Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Sinus- en cosinusregel'.

vwo wiskunde B	3.4 De sinusregel en de cosinusregel
Sinus- en cosinusregel (10)	opgave 1 3p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=19\text{,}\) \(\angle A=52\degree\) en \(\angle B=70\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInScherp 007p - Sinus- en cosinusregel - basis a De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}C={B\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle B) \over \sin(\angle A)}={19⋅\sin(70\degree) \over \sin(52\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}C≈22{,}7\text{.}\) 1p 3p b Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=17\text{,}\) \(\angle M=25\degree\) en \(\angle K=100\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(L\kern{-.8pt}M\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInStomp 007q - Sinus- en cosinusregel - basis b De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(L\kern{-.8pt}M={K\kern{-.8pt}L⋅\sin(\angle K) \over \sin(\angle M)}={17⋅\sin(100\degree) \over \sin(25\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(L\kern{-.8pt}M≈39{,}6\text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R=13\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}R=20\) en \(\angle P=27\degree\text{.}\) Bereken \(\angle \text{Q}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInScherp 007r - Sinus- en cosinusregel - basis c De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}={P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}\text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle Q)={P\kern{-.8pt}R⋅\sin(\angle P) \over Q\kern{-.8pt}R}={20⋅\sin(27\degree) \over 13}=0{,}698...\text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle Q≈44{,}3\degree\) of \(\angle Q≈135{,}7\degree\text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle Q\) een scherpe hoek is, dus \(\angle Q≈44{,}3\degree\text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}R=16\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}Q=26\) en \(\angle Q=34\degree\text{.}\) Bereken \(\angle \text{R}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInStomp 007s - Sinus- en cosinusregel - basis d De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}={Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}\text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle R)={P\kern{-.8pt}Q⋅\sin(\angle Q) \over P\kern{-.8pt}R}={26⋅\sin(34\degree) \over 16}=0{,}908...\text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle R≈65{,}3\degree\) of \(\angle R≈114{,}7\degree\text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle R\) een stompe hoek is, dus \(\angle R≈114{,}7\degree\text{.}\) 1p opgave 2 4p a Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=14\text{,}\) \(\angle L=46\degree\) en \(\angle K=56\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}M\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInScherp 007t - Sinus- en cosinusregel - basis a Uit \(\angle L+\angle M+\angle K=180\degree\) volgt \(\angle M=180\degree-\angle L-\angle K=180\degree-46\degree-56\degree=78\degree\text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}M={K\kern{-.8pt}L⋅\sin(\angle L) \over \sin(\angle M)}={14⋅\sin(46\degree) \over \sin(78\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}M≈10{,}3\text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=27\text{,}\) \(\angle M=49\degree\) en \(\angle L=40\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInStomp 007u - Sinus- en cosinusregel - basis b Uit \(\angle M+\angle K+\angle L=180\degree\) volgt \(\angle K=180\degree-\angle M-\angle L=180\degree-49\degree-40\degree=91\degree\text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}L={L\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over \sin(\angle K)}={27⋅\sin(49\degree) \over \sin(91\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}L≈20{,}4\text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=11\text{,}\) \(K\kern{-.8pt}M=11\) en \(\angle M=60\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInScherp 007v - Sinus- en cosinusregel - basis c De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}L^2=L\kern{-.8pt}M^2+K\kern{-.8pt}M^2-2⋅L\kern{-.8pt}M⋅K\kern{-.8pt}M⋅\cos(\angle M)\text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}L^2=11^2+11^2-2⋅11⋅11⋅\cos(60\degree)=120\text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}L=\sqrt{120}=11{,}0\text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=28\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=37\) en \(\angle C=93\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInStomp 007w - Sinus- en cosinusregel - basis d De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}B^2=B\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}C^2-2⋅B\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}C⋅\cos(\angle C)\text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}B^2=28^2+37^2-2⋅28⋅37⋅\cos(93\degree)=2261{,}440...\text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}B=\sqrt{2261{,}440...}≈47{,}6\text{.}\) 1p opgave 3 4p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=17\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B=15\) en \(B\kern{-.8pt}C=18\text{.}\) Bereken \(\angle \text{A}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInScherp 007x - Sinus- en cosinusregel - basis a De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}B^2-2⋅A\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}B⋅\cos(\angle A)\text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(18^2=17^2+15^2-2⋅17⋅15⋅\cos(\angle A)\) dus \(324=514-510⋅\cos(\angle A)\text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle A)={324-514 \over -510}=0{,}372...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle A=\cos^{-1}(0{,}372...)≈68{,}1\degree\text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M=23\text{,}\) \(K\kern{-.8pt}L=29\) en \(L\kern{-.8pt}M=38\text{.}\) Bereken \(\angle \text{K}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInStomp 007y - Sinus- en cosinusregel - basis b De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(L\kern{-.8pt}M^2=K\kern{-.8pt}M^2+K\kern{-.8pt}L^2-2⋅K\kern{-.8pt}M⋅K\kern{-.8pt}L⋅\cos(\angle K)\text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(38^2=23^2+29^2-2⋅23⋅29⋅\cos(\angle K)\) dus \(1\,444=1\,370-1\,334⋅\cos(\angle K)\text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle K)={1\,444-1\,370 \over -1\,334}=-0{,}055...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle K=\cos^{-1}(-0{,}055...)≈93{,}2\degree\text{.}\) 1p

