Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

vwo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (11)	opgave 1 Gegeven is het punt \(M (-7 , -6) \text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2 \text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x + 7)^{2} + (y + 6)^{2} = 4 \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M (3 , 1)\) en \(A (-1 , 0) \text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(r = d(M , A) = \sqrt{(3 - -1)^{2} + (1 - 0)^{2}} = \sqrt{17} \text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 17 \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A (6 , -5)\) en \(B (-1 , 3) \text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B \text{,}\) dus \(M ({1 \over 2} (6 + -1) , {1 \over 2} (-5 + 3)) = M (2\frac{1}{2} , -1) \text{.}\) 1p ○ \(r = d(M , A) = \sqrt{(2\frac{1}{2} - 6)^{2} + (-1 - -5)^{2}} = \sqrt{28\frac{1}{4}} \text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x - 2\frac{1}{2})^{2} + (y + 1)^{2} = 28\frac{1}{4} \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M (2 , 1) \text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x \text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(x \text{-}\)as, dus \(r = d(M , x \text{-as}) = 1 \text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 1 \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het punt \(M (-7 , 0) \text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3 \text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x + 7)^{2} + y^{2} = 9 \text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 10 x - 4 y + 20 = 0 \text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^{2} + y^{2} + 10 x - 4 y + 20 = 0\) \((x + 5)^{2} - 25 + (y - 2)^{2} - 4 + 20 = 0\) \((x + 5)^{2} + (y - 2)^{2} = 9 \text{.}\) 1p ○ Dus \(M (-5 , 2)\) en \(r = \sqrt{9} = 3 \text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x - 9 y + 24 = 0 \text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^{2} + y^{2} - 8 x - 9 y + 24 = 0\) \((x - 4)^{2} - 16 + (y - 4\frac{1}{2})^{2} - 20\frac{1}{4} + 24 = 0\) \((x - 4)^{2} + (y - 4\frac{1}{2})^{2} = 12\frac{1}{4} \text{.}\) 1p ○ Dus \(M (4 , 4\frac{1}{2})\) en \(r = \sqrt{12\frac{1}{4}} \text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 4 y - 5 = 0 \text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^{2} + y^{2} - 4 y - 5 = 0\) \(x^{2} + (y - 2)^{2} - 4 - 5 = 0\) \(x^{2} + (y - 2)^{2} = 9 \text{.}\) 1p ○ Dus \(M (0 , 2)\) en \(r = \sqrt{9} = 3 \text{.}\) 1p opgave 9 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 y - 4 = 0 \text{.}\) De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 1\) en \(y_{A} > y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\) 2p Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B \text{.}\) GegevenRaakpunt (2) 00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(x = 1\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft \(1^{2} + y^{2} + 0 ⋅ 1 + 2 y - 4 = 0 \text{.}\) 1p ○ De vergelijking oplossen geeft \(y^{2} + 2 y - 3 = 0\) \((y + 3) (y - 1) = 0\) \(y = -3 ∨ y = 1\) \(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (1 , 1)\) en \(B (1 , -3) \text{.}\) 1p opgave 10 Gegeven is het punt \(M (7 , 4) \text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2 \text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0 \text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x - 7)^{2} + (y - 4)^{2} = 4 \text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^{2} - 14 x + 49 + y^{2} - 8 y + 16 = 4\) en dus \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 14 x - 8 y + 61 = 0 \text{.}\) 1p opgave 11 Er zijn twee cirkels \(c_{1}\) en \(c_{2}\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y = 4 x + 1\) ligt, die straal \(2\) hebben en die de \(x \text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_{1}\) als \(c_{2}\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ De cirkels raken de \(x \text{-}\)as en hebben straal \(2 \text{,}\) dus \(y_{M} = 2\) of \(y_{M} = -2 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 4 x + 1 \\ y_{M} = 2\end{rcases} \text{ geeft } 4 x + 1 = 2 \text{ dus } x_{M} = \frac{1}{4}\) 1p ○ Middelpunt \(M_{1} (\frac{1}{4} , 2)\) en straal \(r = 2 \text{,}\) dus \(c_{1}{:}\,(x - \frac{1}{4})^{2} + (y - 2)^{2} = 4\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y = 4 x + 1 \\ y_{M} = -2\end{rcases} \text{ geeft } 4 x + 1 = -2 \text{ dus } x_{M} = -\frac{3}{4}\) Middelpunt \(M_{2} (-\frac{3}{4} , -2)\) en straal \(r = 2 \text{,}\) dus \(c_{2}{:}\,(x + \frac{3}{4})^{2} + (y + 2)^{2} = 4\) 1p

vwo wiskunde B

7.3 Cirkelvergelijkingen

De vergelijking van een cirkel (11)

opgave 1

Gegeven is het punt \(M (-7 , -6) \text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2 \text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (1)

00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,(x + 7)^{2} + (y + 6)^{2} = 4 \text{.}\)

opgave 2

Gegeven zijn de punten \(M (3 , 1)\) en \(A (-1 , 0) \text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.

