Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde A

'Formule van een lijn opstellen'.

2 vwo

3.2 De formule van een lijn opstellen

Formule van een lijn opstellen (5)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (0 , 8)\) en heeft \(\text{rc}_{l} = -9 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

GegevenRcMetBeginpunt

000y - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = -9\)

○

Door \((0 , 8)\) dus \(b = 8 \text{,}\) en dus \(l{:}\,y = -9 x + 8\)

opgave 2

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (0 , 6)\) en is evenwijdig met de lijn \(m{:}\,y = 4 x + 9 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

EvenwijdigMetBeginpunt

000z - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = \text{rc}_{m} = 4\)

○

Door \((0 , 6)\) dus \(b = 6 \text{,}\) en dus \(l{:}\,y = 4 x + 6\)

opgave 3

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (5 , 9)\) en is evenwijdig met de lijn \(m{:}\,y = 3 - 6 x \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

EvenwijdigMetPunt

0010 - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = \text{rc}_{m} = -6\)

○

\(\begin{rcases}y = -6 x + b \\ \text{door } A (5 , 9)\end{rcases} \begin{matrix}-6 ⋅ 5 + b = 9 \\ -30 + b = 9 \\ b = 39\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = -6 x + 39\)

opgave 4

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (6 , 2)\) en heeft \(\text{rc}_{l} = 7 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

GegevenRcMetPunt

0011 - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = 7\)

○

\(\begin{rcases}y = 7 x + b \\ \text{door } A (6 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}7 ⋅ 6 + b = 2 \\ 42 + b = 2 \\ b = -40\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = 7 x - 40\)

opgave 5

Stel de formule op van de lijn.

Grafiek (1)

00my - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 3ms - data pool: #120 (3ms) - dynamic variables

○

\(y = a x + b \text{.}\)

○

Door \((0 , -40) \text{,}\) dus \(b = -40 \text{.}\)

○

\(a = {\text{verticaal} \over \text{horizontaal}} = {40 \over 60} = \frac{2}{3} \text{.}\)

○

\(y = \frac{2}{3} x - 40 \text{.}\)

3 vwo

1.2 Lineaire formules

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x + b \text{.}\)

Grafiek (2)

008t - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 20ms - dynamic variables

○

Rasterpunten \((5 , 0)\) en \((25 , 6)\) aflezen.

○

\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {6 - 0 \over 25 - 5} = 0{,}3\)

○

\(\begin{rcases}y = 0{,}3 x + b \\ \text{door } A (5 , 0)\end{rcases} \begin{matrix}0{,}3 ⋅ 5 + b = 0 \\ 1{,}5 + b = 0 \\ b = -1{,}5\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 0{,}3 x - 1{,}5\)

3 vwo

8.2 Tabellen en groei

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)	\(23{,}91\)	\(22{,}49\)	\(21{,}07\)	\(19{,}65\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

UitTabel (1)

00jz - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

\(22{,}49 - 23{,}91 = -1{,}42\)

○

\(21{,}07 - 22{,}49 = -1{,}42\)
\(19{,}65 - 21{,}07 = -1{,}42\)

○

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y = a x + b\) met \(a = -1{,}42\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 23{,}91 \text{.}\)

○

Dus \(y = -1{,}42 x + 23{,}91\)

vwo wiskunde A

1.1 Lineaire formules

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

De afgelopen dagen heeft het 5 mm geregend. Er valt de komende dagen elke dag 2 mm.

Stel de formule op van de hoeveelheid regen \(R\) in mm als functie van de tijd \(t\) in dagen.

