 \over 7 - 4} = {0 \over 3} = 0\)

○

\(\begin{rcases}y = b \\ \text{door } A (4 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}b = 3\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = 3\)

opgave 4

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (-7 , -3)\) en \(B (-7 , 7) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePuntenVerticaal

0015 - Formule van een lijn opstellen - pro - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {-3 - 7 \over -7 - -7} = {-10 \over 0}\)

○

Delen door 0 is niet gedefinieerd, het is dus een verticale lijn.

○

Dus een verticale lijn met vergelijking \(l{:}\,x = -7\)

vwo wiskunde A

1.3 Interpoleren, extrapoleren en evenredigheid

Formule van een lijn opstellen (3)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (7 , 28)\) en door de oorsprong.

Stel de formule van \(l\) op.

Evenredig (1)

0017 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms

○

Door de oorsprong betekent dat \(b = 0 \text{,}\) dus \(l{:}\,y = a x\)

○

\(\begin{rcases}y = a x \\ \text{door } A (7 , 28)\end{rcases} \begin{matrix}a ⋅ 7 = 28 \\ a = 4\end{matrix}\)
Dus \(y = 4 x \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is dat \(y\) evenredig is met \(x \text{.}\) Bij \(x = 7\) hoort \(y = 63 \text{.}\)

Stel de formule van \(y\) op.

Evenredig (2)

008s - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms

○

Evenredig betekent \(y = a x \text{.}\)

○

\(\begin{rcases}y = a x \\ \text{door } A (7 , 63)\end{rcases} \begin{matrix}a ⋅ 7 = 63 \\ a = 9\end{matrix}\)
Dus \(y = 9 x \text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(5\)	\(9\)	\(12\)	\(14\)	\(20\)
\(y\)	\(25{,}65\)	\(30{,}29\)	\(33{,}77\)	\(36{,}09\)	\(43{,}05\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

UitTabel (2)

00k0 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({\Delta y \over \Delta x} = {30{,}29 - 25{,}65 \over 9 - 5} = 1{,}16\)

○

\({\Delta y \over \Delta x} = {33{,}77 - 30{,}29 \over 12 - 9} = 1{,}16\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {36{,}09 - 33{,}77 \over 14 - 12} = 1{,}16\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {43{,}05 - 36{,}09 \over 20 - 14} = 1{,}16\)

○

De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y = a x + b\) met \(a = 1{,}16\)

○

\(\begin{rcases}y = 1{,}16 x + b \\ x = 5 \text{ en } y = 25{,}65\end{rcases} \begin{matrix}1{,}16 ⋅ 5 + b = 25{,}65 \\ 5{,}8 + b = 25{,}65 \\ b = 19{,}85\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 1{,}16 x + 19{,}85\)