Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Extreme waarden bepalen'.

vwo wiskunde B	6.4 Raaklijnen, toppen, rakende en loodrecht snijdende grafieken
Extreme waarden bepalen (5)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 38 \text{.}\) 4p Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (1) 00j1 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ \(f'(x) = 6 x^{2} - 6 x - 12\) 1p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(6 x^{2} - 6 x - 12 = 0\) \(x^{2} - x - 2 = 0\) \((x + 1) (x - 2) = 0\) \(x = -1 ∨ x = 2\) 1p ○ Schets: 1p ○ max. is \(f(-1) = 45\) en min. is \(f(2) = 18 \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de functie \(f(x) = -3 x^{4} - 28 x^{3} - 60 x^{2} + 29 \text{.}\) 4p Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (2) 00j2 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms ○ \(f'(x) = -12 x^{3} - 84 x^{2} - 120 x\) 1p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(-12 x^{3} - 84 x^{2} - 120 x = 0\) \(x^{3} + 7 x^{2} + 10 x = 0\) \(x (x + 5) (x + 2) = 0\) \(x = 0 ∨ x = -5 ∨ x = -2\) 1p ○ Schets: 1p ○ max. is \(f(-5) = 154 \text{,}\) min. is \(f(-2) = -35\) en max. is \(f(0) = 29 \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven is de functie \(f(x) = x^{5} - 4 x^{3} + 4 x \text{.}\) 4p Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\) ExtremeWaardenAantonen 00j3 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ \(f'(x) = 5 x^{4} - 12 x^{2} + 4\) 1p ○ \(f'(\sqrt{2}) = 5 (\sqrt{2})^{4} - 12 (\sqrt{2})^{2} + 4 = 0\) 1p ○ Schets: 1p ○ \(f'(\sqrt{2}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x - \sqrt{4 x + 3} \text{.}\) 6p a Bereken exact de top van \(f \text{.}\) 2p b Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (3) 00j4 - Extreme waarden bepalen - basis - 2ms - data pool: #142 (2ms) a \(f(x) = \frac{1}{3} x - \sqrt{4 x + 3} = \frac{1}{3} x - (4 x + 3)^{\frac{1}{2}}\) geeft \(f'(x) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} ⋅ (4 x + 3)^{-\frac{1}{2}} ⋅ 4 = \frac{1}{3} - {2 \over \sqrt{4 x + 3}} \text{.}\) 2p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(\frac{1}{3} - {2 \over \sqrt{4 x + 3}} = 0\) \(-{2 \over \sqrt{4 x + 3}} = -\frac{1}{3}\) Kruislings vermenigvuldigen geeft \(\sqrt{4 x + 3} = 6\) 1p ○ Kwadrateren geeft \(4 x + 3 = 36\) \(x = 8\frac{1}{4}\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(8\frac{1}{4}) = -3\frac{1}{4} \text{.}\) 1p b \(4 x + 3 ≥ 0\) geeft \(x ≥ -\frac{3}{4} \text{,}\) dus \(D_{f} = [-\frac{3}{4} , \rightarrow ⟩ \text{.}\) 1p ○ min. is \(f(8\frac{1}{4}) = -3\frac{1}{4} \text{,}\) dus \(B_{f} = [-3\frac{1}{4} , \rightarrow ⟩ \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is de functie \(f(x) = {4 x^{2} + 11 x + 9 \over 5 x} \text{.}\) 5p Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (4) 00j5 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ Uitdelen geeft \(f(x) = {4 x^{2} + 11 x + 9 \over 5 x} = {4 x^{2} \over 5 x} + {11 x \over 5 x} + {9 \over 5 x} = \frac{4}{5} x + \frac{11}{5} + \frac{9}{5} x^{-1}\) De afgeleide is dan \(f'(x) = \frac{4}{5} + \frac{9}{5} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{4}{5} - {9 \over 5 x^{2}} \text{.}\) 2p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(\frac{4}{5} - {9 \over 5 x^{2}} = 0\) \(\frac{4}{5} = {9 \over 5 x^{2}}\) Kruislings vermenigvuldigen geeft \(20 x^{2} = 45\) \(x^{2} = \frac{9}{4}\) \(x = \sqrt{\frac{9}{4}} = 1\frac{1}{2} ∨ x = -\sqrt{\frac{9}{4}} = -1\frac{1}{2}\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(-1\frac{1}{2}) = -\frac{1}{5}\) en max. is \(f(1\frac{1}{2}) = 4\frac{3}{5} \text{.}\) 1p

vwo wiskunde B

6.4 Raaklijnen, toppen, rakende en loodrecht snijdende grafieken

Extreme waarden bepalen (5)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 38 \text{.}\)

Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (1)

00j1 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

\(f'(x) = 6 x^{2} - 6 x - 12\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(6 x^{2} - 6 x - 12 = 0\)
\(x^{2} - x - 2 = 0\)
\((x + 1) (x - 2) = 0\)
\(x = -1 ∨ x = 2\)

○

Schets:

○

max. is \(f(-1) = 45\) en min. is \(f(2) = 18 \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de functie \(f(x) = -3 x^{4} - 28 x^{3} - 60 x^{2} + 29 \text{.}\)

Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (2)

00j2 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms

○

\(f'(x) = -12 x^{3} - 84 x^{2} - 120 x\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(-12 x^{3} - 84 x^{2} - 120 x = 0\)
\(x^{3} + 7 x^{2} + 10 x = 0\)
\(x (x + 5) (x + 2) = 0\)
\(x = 0 ∨ x = -5 ∨ x = -2\)

○

Schets:

○

max. is \(f(-5) = 154 \text{,}\) min. is \(f(-2) = -35\) en max. is \(f(0) = 29 \text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de functie \(f(x) = x^{5} - 4 x^{3} + 4 x \text{.}\)

Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\)

ExtremeWaardenAantonen

00j3 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

\(f'(x) = 5 x^{4} - 12 x^{2} + 4\)

○

\(f'(\sqrt{2}) = 5 (\sqrt{2})^{4} - 12 (\sqrt{2})^{2} + 4 = 0\)

○

Schets:

○

\(f'(\sqrt{2}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\)

opgave 4

Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x - \sqrt{4 x + 3} \text{.}\)

Bereken exact de top van \(f \text{.}\)

Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (3)

00j4 - Extreme waarden bepalen - basis - 2ms - data pool: #142 (2ms)

\(f(x) = \frac{1}{3} x - \sqrt{4 x + 3} = \frac{1}{3} x - (4 x + 3)^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} ⋅ (4 x + 3)^{-\frac{1}{2}} ⋅ 4 = \frac{1}{3} - {2 \over \sqrt{4 x + 3}} \text{.}\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{1}{3} - {2 \over \sqrt{4 x + 3}} = 0\)
\(-{2 \over \sqrt{4 x + 3}} = -\frac{1}{3}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(\sqrt{4 x + 3} = 6\)

○

Kwadrateren geeft
\(4 x + 3 = 36\)
\(x = 8\frac{1}{4}\)

○

Schets:

○

min. is \(f(8\frac{1}{4}) = -3\frac{1}{4} \text{.}\)

\(4 x + 3 ≥ 0\) geeft \(x ≥ -\frac{3}{4} \text{,}\) dus \(D_{f} = [-\frac{3}{4} , \rightarrow ⟩ \text{.}\)

○

min. is \(f(8\frac{1}{4}) = -3\frac{1}{4} \text{,}\) dus \(B_{f} = [-3\frac{1}{4} , \rightarrow ⟩ \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is de functie \(f(x) = {4 x^{2} + 11 x + 9 \over 5 x} \text{.}\)

Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (4)

00j5 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

Uitdelen geeft
\(f(x) = {4 x^{2} + 11 x + 9 \over 5 x} = {4 x^{2} \over 5 x} + {11 x \over 5 x} + {9 \over 5 x} = \frac{4}{5} x + \frac{11}{5} + \frac{9}{5} x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x) = \frac{4}{5} + \frac{9}{5} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{4}{5} - {9 \over 5 x^{2}} \text{.}\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{4}{5} - {9 \over 5 x^{2}} = 0\)
\(\frac{4}{5} = {9 \over 5 x^{2}}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(20 x^{2} = 45\)
\(x^{2} = \frac{9}{4}\)
\(x = \sqrt{\frac{9}{4}} = 1\frac{1}{2} ∨ x = -\sqrt{\frac{9}{4}} = -1\frac{1}{2}\)

○

Schets:

○

min. is \(f(-1\frac{1}{2}) = -\frac{1}{5}\) en max. is \(f(1\frac{1}{2}) = 4\frac{3}{5} \text{.}\)