Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Sinus- en cosinusregel'.

vwo wiskunde B	3.4 De sinusregel en de cosinusregel
Sinus- en cosinusregel (10)	opgave 1 3p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C = 37 \text{,}\) \(\angle A = 59\degree\) en \(\angle B = 78\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInScherp 007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms a De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} = {A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}C = {B\kern{-.8pt}C ⋅ \sin(\angle B) \over \sin(\angle A)} = {37 ⋅ \sin(78\degree) \over \sin(59\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}C ≈ 42{,}2 \text{.}\) 1p 3p b Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}R = 11 \text{,}\) \(\angle Q = 28\degree\) en \(\angle R = 123\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}Q \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInStomp 007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)} = {P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)} = {Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(P\kern{-.8pt}Q = {P\kern{-.8pt}R ⋅ \sin(\angle R) \over \sin(\angle Q)} = {11 ⋅ \sin(123\degree) \over \sin(28\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(P\kern{-.8pt}Q ≈ 19{,}7 \text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C = 14 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C = 21\) en \(\angle A = 33\degree \text{.}\) Bereken \(\angle \text{B} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInScherp 007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 5ms c De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} = {A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} \text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle B) = {A\kern{-.8pt}C ⋅ \sin(\angle A) \over B\kern{-.8pt}C} = {21 ⋅ \sin(33\degree) \over 14} = 0{,}816... \text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle B ≈ 54{,}8\degree\) of \(\angle B ≈ 125{,}2\degree \text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle B\) een scherpe hoek is, dus \(\angle B ≈ 54{,}8\degree \text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M = 13 \text{,}\) \(K\kern{-.8pt}M = 24\) en \(\angle K = 27\degree \text{.}\) Bereken \(\angle \text{L} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInStomp 007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)} = {K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)} = {K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)} \text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle L) = {K\kern{-.8pt}M ⋅ \sin(\angle K) \over L\kern{-.8pt}M} = {24 ⋅ \sin(27\degree) \over 13} = 0{,}838... \text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle L ≈ 56{,}9\degree\) of \(\angle L ≈ 123{,}1\degree \text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle L\) een stompe hoek is, dus \(\angle L ≈ 123{,}1\degree \text{.}\) 1p opgave 2 4p a Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M = 41 \text{,}\) \(\angle M = 40\degree\) en \(\angle L = 51\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInScherp 007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms a Uit \(\angle M + \angle K + \angle L = 180\degree\) volgt \(\angle K = 180\degree - \angle M - \angle L = 180\degree - 40\degree - 51\degree = 89\degree \text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)} = {L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)} = {K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}L = {L\kern{-.8pt}M ⋅ \sin(\angle M) \over \sin(\angle K)} = {41 ⋅ \sin(40\degree) \over \sin(89\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}L ≈ 26{,}4 \text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 43 \text{,}\) \(\angle B = 36\degree\) en \(\angle A = 27\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInStomp 007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b Uit \(\angle B + \angle C + \angle A = 180\degree\) volgt \(\angle C = 180\degree - \angle B - \angle A = 180\degree - 36\degree - 27\degree = 117\degree \text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}C = {A\kern{-.8pt}B ⋅ \sin(\angle B) \over \sin(\angle C)} = {43 ⋅ \sin(36\degree) \over \sin(117\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}C ≈ 28{,}4 \text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 19 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B = 17\) en \(\angle A = 84\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInScherp 007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms c De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}C^{2} + A\kern{-.8pt}B^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}C ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ \cos(\angle A) \text{.}\) 1p ○ Dus \(B\kern{-.8pt}C^{2} = 19^{2} + 17^{2} - 2 ⋅ 19 ⋅ 17 ⋅ \cos(84\degree) = 582{,}474... \text{.}\) 1p ○ \(B\kern{-.8pt}C = \sqrt{582{,}474...} ≈ 24{,}1 \text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}R = 24 \text{,}\) \(P\kern{-.8pt}Q = 24\) en \(\angle P = 94\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(Q\kern{-.8pt}R \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInStomp 007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De cosinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \(Q\kern{-.8pt}R^{2} = P\kern{-.8pt}R^{2} + P\kern{-.8pt}Q^{2} - 2 ⋅ P\kern{-.8pt}R ⋅ P\kern{-.8pt}Q ⋅ \cos(\angle P) \text{.}\) 1p ○ Dus \(Q\kern{-.8pt}R^{2} = 24^{2} + 24^{2} - 2 ⋅ 24 ⋅ 24 ⋅ \cos(94\degree) = 1232{,}359... \text{.}\) 1p ○ \(Q\kern{-.8pt}R = \sqrt{1232{,}359...} ≈ 35{,}1 \text{.}\) 1p opgave 3 4p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 22 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C = 23\) en \(A\kern{-.8pt}C = 27 \text{.}\) Bereken \(\angle \text{B} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInScherp 007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 4ms a De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}B^{2} + B\kern{-.8pt}C^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ B\kern{-.8pt}C ⋅ \cos(\angle B) \text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(27^{2} = 22^{2} + 23^{2} - 2 ⋅ 22 ⋅ 23 ⋅ \cos(\angle B)\) dus \(729 = 1\,013 - 1\,012 ⋅ \cos(\angle B) \text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle B) = {729 - 1\,013 \over -1\,012} = 0{,}280...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle B = \cos^{-1}(0{,}280...) ≈ 73{,}7\degree \text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M = 30 \text{,}\) \(K\kern{-.8pt}M = 31\) en \(K\kern{-.8pt}L = 43 \text{.}\) Bereken \(\angle \text{M} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInStomp 007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}L^{2} = L\kern{-.8pt}M^{2} + K\kern{-.8pt}M^{2} - 2 ⋅ L\kern{-.8pt}M ⋅ K\kern{-.8pt}M ⋅ \cos(\angle M) \text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(43^{2} = 30^{2} + 31^{2} - 2 ⋅ 30 ⋅ 31 ⋅ \cos(\angle M)\) dus \(1\,849 = 1\,861 - 1\,860 ⋅ \cos(\angle M) \text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle M) = {1\,849 - 1\,861 \over -1\,860} = 0{,}006...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle M = \cos^{-1}(0{,}006...) ≈ 89{,}6\degree \text{.}\) 1p

