Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Gelijkvormige driehoeken'.

vwo wiskunde B	3.1 Berekeningen in driehoeken
Gelijkvormige driehoeken (6)	opgave 1 Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=2\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=2\) en \(B\kern{-.8pt}C=5\text{.}\) 3p Bereken \(D\kern{-.8pt}E\text{.}\) Gelijkvormigheid (1) 00ou - Gelijkvormige driehoeken - basis - 3ms - data pool: #102 (3ms) ○ \(\triangle A\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E∼\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B}={D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\) 1p ○ \({2 \over 4}={D\kern{-.8pt}E \over 5}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(D\kern{-.8pt}E={2⋅5 \over 4}=2\frac{1}{2}\) 1p opgave 2 Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B=7\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D=9\) en \(C\kern{-.8pt}E=4\text{.}\) 4p Bereken \(B\kern{-.8pt}F\text{.}\) Gelijkvormigheid (3) 00ov - Gelijkvormige driehoeken - basis - 1ms ○ \(B\kern{-.8pt}E=B\kern{-.8pt}C-C\kern{-.8pt}E=9-4=5\text{.}\) 1p ○ \(\triangle C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E∼\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E\) geeft \({C\kern{-.8pt}D \over B\kern{-.8pt}F}={C\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}E}={D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ \({7 \over B\kern{-.8pt}F}={4 \over 5}={D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(B\kern{-.8pt}F={7⋅5 \over 4}=8\frac{3}{4}\) 1p opgave 3 Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B=3\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D=2\) en \(B\kern{-.8pt}F=7\text{.}\) 4p Bereken \(C\kern{-.8pt}E\text{.}\) Gelijkvormigheid (4) 00ow - Gelijkvormige driehoeken - basis - 0ms ○ \(\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E∼\triangle A\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}D\) geeft \({B\kern{-.8pt}F \over A\kern{-.8pt}F}={F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D}={B\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}D}\) 1p ○ \({7 \over 10}={F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D}={B\kern{-.8pt}E \over 2}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(B\kern{-.8pt}E={7⋅2 \over 10}=1\frac{2}{5}\) 1p ○ \(C\kern{-.8pt}E=B\kern{-.8pt}C-B\kern{-.8pt}E=2-1\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=7\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=8\) en \(D\kern{-.8pt}E=3\text{.}\) 4p Bereken \(A\kern{-.8pt}D\text{.}\) GelijkvormigheidMetX (1) 00ox - Gelijkvormige driehoeken - basis - 4ms - data pool: #113 (3ms) ○ \(\triangle D\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}E∼\triangle B\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}={D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}\) 1p ○ Neem \(A\kern{-.8pt}D=x\text{,}\) dan geldt \(A\kern{-.8pt}B=x+8\) en dus \({x \over x+8}={A\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}={3 \over 7}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(7x=3(x+8)\) 1p ○ \(7x=3x+24\) \(4x=24\) \(x={24 \over 4}=6\text{,}\) dus \(A\kern{-.8pt}D=6\text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=7\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=8\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=9\) en \(B\kern{-.8pt}E=10\text{.}\) 3p Bereken \(D\kern{-.8pt}E\text{.}\) Gelijkvormigheid (2) 00pd - Gelijkvormige driehoeken - basis - 21ms - data pool: #201 (20ms) ○ \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C∼\triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E}={B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D}={A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ \({15 \over 10}={9 \over D\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(D\kern{-.8pt}E={10⋅9 \over 15}=6\) 1p opgave 6 Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=12\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=3\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=11\) en \(C\kern{-.8pt}E=4\text{.}\) 5p Bereken \(B\kern{-.8pt}E\text{.}\) GelijkvormigheidMetX (2) 00pe - Gelijkvormige driehoeken - basis - 20ms - data pool: #201 (20ms) ○ \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C∼\triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E}={B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D}={A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ Neem \(B\kern{-.8pt}E=x\text{,}\) dan geldt \(B\kern{-.8pt}C=x+4\) en dus \({15 \over x}={x+4 \over 3}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(x(x+4)=45\) 1p ○ \(x^2+4x-45=0\) \((x-5)(x+9)=0\) \(x=5∨x=-9\) 1p ○ [Een lengte is altijd positief, dus] \(B\kern{-.8pt}E=5\text{.}\) 1p

