Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Extremen met een parameter'.

vwo wiskunde B 1.3 Werken met parameters

Extremen met een parameter (8)

opgave 1

Bereken exact voor welke \(p\) de vergelijking

4p

a

\(-3 x^{2} - 4 x + p = -5\) één oplossing heeft.

Vergelijking (1)
00sx - Extremen met een parameter - basis - 1ms

a

Één oplossing betekent \(D = 0 \text{.}\)

1p

○

\(-3 x^{2} - 4 x + p = -5\)
\(-3 x^{2} - 4 x + p + 5 = 0\)
\(D = (-4)^{2} - 4 ⋅ -3 ⋅ (p + 5)\)

1p

○

\(D = 16 + 12 (p + 5)\)
\(\text{} = 16 + 12 p + 60\)
\(\text{} = 12 p + 76\)

1p

○

(\(D = 0\) geeft)
\(12 p + 76 = 0\)
\(12 p = -76\)
\(p = -6\frac{1}{3}\)

1p

3p

b

\(6 x^{2} + p x + 7 = -4\) geen oplossingen heeft.

Vergelijking (2)
00sy - Extremen met een parameter - basis - 0ms

b

Geen oplossingen betekent \(D < 0 \text{.}\)

1p

○

\(6 x^{2} + p x + 7 = -4\)
\(6 x^{2} + p x + 11 = 0\)
\(D = p^{2} - 4 ⋅ 6 ⋅ 11 = p^{2} - 264\)

1p

○

(\(D < 0\) geeft)
\(p^{2} - 264 < 0\)
\(p^{2} < 264\)
\(-2 \sqrt{66} < p < 2 \sqrt{66}\)

1p

4p

c

\(p x^{2} + x + 5 = 6\) twee oplossingen heeft.

Vergelijking (3)
00sz - Extremen met een parameter - basis - 0ms

c

Als \(p ≠ 0\) dan heeft de vergelijking twee oplossingen als \(D > 0 \text{.}\)

1p

○

\(p x^{2} + x + 5 = 6\)
\(p x^{2} + x - 1 = 0\)
\(D = 1^{2} - 4 ⋅ p ⋅ 5 = 1 - 20 p\)

1p

○

(\(D > 0\) geeft)
\(1 - 20 p > 0\)
\(-20 p > -1\)
\(p < \frac{1}{20}\)

1p

○

Als \(p = 0\) dan geeft wordt de vergelijking \(x + 5 = 0\) en deze heeft één oplossing.
Dus twee oplossingen voor \(p < \frac{1}{20} ∧ p ≠ 0\)

1p

opgave 2

Voor elke waarde van \(p\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = x^{2} + p x + 4 \text{.}\)

3p

Bereken exact voor welke \(p\) het minimum \(3\) is.

TopVanParabool (1)
00sr - Extremen met een parameter - basis - 2ms - data pool: #306 (2ms)

○

\(x_{\text{top}} = {-p \over 2 ⋅ 1} = -\frac{1}{2} p\)

1p

○

\(y_{\text{top}} = f_{p} (-\frac{1}{2} p)\)
\(\text{} = (-\frac{1}{2} p)^{2} + p ⋅ -\frac{1}{2} p + 4\)
\(\text{} = \frac{1}{4} p^{2} - \frac{1}{2} p^{2} + 4\)
\(\text{} = -\frac{1}{4} p^{2} + 4\)

1p

○

(Het minimum is \(3\) geeft)
\(-\frac{1}{4} p^{2} + 4 = 3\)
\(-\frac{1}{4} p^{2} = -1\)
\(p^{2} = 4\)
\(p = 2 ∨ p = -2\)

1p

opgave 3

Voor elke waarde van \(p\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = -2 x^{2} + p x - 3 \text{.}\)

4p

Bereken exact voor welke \(p\) de top van de grafiek van \(f_{p}\) op de lijn \(y = 3 x + 2\) ligt.