Contextueel

00n9 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 2ms

○

De beginwaarde is \(b = 5 \text{.}\)

○

De verandering is \(a = 2 \text{.}\)

○

De gevraagde formule is dus \(R = 2 t + 5 \text{.}\)

vwo wiskunde A

1.2 Een lijn door twee gegeven punten

Formule van een lijn opstellen (4)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (-4 , 13)\) en \(B (7 , -9) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePunten (1)

0012 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 1ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {-9 - 13 \over 7 - -4} = -2\)

○

\(\begin{rcases}y = -2 x + b \\ \text{door } A (-4 , 13)\end{rcases} \begin{matrix}-2 ⋅ -4 + b = 13 \\ 8 + b = 13 \\ b = 5\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = -2 x + 5\)

opgave 2

\(y\) is een lineaire functie van \(x \text{.}\)
Voor \(x = -4\) is \(y = -27\) en voor \(x = 1\) is \(y = -2 \text{.}\)

Druk \(y\) uit in \(x \text{.}\)

TweePunten (2)

0013 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

○

\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {-2 - -27 \over 1 - -4} = 5\)

○

\(\begin{rcases}y = 5 x + b \\ \text{door } A (-4 , -27)\end{rcases} \begin{matrix}5 ⋅ -4 + b = -27 \\ -20 + b = -27 \\ b = -7\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 5 x - 7\)

opgave 3

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (-9 , -7)\) en \(B (2 , -7) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePuntenHorizontaal

0014 - Formule van een lijn opstellen - pro - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {-7 - -7 \over 2 - -9} = {0 \over 11} = 0\)

○

\(\begin{rcases}y = b \\ \text{door } A (-9 , -7)\end{rcases} \begin{matrix}b = -7\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = -7\)

opgave 4

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (-6 , -3)\) en \(B (-6 , 2) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePuntenVerticaal

0015 - Formule van een lijn opstellen - pro - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {-3 - 2 \over -6 - -6} = {-5 \over 0}\)

○

Delen door 0 is niet gedefinieerd, het is dus een verticale lijn.

○

Dus een verticale lijn met vergelijking \(l{:}\,x = -6\)

vwo wiskunde A

1.3 Interpoleren, extrapoleren en evenredigheid

Formule van een lijn opstellen (3)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (4 , 12)\) en door de oorsprong.

Stel de formule van \(l\) op.

Evenredig (1)

0017 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms

○

Door de oorsprong betekent dat \(b = 0 \text{,}\) dus \(l{:}\,y = a x\)

○

\(\begin{rcases}y = a x \\ \text{door } A (4 , 12)\end{rcases} \begin{matrix}a ⋅ 4 = 12 \\ a = 3\end{matrix}\)
Dus \(y = 3 x \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is dat \(y\) evenredig is met \(x \text{.}\) Bij \(x = 7\) hoort \(y = 56 \text{.}\)

Stel de formule van \(y\) op.

Evenredig (2)

008s - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms

○

Evenredig betekent \(y = a x \text{.}\)

○

\(\begin{rcases}y = a x \\ \text{door } A (7 , 56)\end{rcases} \begin{matrix}a ⋅ 7 = 56 \\ a = 8\end{matrix}\)
Dus \(y = 8 x \text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(3\)	\(8\)	\(10\)	\(11\)	\(15\)
\(y\)	\(34{,}09\)	\(24{,}99\)	\(21{,}35\)	\(19{,}53\)	\(12{,}25\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

UitTabel (2)

00k0 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({\Delta y \over \Delta x} = {24{,}99 - 34{,}09 \over 8 - 3} = -1{,}82\)

○

\({\Delta y \over \Delta x} = {21{,}35 - 24{,}99 \over 10 - 8} = -1{,}82\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {19{,}53 - 21{,}35 \over 11 - 10} = -1{,}82\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {12{,}25 - 19{,}53 \over 15 - 11} = -1{,}82\)

○

De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y = a x + b\) met \(a = -1{,}82\)

○

\(\begin{rcases}y = -1{,}82 x + b \\ x = 3 \text{ en } y = 34{,}09\end{rcases} \begin{matrix}-1{,}82 ⋅ 3 + b = 34{,}09 \\ -5{,}46 + b = 34{,}09 \\ b = 39{,}55\end{matrix}\)

○

Dus \(y = -1{,}82 x + 39{,}55\)