Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Formule bij exponentiële groei opstellen'.

3 vwo 8.2 Tabellen en groei

Formule bij exponentiële groei opstellen (2)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(2\,021\)

\(2\,022\)

\(2\,023\)

\(2\,024\)

\(2\,025\)

\(y\)

\(17{,}78\)

\(18{,}31\)

\(18{,}86\)

\(19{,}43\)

\(20{,}01\)

3p

a

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,021 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (1)
00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

a

\({18{,}31 \over 17{,}78} ≈ 1{,}03\)

1p

○

\({18{,}86 \over 18{,}31} ≈ 1{,}03\)
\({19{,}43 \over 18{,}86} ≈ 1{,}03\)
\({20{,}01 \over 19{,}43} ≈ 1{,}03\)

1p

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

1p

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}03\)

1p

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 17{,}78 \text{.}\)

1p

○

Dus \(y = 17{,}78 ⋅ 1{,}03^{x} \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(4\)

\(y\)

\(24{,}62\)

\(20{,}93\)

\(17{,}79\)

\(15{,}12\)

\(12{,}85\)

3p

a

Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

LineairOfExponentieelUitTabel (1)
00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

a

\({20{,}93 \over 24{,}62} ≈ 0{,}85\)

1p

○

\({17{,}79 \over 20{,}93} ≈ 0{,}85\)
\({15{,}12 \over 17{,}79} ≈ 0{,}85\)
\({12{,}85 \over 15{,}12} ≈ 0{,}85\)

1p

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

1p

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}85\)

1p

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 24{,}62 \text{.}\)

1p

○

Dus \(y = 24{,}62 ⋅ 0{,}85^{x} \text{.}\)

1p
vwo wiskunde B 9.1 Groeifactoren en groeipercentages

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

3p

a

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe met \(4{,}8\%\) per seconde. Op \(x = 0\) is \(y = 417 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in seconden.
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde
0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 5ms - dynamic variables

a

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{seconde}} = 1 + {4{,}8 \over 100} = 1{,}048 \text{.}\)

1p

○

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 417 \text{.}\)

1p

○

\(y = 417 ⋅ 1{,}048^{x} \text{.}\)

1p

3p

b

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 4\) is \(y = 506\) en bij \(x = 7\) is \(y = 563 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenStijgend
0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({563 \over 506})^{{1 \over 7 - 4}} = 1{,}036...\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}036...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 506\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}036...^{4} = 506 \\ b = {506 \over 1{,}036...^{4}} ≈ 439\end{matrix}\)

1p

○

\(y = 439 ⋅ 1{,}036^{x} \text{.}\)

1p

3p

c

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 4\) is \(y = 429\) en bij \(x = 6\) is \(y = 397 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenDalend
0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

c

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({397 \over 429})^{{1 \over 6 - 4}} = 0{,}961...\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}961...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 429\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}961...^{4} = 429 \\ b = {429 \over 0{,}961...^{4}} ≈ 501\end{matrix}\)

1p

○

\(y = 501 ⋅ 0{,}962^{x} \text{.}\)

1p
"