Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Parameterkrommen'.

vwo wiskunde B	10.4 Vectoren bij snelheid en versnelling
Parameterkrommen (7)	opgave 1 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = \frac{1}{4} t^{2} + t \\ y(t) = -\frac{2}{3} t^{3} + 6 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(x \text{-}\)as. SnijpuntenXas 00qo - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ Snijpunt met de \(x \text{-}\)as betekent \(y(t) = 0 \text{,}\) dit geeft \(-\frac{2}{3} t^{3} + 6 t = 0\) 1p ○ [Oplossen geeft] \(t (-\frac{2}{3} t^{2} + 6) = 0\) \(t = 0 ∨ -\frac{2}{3} t^{2} + 6 = 0\) \(t = 0 ∨ t^{2} - 9 = 0\) \(t = 0 ∨ t^{2} = 9\) \(t = 0 ∨ t = -3 ∨ t = 3\) 1p ○ [De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn dan] \(t = 0\) geeft \(x(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\) \(t = -3\) geeft \(x(-3) = -\frac{3}{4} \text{,}\) dus \((-\frac{3}{4} , 0)\) \(t = 3\) geeft \(x(3) = 5\frac{1}{4} \text{,}\) dus \((5\frac{1}{4} , 0)\) 1p opgave 2 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = \frac{1}{2} t^{2} + t \\ y(t) = -t^{3} + 12 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((4 , 16) \text{.}\) ZelfsnijpuntAantonen 00qp - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ [Oplossen van \(x(t) = 4\) geeft] \(\frac{1}{2} t^{2} + t = 4\) \(\frac{1}{2} t^{2} + t - 4 = 0\) \(t^{2} + 2 t - 8 = 0\) \((t + 4) (t - 2) = 0\) \(t = -4 ∨ t = 2\) 1p ○ \(y(-4) = 16 \text{,}\) dus \(t = -4\) geeft het punt \((4 , 16) \text{.}\) 1p ○ \(y(2) = 16 \text{,}\) dus \(t = 2\) geeft ook het punt \((4 , 16) \text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt. 1p opgave 3 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -1\frac{2}{3} t^{3} + 5 t \\ y(t) = -2 t^{2} + 4 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x \text{-}\)as. EvenwijdigMetAs (1) 00qq - Parameterkrommen - basis - 1ms ○ \(x'(t) = -5 t^{2} + 5\) \(y'(t) = -4 t + 4\) 1p ○ [Evenwijdig met de x-as, dus] \(y'(t) = 0\) \(-4 t + 4 = 0\) \(-4 t = -4\) \(t = 1\) 1p ○ \(x'(1) = 0 \text{,}\) dus voor \(t = 1\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((3\frac{1}{3} , 2) \text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(x \text{-}\)as. 1p opgave 4 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -t^{3} + 12 t \\ y(t) = -1\frac{1}{2} t^{2} + 3 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. De baan snijdt zichzelf voor \(t = -2\) en voor \(t = 4\) in het punt \((-16 , -12) \text{.}\) 5p Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal. HoekInZelfsnijpunt 00qr - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ \(x'(t) = -3 t^{2} + 12\) \(y'(t) = -3 t + 3\) 1p ○ \(\overrightarrow{v} (-2) = \begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 9\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{v} (4) = \begin{pmatrix}x'(4) \\ y'(4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-36 \\ -9\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\cos(\varphi ) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 9\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}-36 \\ -9\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 9\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-36 \\ -9\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {81 \over \sqrt{81} ⋅ \sqrt{1\,377}}\) 1p ○ \(\varphi = \cos^{-1}({81 \over \sqrt{81} ⋅ \sqrt{1\,377}}) ≈ 76{,}0\degree\) 1p opgave 5 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -2\frac{1}{2} t^{2} - 5 t \\ y(t) = 1\frac{1}{3} t^{3} - 12 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y \text{-}\)as. SnijpuntenYas 00qs - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ Snijpunt met de \(y \text{-}\)as betekent \(x(t) = 0 \text{,}\) dit geeft \(-2\frac{1}{2} t^{2} - 5 t = 0\) 1p ○ [Oplossen geeft] \(t^{2} + 2 t = 0\) \(t (t + 2) = 0\) \(t = 0 ∨ t = -2\) 1p ○ [De snijpunten met de \(y \text{-}\)as zijn dan] \(t = 0\) geeft \(y(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\) \(t = -2\) geeft \(y(-2) = 13\frac{1}{3} \text{,}\) dus \((0 , 13\frac{1}{3})\) 1p opgave 6 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = t^{3} - 12 t \\ y(t) = -1\frac{3}{4} t^{2} - 7 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y \text{-}\)as. EvenwijdigMetAs (2) 00qt - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ \(x'(t) = 3 t^{2} - 12\) \(y'(t) = -3\frac{1}{2} t - 7\) 1p ○ [Evenwijdig met de y-as, dus] \(x'(t) = 0\) \(3 t^{2} - 12 = 0\) \(t^{2} - 4 = 0\) \(t^{2} = 4\) \(t = -2 ∨ t = 2\) 1p ○ \(y'(-2) = 0 \text{,}\) dus voor \(t = -2\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((16 , 7) \text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(y \text{-}\)as. 1p ○ \(y'(2) = -14 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = 2\) is de baan evenwijdig aan de \(y \text{-}\)as in het punt \((-16 , -21) \text{.}\) 1p opgave 7 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -2 t^{3} + 8 t \\ y(t) = 2\frac{1}{2} t^{2} + 5 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 5p Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t = 1 \text{.}\) RaaklijnOpstellen 00qu - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ \(x'(t) = -6 t^{2} + 8\) \(y'(t) = 5 t + 5\) 1p ○ \(t = 1\) geeft het punt \((6 , 7\frac{1}{2}) \text{.}\) 1p ○ [Voor de richtingsvector van \(l\) geldt] \(\overrightarrow{r}_{l} = \overrightarrow{v} (1) = \begin{pmatrix}x'(1) \\ y'(1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 10\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ [Hieruit volgt] \(\overrightarrow{n}_{l} = \begin{pmatrix}10 \\ -2\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l{:}\,10 x - 2 y = c \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}l{:}\,10 x - 2 y = c \\ \text{door } (6 , 7\frac{1}{2})\end{rcases} \begin{matrix}c = 10 ⋅ 6 - 2 ⋅ 7\frac{1}{2} = 45\end{matrix}\) Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,10 x - 2 y = 45 \text{.}\) 1p