3.4 De sinusregel en de cosinusregel

Sinus- en cosinusregel (10)

opgave 1

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=19\text{,}\) \(\angle A=52\degree\) en \(\angle B=70\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInScherp

007p - Sinus- en cosinusregel - basis

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}\text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}C={B\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle B) \over \sin(\angle A)}={19⋅\sin(70\degree) \over \sin(52\degree)}\text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}C≈22{,}7\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=17\text{,}\) \(\angle M=25\degree\) en \(\angle K=100\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(L\kern{-.8pt}M\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInStomp

007q - Sinus- en cosinusregel - basis

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}\text{.}\)

○

Dus \(L\kern{-.8pt}M={K\kern{-.8pt}L⋅\sin(\angle K) \over \sin(\angle M)}={17⋅\sin(100\degree) \over \sin(25\degree)}\text{.}\)

○

\(L\kern{-.8pt}M≈39{,}6\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R=13\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}R=20\) en \(\angle P=27\degree\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{Q}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInScherp

007r - Sinus- en cosinusregel - basis

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}={P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}\text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle Q)={P\kern{-.8pt}R⋅\sin(\angle P) \over Q\kern{-.8pt}R}={20⋅\sin(27\degree) \over 13}=0{,}698...\text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle Q≈44{,}3\degree\) of \(\angle Q≈135{,}7\degree\text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle Q\) een scherpe hoek is, dus \(\angle Q≈44{,}3\degree\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}R=16\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}Q=26\) en \(\angle Q=34\degree\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{R}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInStomp

007s - Sinus- en cosinusregel - basis

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}={Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}\text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle R)={P\kern{-.8pt}Q⋅\sin(\angle Q) \over P\kern{-.8pt}R}={26⋅\sin(34\degree) \over 16}=0{,}908...\text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle R≈65{,}3\degree\) of \(\angle R≈114{,}7\degree\text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle R\) een stompe hoek is, dus \(\angle R≈114{,}7\degree\text{.}\)

opgave 2

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=14\text{,}\) \(\angle L=46\degree\) en \(\angle K=56\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}M\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInScherp

007t - Sinus- en cosinusregel - basis

Uit \(\angle L+\angle M+\angle K=180\degree\) volgt \(\angle M=180\degree-\angle L-\angle K=180\degree-46\degree-56\degree=78\degree\text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}\text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}M={K\kern{-.8pt}L⋅\sin(\angle L) \over \sin(\angle M)}={14⋅\sin(46\degree) \over \sin(78\degree)}\text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}M≈10{,}3\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=27\text{,}\) \(\angle M=49\degree\) en \(\angle L=40\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInStomp

007u - Sinus- en cosinusregel - basis

Uit \(\angle M+\angle K+\angle L=180\degree\) volgt \(\angle K=180\degree-\angle M-\angle L=180\degree-49\degree-40\degree=91\degree\text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}\text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}L={L\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over \sin(\angle K)}={27⋅\sin(49\degree) \over \sin(91\degree)}\text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}L≈20{,}4\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=11\text{,}\) \(K\kern{-.8pt}M=11\) en \(\angle M=60\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInScherp

007v - Sinus- en cosinusregel - basis

De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}L^2=L\kern{-.8pt}M^2+K\kern{-.8pt}M^2-2⋅L\kern{-.8pt}M⋅K\kern{-.8pt}M⋅\cos(\angle M)\text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}L^2=11^2+11^2-2⋅11⋅11⋅\cos(60\degree)=120\text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}L=\sqrt{120}=11{,}0\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=28\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=37\) en \(\angle C=93\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInStomp

007w - Sinus- en cosinusregel - basis

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}B^2=B\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}C^2-2⋅B\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}C⋅\cos(\angle C)\text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}B^2=28^2+37^2-2⋅28⋅37⋅\cos(93\degree)=2261{,}440...\text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}B=\sqrt{2261{,}440...}≈47{,}6\text{.}\)

opgave 3

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=17\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B=15\) en \(B\kern{-.8pt}C=18\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{A}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInScherp

007x - Sinus- en cosinusregel - basis

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}B^2-2⋅A\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}B⋅\cos(\angle A)\text{.}\)

○

Invullen geeft \(18^2=17^2+15^2-2⋅17⋅15⋅\cos(\angle A)\)
dus \(324=514-510⋅\cos(\angle A)\text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle A)={324-514 \over -510}=0{,}372...\)

○

Hieruit volgt \(\angle A=\cos^{-1}(0{,}372...)≈68{,}1\degree\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M=23\text{,}\) \(K\kern{-.8pt}L=29\) en \(L\kern{-.8pt}M=38\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{K}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInStomp

007y - Sinus- en cosinusregel - basis

De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(L\kern{-.8pt}M^2=K\kern{-.8pt}M^2+K\kern{-.8pt}L^2-2⋅K\kern{-.8pt}M⋅K\kern{-.8pt}L⋅\cos(\angle K)\text{.}\)

○

Invullen geeft \(38^2=23^2+29^2-2⋅23⋅29⋅\cos(\angle K)\)
dus \(1\,444=1\,370-1\,334⋅\cos(\angle K)\text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle K)={1\,444-1\,370 \over -1\,334}=-0{,}055...\)

○

Hieruit volgt \(\angle K=\cos^{-1}(-0{,}055...)≈93{,}2\degree\text{.}\)