Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

vwo wiskunde B	2.5 Afgeleide, raaklijn en snelheid
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3\frac{1}{2} x^{2} + 10 x + 2\frac{1}{3} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-2 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3\frac{1}{2} x^{2} + 10 x + 2\frac{1}{3}\) geeft \(f'(x) = x^{2} - 7 x + 10 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = -2\) geeft \(x^{2} - 7 x + 10 = -2\) \(x^{2} - 7 x + 12 = 0\) \((x - 3) (x - 4) = 0\) \(x = 3 ∨ x = 4 \text{.}\) 1p ○ \(f(3) = 9\frac{5}{6} \text{,}\) dus \(A (3 , 9\frac{5}{6}) \text{.}\) 1p ○ \(f(4) = 7\frac{2}{3} \text{,}\) dus \(B (4 , 7\frac{2}{3}) \text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	6.4 Raaklijnen, toppen, rakende en loodrecht snijdende grafieken
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {-9 \over 6 x - 9}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = 3 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 24ms - data pool: #536 (24ms) ○ \(f(3) = -1 \text{,}\) dus \(A (3 , -1)\) 1p ○ \(f(x) = {-9 \over 6 x - 9} = -9 (6 x - 9)^{-1}\) geeft \(f'(x) = -9 ⋅ -1 ⋅ (6 x - 9)^{-2} ⋅ 6 = {54 \over (6 x - 9)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(3) = \frac{2}{3}\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = -\frac{3}{2} \text{,}\) dus \(y = -1\frac{1}{2} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -1\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (3 , -1)\end{rcases} \begin{matrix}-1\frac{1}{2} ⋅ 3 + b = -1 \\ -4\frac{1}{2} + b = -1 \\ b = 3\frac{1}{2}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = -1\frac{1}{2} x + 3\frac{1}{2} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , 3\frac{1}{2})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} + x - 3\) en \(g(x) = -x^{2} - 2 x - 1 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 17ms - data pool: #503 (16ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} + x - 3 = -x^{2} - 2 x - 1\) \(2 x^{2} + 3 x - 2 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = 3^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ -2 = 25\) geeft \(x = {-3 - \sqrt{25} \over 2 ⋅ 2} = -2 ∨ x = {-3 + \sqrt{25} \over 2 ⋅ 2} = \frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_{A} = -2 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-2) = -1\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x - 2\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-2) = 2 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 2 x + b \\ \text{door } A (-2 , -1)\end{rcases} \begin{matrix}2 ⋅ -2 + b = -1 \\ -4 + b = -1 \\ b = 3\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 2 x + 3 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} + x - 3 = 2 x + 3\) \(x^{2} - x - 6 = 0\) \((x + 2) (x - 3) = 0\) \(x = -2 ∨ x = 3\) 1p ○ \(x_{C} = 3 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(3) = 9\) en \(C (3 , 9) \text{.}\) 1p

"