10.4 Vectoren bij snelheid en versnelling

Parameterkrommen (7)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = \frac{1}{4} t^{2} + t \\ y(t) = -\frac{2}{3} t^{3} + 6 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(x \text{-}\)as.

SnijpuntenXas

00qo - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

Snijpunt met de \(x \text{-}\)as betekent \(y(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(-\frac{2}{3} t^{3} + 6 t = 0\)

○

[Oplossen geeft]
\(t (-\frac{2}{3} t^{2} + 6) = 0\)
\(t = 0 ∨ -\frac{2}{3} t^{2} + 6 = 0\)
\(t = 0 ∨ t^{2} - 9 = 0\)
\(t = 0 ∨ t^{2} = 9\)
\(t = 0 ∨ t = -3 ∨ t = 3\)

○

[De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(x(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = -3\) geeft \(x(-3) = -\frac{3}{4} \text{,}\) dus \((-\frac{3}{4} , 0)\)
\(t = 3\) geeft \(x(3) = 5\frac{1}{4} \text{,}\) dus \((5\frac{1}{4} , 0)\)

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = \frac{1}{2} t^{2} + t \\ y(t) = -t^{3} + 12 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((4 , 16) \text{.}\)

ZelfsnijpuntAantonen

00qp - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

[Oplossen van \(x(t) = 4\) geeft]
\(\frac{1}{2} t^{2} + t = 4\)
\(\frac{1}{2} t^{2} + t - 4 = 0\)
\(t^{2} + 2 t - 8 = 0\)
\((t + 4) (t - 2) = 0\)
\(t = -4 ∨ t = 2\)

○

\(y(-4) = 16 \text{,}\) dus \(t = -4\) geeft het punt \((4 , 16) \text{.}\)

○

\(y(2) = 16 \text{,}\) dus \(t = 2\) geeft ook het punt \((4 , 16) \text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -1\frac{2}{3} t^{3} + 5 t \\ y(t) = -2 t^{2} + 4 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x \text{-}\)as.

