Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Extreme waarden bepalen'.

vwo wiskunde B 6.4 Raaklijnen, toppen, rakende en loodrecht snijdende grafieken

Extreme waarden bepalen (5)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x) = -x^{3} + 6 x^{2} + 15 x + 29 \text{.}\)

4p

Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (1)
00j1 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

\(f'(x) = -3 x^{2} + 12 x + 15\)

1p

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(-3 x^{2} + 12 x + 15 = 0\)
\(x^{2} - 4 x - 5 = 0\)
\((x + 1) (x - 5) = 0\)
\(x = -1 ∨ x = 5\)

1p

○

Schets:

xy-15

1p

○

min. is \(f(-1) = 21\) en max. is \(f(5) = 129 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de functie \(f(x) = -3 x^{4} - 4 x^{3} + 120 x^{2} + 47 \text{.}\)

4p

Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (2)
00j2 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

\(f'(x) = -12 x^{3} - 12 x^{2} + 240 x\)

1p

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(-12 x^{3} - 12 x^{2} + 240 x = 0\)
\(x^{3} + x^{2} - 20 x = 0\)
\(x (x + 5) (x - 4) = 0\)
\(x = 0 ∨ x = -5 ∨ x = 4\)

1p

○

Schets:

Oxy-504

1p

○

max. is \(f(-5) = 1\,672 \text{,}\) min. is \(f(0) = 47\) en max. is \(f(4) = 943 \text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3} - 12 x \text{.}\)

4p

Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{3} \text{.}\)

ExtremeWaardenAantonen
00j3 - Extreme waarden bepalen - basis - 2ms

○

\(f'(x) = x^{4} + x^{2} - 12\)

1p

○

\(f'(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^{4} + (\sqrt{3})^{2} - 12 = 0\)

1p

○

Schets:

Oxy

1p

○

\(f'(\sqrt{3}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{3} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{3} \text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{2} x - \sqrt{x + 4} \text{.}\)

6p

a

Bereken exact de top van \(f \text{.}\)

2p

b

Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (3)
00j4 - Extreme waarden bepalen - basis - 3ms - data pool: #142 (2ms)

a

\(f(x) = \frac{1}{2} x - \sqrt{x + 4} = \frac{1}{2} x - (x + 4)^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} ⋅ (x + 4)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} - {1 \over 2 \sqrt{x + 4}} \text{.}\)

2p

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{1}{2} - {1 \over 2 \sqrt{x + 4}} = 0\)
\(-{1 \over 2 \sqrt{x + 4}} = -\frac{1}{2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(2 \sqrt{x + 4} = 2\)
\(\sqrt{x + 4} = 1\)

1p

○

Kwadrateren geeft
\(x + 4 = 1\)
\(x = -3\)

1p

○

Schets:

Oxy

1p

○

min. is \(f(-3) = -2\frac{1}{2} \text{.}\)

1p

b

\(x + 4 ≥ 0\) geeft \(x ≥ -4 \text{,}\) dus \(D_{f} = [-4 , \rightarrow ⟩ \text{.}\)

1p

○

min. is \(f(-3) = -2\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(B_{f} = [-2\frac{1}{2} , \rightarrow ⟩ \text{.}\)

1p

opgave 5

Gegeven is de functie \(f(x) = {4 x^{2} + 2 x + 1 \over 8 x} \text{.}\)

5p

Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (4)
00j5 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

Uitdelen geeft
\(f(x) = {4 x^{2} + 2 x + 1 \over 8 x} = {4 x^{2} \over 8 x} + {2 x \over 8 x} + {1 \over 8 x} = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{1}{2} - {1 \over 8 x^{2}} \text{.}\)

2p

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{1}{2} - {1 \over 8 x^{2}} = 0\)
\(\frac{1}{2} = {1 \over 8 x^{2}}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(8 x^{2} = 2\)
\(x^{2} = \frac{1}{4}\)
\(x = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} ∨ x = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}\)

1p

○

Schets:

Oxy

1p

○

min. is \(f(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}\) en max. is \(f(\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} \text{.}\)

1p
"