TopVanParabool (2)
00ss - Extremen met een parameter - basis - 17ms - data pool: #2639 (17ms)

○

\(x_{\text{top}} = {-p \over 2 ⋅ -2} = \frac{1}{4} p\)

1p

○

\(y_{\text{top}} = f_{p} (\frac{1}{4} p)\)
\(\text{} = -2 ⋅ (\frac{1}{4} p)^{2} + p ⋅ \frac{1}{4} p - 3\)
\(\text{} = -2 ⋅ \frac{1}{16} p^{2} + \frac{1}{4} p^{2} - 3\)
\(\text{} = \frac{1}{8} p^{2} - 3\)

1p

○

\(\begin{rcases}(\frac{1}{4} p , \frac{1}{8} p^{2} - 3) \\ y = 3 x + 2\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{8} p^{2} - 3 = 3 ⋅ \frac{1}{4} p + 2\end{matrix}\)

1p

○

\(\frac{1}{8} p^{2} - \frac{3}{4} p - 5 = 0\)
\(p^{2} - 6 p - 40 = 0\)
\((p + 4) (p - 10) = 0\)
\(p = -4 ∨ p = 10\)

1p

opgave 4

Van de functie \(f_{p} (x) = p x^{2} + 4 x - 5\) is de extreme waarde \(-13 \text{.}\)

3p

a

Bereken exact de waarde van \(p \text{.}\)

1p

b

Is de extreme waarde een maximum of een minimum? Licht toe.

TopVanParabool (3)
00st - Extremen met een parameter - basis - 2ms - data pool: #364 (2ms)

a

\(x_{\text{top}} = {-4 \over 2 ⋅ p} = -{2 \over p}\)

1p

○

\(y_{\text{top}} = f_{p} (-{2 \over p})\)
\(\text{} = p ⋅ (-{2 \over p})^{2} + 4 ⋅ -{2 \over p} - 5\)
\(\text{} = p ⋅ {4 \over p^{2}} - {8 \over p} - 5\)
\(\text{} = {4 \over p} - {8 \over p} - 5\)
\(\text{} = -{4 \over p} - 5\)

1p

○

(De extreme waarde is \(-13\) geeft)
\(-{4 \over p} - 5 = -13\)
\(-{4 \over p} = -8\)
\(p = {-4 \over -8} = \frac{1}{2}\)

1p

b

\(f_{\frac{1}{2}} (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 4 x - 5\)
De grafiek is een dalparabool, dus de extreme waarde is een minimum.

1p

opgave 5

Voor elke waarde van \(p\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = 4 x^{2} + p x + 1 \text{.}\)

3p

a

Bereken exact voor welke \(p\) het minimum van \(f_{p}\) positief is.

3p

b

Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de grafieken van de functies \(f_{p}\) liggen.

KrommeDoorTop (1)
00sv - Extremen met een parameter - basis - 1ms

a

Voor elke \(p\) is de grafiek van \(f_{p}\) een dalparabool, dus \(D < 0\) (want voor een positief minimum moet een dalparabool geen snijpunten hebben met de \(x \text{-}\)as).

1p

○

\(D = p^{2} - 4 ⋅ 4 ⋅ 1 = p^{2} - 16\)

1p

○

(\(D < 0\) geeft)
\(p^{2} - 16 < 0\)
\(p^{2} < 16\)
\(-4 < p < 4\)

1p

b

\(x_{\text{top}} = {-p \over 2 ⋅ 4} = {-p \over 8}\)

1p

○

Hieruit volgt \(p = -8 x\)

1p

○

(Substitutie van \(p = -8 x\) in \(y = 4 x^{2} + p x + 1\) geeft)
\(y = 4 x^{2} - 8 x ⋅ x + 1\)
\(y = 4 x^{2} - 8 x^{2} + 1\)
\(y = -4 x^{2} + 1\)

1p

opgave 6

Voor elke waarde van \(p ≠ 0\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = p x^{2} + 4 x + 5 \text{.}\)

3p

a

Bereken exact voor welke \(p\) de grafiek van \(f_{p}\) geen snijpunten met de \(x \text{-}\)as heeft.

3p

b

Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de grafieken van de functies \(f_{p}\) liggen.

KrommeDoorTop (2)
00sw - Extremen met een parameter - basis - 0ms

a

Geen snijpunten met de \(x \text{-}\)as betekent \(D < 0 \text{.}\)

1p

○

\(D = 4^{2} - 4 ⋅ p ⋅ 5 = 16 - 20 p\)

1p

○

(\(D < 0\) geeft)
\(16 - 20 p < 0\)
\(-20 p < -16\)
\(p > \frac{4}{5}\)

1p

b

\(x_{\text{top}} = {-4 \over 2 p} = -{2 \over p}\)

1p

○

Hieruit volgt \(p = -{2 \over x}\)

1p

○

(Substitutie van \(p = -{2 \over x}\) in \(y = p x^{2} + 4 x + 5\) geeft)
\(y = -{2 \over x} ⋅ x^{2} + 4 x + 5\)
\(y = -2 x + 4 x + 5\)
\(y = 2 x + 5\)

1p
"