EvenwijdigMetAs (1)

00qq - Parameterkrommen - basis - 1ms

○

\(x'(t) = -5 t^{2} + 5\)
\(y'(t) = -4 t + 4\)

○

[Evenwijdig met de x-as, dus]
\(y'(t) = 0\)
\(-4 t + 4 = 0\)
\(-4 t = -4\)
\(t = 1\)

○

\(x'(1) = 0 \text{,}\) dus voor \(t = 1\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((3\frac{1}{3} , 2) \text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(x \text{-}\)as.

opgave 4

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -t^{3} + 12 t \\ y(t) = -1\frac{1}{2} t^{2} + 3 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

De baan snijdt zichzelf voor \(t = -2\) en voor \(t = 4\) in het punt \((-16 , -12) \text{.}\)

Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal.

HoekInZelfsnijpunt

00qr - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

\(x'(t) = -3 t^{2} + 12\)
\(y'(t) = -3 t + 3\)

○

\(\overrightarrow{v} (-2) = \begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 9\end{pmatrix}\)

○

\(\overrightarrow{v} (4) = \begin{pmatrix}x'(4) \\ y'(4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-36 \\ -9\end{pmatrix}\)

○

\(\cos(\varphi ) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 9\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}-36 \\ -9\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 9\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-36 \\ -9\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {81 \over \sqrt{81} ⋅ \sqrt{1\,377}}\)

○

\(\varphi = \cos^{-1}({81 \over \sqrt{81} ⋅ \sqrt{1\,377}}) ≈ 76{,}0\degree\)

opgave 5

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -2\frac{1}{2} t^{2} - 5 t \\ y(t) = 1\frac{1}{3} t^{3} - 12 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y \text{-}\)as.

SnijpuntenYas

00qs - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

Snijpunt met de \(y \text{-}\)as betekent \(x(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(-2\frac{1}{2} t^{2} - 5 t = 0\)

○

[Oplossen geeft]
\(t^{2} + 2 t = 0\)
\(t (t + 2) = 0\)
\(t = 0 ∨ t = -2\)

○

[De snijpunten met de \(y \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(y(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = -2\) geeft \(y(-2) = 13\frac{1}{3} \text{,}\) dus \((0 , 13\frac{1}{3})\)

opgave 6

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = t^{3} - 12 t \\ y(t) = -1\frac{3}{4} t^{2} - 7 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y \text{-}\)as.

EvenwijdigMetAs (2)

00qt - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

\(x'(t) = 3 t^{2} - 12\)
\(y'(t) = -3\frac{1}{2} t - 7\)

○

[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t) = 0\)
\(3 t^{2} - 12 = 0\)
\(t^{2} - 4 = 0\)
\(t^{2} = 4\)
\(t = -2 ∨ t = 2\)

○

\(y'(-2) = 0 \text{,}\) dus voor \(t = -2\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((16 , 7) \text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(y \text{-}\)as.

○

\(y'(2) = -14 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = 2\) is de baan evenwijdig aan de \(y \text{-}\)as in het punt \((-16 , -21) \text{.}\)

opgave 7

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -2 t^{3} + 8 t \\ y(t) = 2\frac{1}{2} t^{2} + 5 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t = 1 \text{.}\)

RaaklijnOpstellen

00qu - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

\(x'(t) = -6 t^{2} + 8\)
\(y'(t) = 5 t + 5\)

○

\(t = 1\) geeft het punt \((6 , 7\frac{1}{2}) \text{.}\)

○

[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_{l} = \overrightarrow{v} (1) = \begin{pmatrix}x'(1) \\ y'(1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 10\end{pmatrix} \text{.}\)

○

[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_{l} = \begin{pmatrix}10 \\ -2\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l{:}\,10 x - 2 y = c \text{.}\)

○

\(\begin{rcases}l{:}\,10 x - 2 y = c \\ \text{door } (6 , 7\frac{1}{2})\end{rcases} \begin{matrix}c = 10 ⋅ 6 - 2 ⋅ 7\frac{1}{2} = 45\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,10 x - 2 y = 45 \text{.}\)