Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

vwo wiskunde A	4.3 Rijtjes en roosters
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Bij een wedstrijd zijn in totaal \(9\) doelpunten gemaakt, waarvan team A \(5\) keer scoorde. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal} = \binom{9}{5} = 126\) 1p 1p b Een slinger bestaat uit rode en blauwe vlaggetjes. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(3\) rode en \(4\) blauwe vlaggetjes? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal} = \binom{3 + 4}{3} = 35\) 1p 1p c Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van \(5\) signalen zijn er mogelijk? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal} = 2^{5} = 32\) 1p 2p d Op een aanrecht staat een stapel van \(4\) borden in de kleuren roze en groen. Hoeveel verschillende stapels zijn er mogelijk met hoogstens \(2\) groene borden? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms d Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0 \text{,}\) \(1\) of \(2 \text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal} = \binom{4}{0} + \binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 11\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B \text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(6\) stappen naar rechts en \(4\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal} = \binom{10}{6} = 210\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P \text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{9}{4}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{13}{6} \text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal} = \binom{9}{4} ⋅ \binom{13}{6} = 216\,216\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P \text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{13}{7} ⋅ \binom{6}{2} \text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{19}{9} \text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal} = \binom{19}{9} - \binom{13}{7} ⋅ \binom{6}{2} = 66\,638\) 1p

4.3 Rijtjes en roosters

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Bij een wedstrijd zijn in totaal \(9\) doelpunten gemaakt, waarvan team A \(5\) keer scoorde. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal} = \binom{9}{5} = 126\)

Een slinger bestaat uit rode en blauwe vlaggetjes. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(3\) rode en \(4\) blauwe vlaggetjes?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal} = \binom{3 + 4}{3} = 35\)

Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van \(5\) signalen zijn er mogelijk?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal} = 2^{5} = 32\)

Op een aanrecht staat een stapel van \(4\) borden in de kleuren roze en groen. Hoeveel verschillende stapels zijn er mogelijk met hoogstens \(2\) groene borden?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms

Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0 \text{,}\) \(1\) of \(2 \text{.}\)

○

\(\text{aantal} = \binom{4}{0} + \binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 11\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B \text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(6\) stappen naar rechts en \(4\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal} = \binom{10}{6} = 210\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P \text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{9}{4}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{13}{6} \text{.}\)

○

\(\text{aantal} = \binom{9}{4} ⋅ \binom{13}{6} = 216\,216\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P \text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{13}{7} ⋅ \binom{6}{2} \text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{19}{9} \text{.}\)

○

\(\text{aantal} = \binom{19}{9} - \binom{13}{7} ⋅ \binom{6}{2} = 66\,638\)