Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

vwo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (4)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (-3 , 1)\) en \(B (-6 , -4) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(-3 - -6)^{2} + (1 - -4)^{2}} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (-8 , 7)\) en de lijn \(l{:}\,4 x + 9 y = -6 \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn (2) 00t0 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A , l) = \frac{\vert 4 \cdot -8+63+6 \vert}{\sqrt{4^{2}+9^{2}}} = \frac{37}{\sqrt{97}} = {37 \over 97} \sqrt{97}\) 1p opgave 3 Gegeven is de lijn \(l{:}\,15 x - 8 y = -6 \text{.}\) 4p Bereken exact de coördinaten van de punten \(P\) op de lijn \(x = -2\) die op afstand \(1\) van \(l\) liggen. PuntenOpGegevenAfstandVanLijn 00t1 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 3ms ○ \(P (-2 , p)\) is een punt op de lijn \(x = -2 \text{.}\) \(d(P , l) = \frac{\vert 15 \cdot -2-8 p+6 \vert}{15^{2}+(-8)^{2}} = {\vert -8 p-24 \vert \over 17}\) 1p ○ \(d(P , l) = 1\) geeft \({\vert -8 p-24 \vert \over 17} = 1\) \(\vert -8 p-24 \vert = 17\) 1p ○ \(-8 p - 24 = 17 ∨ -8 p - 24 = -17\) \(-8 p = 41 ∨ -8 p = 7\) \(p = -5\frac{1}{8} ∨ p = -\frac{7}{8}\) 1p ○ Dus \(P_{1} (-2 , -5\frac{1}{8})\) en \(P_{2} (-2 , -\frac{7}{8}) \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met de hoekpunten \(A (8 , -7) \text{,}\) \(B (0 , -9)\) en \(C (5 , 1) \text{.}\) 6p Bereken exact de oppervlakte van \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C \text{.}\) OppervlakteVanDriehoek 00t3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(0-8)^{2}+(-9--7)^{2}} = 2 \sqrt{17}\) 1p ○ Lijn \(l\) door \(A\) en \(B\) heeft \(\text{rc}_{l} = {\Delta y \over \Delta x} = {-9 - -7 \over 0 - 8} = \frac{1}{4}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = \frac{1}{4} x + b \\ \text{door } A (8 , -7)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{4} ⋅ 8 + b = -7 \\ 2 + b = -7 \\ b = -9\end{matrix}\) 1p ○ \(y = {1 \over 4} x-9\) geeft \({1 \over 4} x-y-9 = 0\) oftewel \(x-4 y-36 = 0\) 1p ○ \(d(l , C) = \frac{\vert 1 \cdot 5-4 \cdot 1-36 \vert}{\sqrt{1^{2}+(-4)^{2}}} = \frac{35}{\sqrt{17}}\) 1p ○ \(O(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C) = {1 \over 2} \cdot 2 \sqrt{17} \cdot \frac{35}{\sqrt{17}} = 35 \text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (3)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 10 x - 4 y + 20 = 0\) en het punt \(A (8 , 5) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 5)^{2} + (y - 2)^{2} = 9\) Dus \(M (5 , 2)\) en \(r = \sqrt{9} = 3 \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(5 - 8)^{2} + (2 - 5)^{2}} = \sqrt{18} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(d(c , A) = d(M , A) - r = \sqrt{18} - 3 \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 14\) en het punt \(A (2 , -6) \text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(M (4 , -3)\) en \(r = \sqrt{14} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(2 - 4)^{2} + (-6 - -3)^{2}} = \sqrt{13} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) < r \text{,}\) dus \(A\) ligt binnen \(c \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y + 15 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x - 5)^{2} + (y + 6)^{2} = 8 \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 10\) Dus \(M_{1} (-4 , 3)\) en \(r_{1} = \sqrt{10} \text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (5 , -6) \text{,}\) dus \(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(-4 - 5)^{2} + (3 - -6)^{2}} = \sqrt{162} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_{2} = \sqrt{8} \text{,}\) dus \(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{162}-\sqrt{10}-\sqrt{8} = -\sqrt{10}+7 \sqrt{2} \text{.}\) 1p

"