MiddelpuntDoorPunt

00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(r = d(M , A) = \sqrt{(3 - -1)^{2} + (1 - 0)^{2}} = \sqrt{17} \text{.}\)

○

\(c{:}\,(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 17 \text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(A (6 , -5)\) en \(B (-1 , 3) \text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)

Middellijn

00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B \text{,}\) dus
\(M ({1 \over 2} (6 + -1) , {1 \over 2} (-5 + 3)) = M (2\frac{1}{2} , -1) \text{.}\)

○

\(r = d(M , A) = \sqrt{(2\frac{1}{2} - 6)^{2} + (-1 - -5)^{2}} = \sqrt{28\frac{1}{4}} \text{.}\)

○

\(c{:}\,(x - 2\frac{1}{2})^{2} + (y + 1)^{2} = 28\frac{1}{4} \text{.}\)

opgave 4

Gegeven is het punt \(M (2 , 1) \text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x \text{-}\)as.

MiddelpuntRaaktAanAs

00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Cirkel \(c\) raakt aan de \(x \text{-}\)as, dus \(r = d(M , x \text{-as}) = 1 \text{.}\)

○

\(c{:}\,(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 1 \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het punt \(M (-7 , 0) \text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3 \text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (2)

00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,(x + 7)^{2} + y^{2} = 9 \text{.}\)

opgave 6

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 10 x - 4 y + 20 = 0 \text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (1)

00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} + 10 x - 4 y + 20 = 0\)
\((x + 5)^{2} - 25 + (y - 2)^{2} - 4 + 20 = 0\)
\((x + 5)^{2} + (y - 2)^{2} = 9 \text{.}\)

○

Dus \(M (-5 , 2)\) en \(r = \sqrt{9} = 3 \text{.}\)

opgave 7

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x - 9 y + 24 = 0 \text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (2)

00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 8 x - 9 y + 24 = 0\)
\((x - 4)^{2} - 16 + (y - 4\frac{1}{2})^{2} - 20\frac{1}{4} + 24 = 0\)
\((x - 4)^{2} + (y - 4\frac{1}{2})^{2} = 12\frac{1}{4} \text{.}\)

○

Dus \(M (4 , 4\frac{1}{2})\) en \(r = \sqrt{12\frac{1}{4}} \text{.}\)

opgave 8

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 4 y - 5 = 0 \text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (3)

00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 4 y - 5 = 0\)
\(x^{2} + (y - 2)^{2} - 4 - 5 = 0\)
\(x^{2} + (y - 2)^{2} = 9 \text{.}\)

○

Dus \(M (0 , 2)\) en \(r = \sqrt{9} = 3 \text{.}\)

opgave 9

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 y - 4 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 1\) en \(y_{A} > y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)

Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B \text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)

00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

\(x = 1\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(1^{2} + y^{2} + 0 ⋅ 1 + 2 y - 4 = 0 \text{.}\)

○

De vergelijking oplossen geeft
\(y^{2} + 2 y - 3 = 0\)
\((y + 3) (y - 1) = 0\)
\(y = -3 ∨ y = 1\)
\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (1 , 1)\) en \(B (1 , -3) \text{.}\)

opgave 10

Gegeven is het punt \(M (7 , 4) \text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2 \text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0 \text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (3)

00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,(x - 7)^{2} + (y - 4)^{2} = 4 \text{.}\)

○

Haakjes wegwerken geeft
\(x^{2} - 14 x + 49 + y^{2} - 8 y + 16 = 4\)
en dus
\(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 14 x - 8 y + 61 = 0 \text{.}\)

opgave 11

Er zijn twee cirkels \(c_{1}\) en \(c_{2}\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y = 4 x + 1\) ligt, die straal \(2\) hebben en die de \(x \text{-}\)as raken.

Stel van zowel \(c_{1}\) als \(c_{2}\) een vergelijking op.

MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs

00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

De cirkels raken de \(x \text{-}\)as en hebben straal \(2 \text{,}\) dus \(y_{M} = 2\) of \(y_{M} = -2 \text{.}\)

○

\(\begin{rcases}y = 4 x + 1 \\ y_{M} = 2\end{rcases} \text{ geeft } 4 x + 1 = 2 \text{ dus } x_{M} = \frac{1}{4}\)

○

Middelpunt \(M_{1} (\frac{1}{4} , 2)\) en straal \(r = 2 \text{,}\) dus
\(c_{1}{:}\,(x - \frac{1}{4})^{2} + (y - 2)^{2} = 4\)

○

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y = 4 x + 1 \\ y_{M} = -2\end{rcases} \text{ geeft } 4 x + 1 = -2 \text{ dus } x_{M} = -\frac{3}{4}\)
Middelpunt \(M_{2} (-\frac{3}{4} , -2)\) en straal \(r = 2 \text{,}\) dus
\(c_{2}{:}\,(x + \frac{3}{4})^{2} + (y + 2)^{2} = 4\)