3.1 Berekeningen in driehoeken

Gelijkvormige driehoeken (6)

opgave 1

Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=2\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=2\) en \(B\kern{-.8pt}C=5\text{.}\)

Bereken \(D\kern{-.8pt}E\text{.}\)

Gelijkvormigheid (1)

00ou - Gelijkvormige driehoeken - basis - 3ms - data pool: #102 (3ms)

○

\(\triangle A\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E∼\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B}={D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\)

○

\({2 \over 4}={D\kern{-.8pt}E \over 5}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(D\kern{-.8pt}E={2⋅5 \over 4}=2\frac{1}{2}\)

opgave 2

Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B=7\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D=9\) en \(C\kern{-.8pt}E=4\text{.}\)

Bereken \(B\kern{-.8pt}F\text{.}\)

Gelijkvormigheid (3)

00ov - Gelijkvormige driehoeken - basis - 1ms

○

\(B\kern{-.8pt}E=B\kern{-.8pt}C-C\kern{-.8pt}E=9-4=5\text{.}\)

○

\(\triangle C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E∼\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E\) geeft \({C\kern{-.8pt}D \over B\kern{-.8pt}F}={C\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}E}={D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\)

○

\({7 \over B\kern{-.8pt}F}={4 \over 5}={D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(B\kern{-.8pt}F={7⋅5 \over 4}=8\frac{3}{4}\)

opgave 3

Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B=3\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D=2\) en \(B\kern{-.8pt}F=7\text{.}\)

Bereken \(C\kern{-.8pt}E\text{.}\)

Gelijkvormigheid (4)

00ow - Gelijkvormige driehoeken - basis - 0ms

○

\(\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E∼\triangle A\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}D\) geeft \({B\kern{-.8pt}F \over A\kern{-.8pt}F}={F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D}={B\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}D}\)

○

\({7 \over 10}={F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D}={B\kern{-.8pt}E \over 2}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(B\kern{-.8pt}E={7⋅2 \over 10}=1\frac{2}{5}\)

○

\(C\kern{-.8pt}E=B\kern{-.8pt}C-B\kern{-.8pt}E=2-1\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\text{.}\)

opgave 4

Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=7\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=8\) en \(D\kern{-.8pt}E=3\text{.}\)

Bereken \(A\kern{-.8pt}D\text{.}\)

GelijkvormigheidMetX (1)

00ox - Gelijkvormige driehoeken - basis - 4ms - data pool: #113 (3ms)

○

\(\triangle D\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}E∼\triangle B\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}={D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}\)

○

Neem \(A\kern{-.8pt}D=x\text{,}\) dan geldt \(A\kern{-.8pt}B=x+8\) en dus
\({x \over x+8}={A\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}={3 \over 7}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(7x=3(x+8)\)

○

\(7x=3x+24\)
\(4x=24\)
\(x={24 \over 4}=6\text{,}\) dus \(A\kern{-.8pt}D=6\text{.}\)

opgave 5

Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=7\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=8\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=9\) en \(B\kern{-.8pt}E=10\text{.}\)

Bereken \(D\kern{-.8pt}E\text{.}\)

Gelijkvormigheid (2)

00pd - Gelijkvormige driehoeken - basis - 21ms - data pool: #201 (20ms)

○

\(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C∼\triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E}={B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D}={A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\)

○

\({15 \over 10}={9 \over D\kern{-.8pt}E}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(D\kern{-.8pt}E={10⋅9 \over 15}=6\)

opgave 6

Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=12\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=3\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=11\) en \(C\kern{-.8pt}E=4\text{.}\)

Bereken \(B\kern{-.8pt}E\text{.}\)

GelijkvormigheidMetX (2)

00pe - Gelijkvormige driehoeken - basis - 20ms - data pool: #201 (20ms)

○

Neem \(B\kern{-.8pt}E=x\text{,}\) dan geldt \(B\kern{-.8pt}C=x+4\) en dus
\({15 \over x}={x+4 \over 3}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(x(x+4)=45\)

○

\(x^2+4x-45=0\)
\((x-5)(x+9)=0\)
\(x=5∨x=-9\)

○

[Een lengte is altijd positief, dus] \(B\kern{-.8pt}E=5\text{.}\)