Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

vwo wiskunde B	2.5 Afgeleide, raaklijn en snelheid
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2\frac{1}{2} x^{2} + 11 x + 1\frac{5}{6} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(5 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2\frac{1}{2} x^{2} + 11 x + 1\frac{5}{6}\) geeft \(f'(x) = x^{2} - 5 x + 11 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = 5\) geeft \(x^{2} - 5 x + 11 = 5\) \(x^{2} - 5 x + 6 = 0\) \((x - 2) (x - 3) = 0\) \(x = 2 ∨ x = 3 \text{.}\) 1p ○ \(f(2) = 16\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(A (2 , 16\frac{1}{2}) \text{.}\) 1p ○ \(f(3) = 21\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(B (3 , 21\frac{1}{3}) \text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	6.4 Raaklijnen, toppen, rakende en loodrecht snijdende grafieken
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {-4 \over 4 x + 10}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = -3 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 31ms - data pool: #536 (30ms) ○ \(f(-3) = 2 \text{,}\) dus \(A (-3 , 2)\) 1p ○ \(f(x) = {-4 \over 4 x + 10} = -4 (4 x + 10)^{-1}\) geeft \(f'(x) = -4 ⋅ -1 ⋅ (4 x + 10)^{-2} ⋅ 4 = {16 \over (4 x + 10)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(-3) = 4\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = -\frac{1}{4} \text{,}\) dus \(y = -\frac{1}{4} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -\frac{1}{4} x + b \\ \text{door } A (-3 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}-\frac{1}{4} ⋅ -3 + b = 2 \\ \frac{3}{4} + b = 2 \\ b = 1\frac{1}{4}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = -\frac{1}{4} x + 1\frac{1}{4} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , 1\frac{1}{4})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} - 4 x + 2\) en \(g(x) = -x^{2} + 4 x - 4 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 20ms - data pool: #503 (20ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} - 4 x + 2 = -x^{2} + 4 x - 4\) \(2 x^{2} - 8 x + 6 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = (-8)^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ 6 = 16\) geeft \(x = {8 - \sqrt{16} \over 2 ⋅ 2} = 1 ∨ x = {8 + \sqrt{16} \over 2 ⋅ 2} = 3\) 1p ○ \(x_{A} = 1 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(1) = -1\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x + 4\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(1) = 2 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 2 x + b \\ \text{door } A (1 , -1)\end{rcases} \begin{matrix}2 ⋅ 1 + b = -1 \\ 2 + b = -1 \\ b = -3\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 2 x - 3 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} - 4 x + 2 = 2 x - 3\) \(x^{2} - 6 x + 5 = 0\) \((x - 1) (x - 5) = 0\) \(x = 1 ∨ x = 5\) 1p ○ \(x_{C} = 5 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(5) = 7\) en \(C (5 , 7) \text{.}\) 1p

"