Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

vwo wiskunde B	2.5 Afgeleide, raaklijn en snelheid
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3\frac{1}{2} x^{2} + 7 x + 2\frac{2}{3} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-3 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3\frac{1}{2} x^{2} + 7 x + 2\frac{2}{3}\) geeft \(f'(x) = x^{2} - 7 x + 7 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = -3\) geeft \(x^{2} - 7 x + 7 = -3\) \(x^{2} - 7 x + 10 = 0\) \((x - 2) (x - 5) = 0\) \(x = 2 ∨ x = 5 \text{.}\) 1p ○ \(f(2) = 5\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(A (2 , 5\frac{1}{3}) \text{.}\) 1p ○ \(f(5) = -8\frac{1}{6} \text{,}\) dus \(B (5 , -8\frac{1}{6}) \text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	6.4 Raaklijnen, toppen, rakende en loodrecht snijdende grafieken
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {-2 \over 2 x - 9}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = 5 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 23ms - data pool: #536 (23ms) ○ \(f(5) = -2 \text{,}\) dus \(A (5 , -2)\) 1p ○ \(f(x) = {-2 \over 2 x - 9} = -2 (2 x - 9)^{-1}\) geeft \(f'(x) = -2 ⋅ -1 ⋅ (2 x - 9)^{-2} ⋅ 2 = {4 \over (2 x - 9)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(5) = 4\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = -\frac{1}{4} \text{,}\) dus \(y = -\frac{1}{4} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -\frac{1}{4} x + b \\ \text{door } A (5 , -2)\end{rcases} \begin{matrix}-\frac{1}{4} ⋅ 5 + b = -2 \\ -1\frac{1}{4} + b = -2 \\ b = -\frac{3}{4}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = -\frac{1}{4} x - \frac{3}{4} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , -\frac{3}{4})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} + 2 x + 1\) en \(g(x) = -x^{2} - x + 3 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 15ms - data pool: #503 (15ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} + 2 x + 1 = -x^{2} - x + 3\) \(2 x^{2} + 3 x - 2 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = 3^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ -2 = 25\) geeft \(x = {-3 - \sqrt{25} \over 2 ⋅ 2} = -2 ∨ x = {-3 + \sqrt{25} \over 2 ⋅ 2} = \frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_{A} = -2 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-2) = 1\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x - 1\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-2) = 3 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 3 x + b \\ \text{door } A (-2 , 1)\end{rcases} \begin{matrix}3 ⋅ -2 + b = 1 \\ -6 + b = 1 \\ b = 7\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 3 x + 7 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} + 2 x + 1 = 3 x + 7\) \(x^{2} - x - 6 = 0\) \((x + 2) (x - 3) = 0\) \(x = -2 ∨ x = 3\) 1p ○ \(x_{C} = 3 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(3) = 16\) en \(C (3 , 16) \text{.}\) 1p

"