3.4 De sinusregel en de cosinusregel

Sinus- en cosinusregel (10)

opgave 1

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C = 37 \text{,}\) \(\angle A = 59\degree\) en \(\angle B = 78\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInScherp

007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} = {A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} \text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}C = {B\kern{-.8pt}C ⋅ \sin(\angle B) \over \sin(\angle A)} = {37 ⋅ \sin(78\degree) \over \sin(59\degree)} \text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}C ≈ 42{,}2 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}R = 11 \text{,}\) \(\angle Q = 28\degree\) en \(\angle R = 123\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}Q \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInStomp

007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)} = {P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)} = {Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)} \text{.}\)

○

Dus \(P\kern{-.8pt}Q = {P\kern{-.8pt}R ⋅ \sin(\angle R) \over \sin(\angle Q)} = {11 ⋅ \sin(123\degree) \over \sin(28\degree)} \text{.}\)

○

\(P\kern{-.8pt}Q ≈ 19{,}7 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C = 14 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C = 21\) en \(\angle A = 33\degree \text{.}\)
Bereken \(\angle \text{B} \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInScherp

007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 5ms

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} = {A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} \text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle B) = {A\kern{-.8pt}C ⋅ \sin(\angle A) \over B\kern{-.8pt}C} = {21 ⋅ \sin(33\degree) \over 14} = 0{,}816... \text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle B ≈ 54{,}8\degree\) of \(\angle B ≈ 125{,}2\degree \text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle B\) een scherpe hoek is, dus \(\angle B ≈ 54{,}8\degree \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M = 13 \text{,}\) \(K\kern{-.8pt}M = 24\) en \(\angle K = 27\degree \text{.}\)
Bereken \(\angle \text{L} \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInStomp

007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)} = {K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)} = {K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)} \text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle L) = {K\kern{-.8pt}M ⋅ \sin(\angle K) \over L\kern{-.8pt}M} = {24 ⋅ \sin(27\degree) \over 13} = 0{,}838... \text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle L ≈ 56{,}9\degree\) of \(\angle L ≈ 123{,}1\degree \text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle L\) een stompe hoek is, dus \(\angle L ≈ 123{,}1\degree \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M = 41 \text{,}\) \(\angle M = 40\degree\) en \(\angle L = 51\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInScherp

007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

Uit \(\angle M + \angle K + \angle L = 180\degree\) volgt \(\angle K = 180\degree - \angle M - \angle L = 180\degree - 40\degree - 51\degree = 89\degree \text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)} = {L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)} = {K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)} \text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}L = {L\kern{-.8pt}M ⋅ \sin(\angle M) \over \sin(\angle K)} = {41 ⋅ \sin(40\degree) \over \sin(89\degree)} \text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}L ≈ 26{,}4 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 43 \text{,}\) \(\angle B = 36\degree\) en \(\angle A = 27\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInStomp

007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

Uit \(\angle B + \angle C + \angle A = 180\degree\) volgt \(\angle C = 180\degree - \angle B - \angle A = 180\degree - 36\degree - 27\degree = 117\degree \text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} \text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}C = {A\kern{-.8pt}B ⋅ \sin(\angle B) \over \sin(\angle C)} = {43 ⋅ \sin(36\degree) \over \sin(117\degree)} \text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}C ≈ 28{,}4 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 19 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B = 17\) en \(\angle A = 84\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInScherp

007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}C^{2} + A\kern{-.8pt}B^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}C ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ \cos(\angle A) \text{.}\)

○

Dus \(B\kern{-.8pt}C^{2} = 19^{2} + 17^{2} - 2 ⋅ 19 ⋅ 17 ⋅ \cos(84\degree) = 582{,}474... \text{.}\)

○

\(B\kern{-.8pt}C = \sqrt{582{,}474...} ≈ 24{,}1 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}R = 24 \text{,}\) \(P\kern{-.8pt}Q = 24\) en \(\angle P = 94\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(Q\kern{-.8pt}R \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInStomp

007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \(Q\kern{-.8pt}R^{2} = P\kern{-.8pt}R^{2} + P\kern{-.8pt}Q^{2} - 2 ⋅ P\kern{-.8pt}R ⋅ P\kern{-.8pt}Q ⋅ \cos(\angle P) \text{.}\)

○

Dus \(Q\kern{-.8pt}R^{2} = 24^{2} + 24^{2} - 2 ⋅ 24 ⋅ 24 ⋅ \cos(94\degree) = 1232{,}359... \text{.}\)

○

\(Q\kern{-.8pt}R = \sqrt{1232{,}359...} ≈ 35{,}1 \text{.}\)

opgave 3

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 22 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C = 23\) en \(A\kern{-.8pt}C = 27 \text{.}\)
Bereken \(\angle \text{B} \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInScherp

007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 4ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}B^{2} + B\kern{-.8pt}C^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ B\kern{-.8pt}C ⋅ \cos(\angle B) \text{.}\)

○

Invullen geeft \(27^{2} = 22^{2} + 23^{2} - 2 ⋅ 22 ⋅ 23 ⋅ \cos(\angle B)\)
dus \(729 = 1\,013 - 1\,012 ⋅ \cos(\angle B) \text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle B) = {729 - 1\,013 \over -1\,012} = 0{,}280...\)

○

Hieruit volgt \(\angle B = \cos^{-1}(0{,}280...) ≈ 73{,}7\degree \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M = 30 \text{,}\) \(K\kern{-.8pt}M = 31\) en \(K\kern{-.8pt}L = 43 \text{.}\)
Bereken \(\angle \text{M} \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInStomp

007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}L^{2} = L\kern{-.8pt}M^{2} + K\kern{-.8pt}M^{2} - 2 ⋅ L\kern{-.8pt}M ⋅ K\kern{-.8pt}M ⋅ \cos(\angle M) \text{.}\)

○

Invullen geeft \(43^{2} = 30^{2} + 31^{2} - 2 ⋅ 30 ⋅ 31 ⋅ \cos(\angle M)\)
dus \(1\,849 = 1\,861 - 1\,860 ⋅ \cos(\angle M) \text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle M) = {1\,849 - 1\,861 \over -1\,860} = 0{,}006...\)

○

Hieruit volgt \(\angle M = \cos^{-1}(0{,}006...) ≈ 89{,}6\degree \text{.}\)