Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

vwo wiskunde B 2.5 Afgeleide, raaklijn en snelheid

Toepassingen van de afgeleide functie (2)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x)=x^3+x^2-5x-4\text{.}\) Op de grafiek van \(f\) ligt het punt \(A\) met \(x_A=-2\text{.}\)

4p

Stel algebraïsch de formule op van de raaklijn \(l\) in \(A\text{.}\)

OpstellenFormuleRaaklijn
00a3 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis

○

\(f(-2)=2\text{,}\) dus \(A(-2, 2)\text{.}\)

1p

○

\(f(x)=x^3+x^2-5x-4\) geeft \(f'(x)=3x^2+2x-5\text{.}\)

1p

○

Stel \(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=f'(-2)=3\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=3x+b \\ \text{door }A(-2, 2)\end{rcases}\begin{matrix}3⋅-2+b=2 \\ -6+b=2 \\ b=8\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=3x+8\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de functie \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-17x+2\frac{1}{3}\text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(3\text{.}\)

4p

Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B\text{.}\)

RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient
00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis

○

\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-17x+2\frac{1}{3}\) geeft \(f'(x)=x^2-x-17\text{.}\)

1p

○

\(f'(x)=3\) geeft
\(x^2-x-17=3\)
\(x^2-x-20=0\)
\((x+4)(x-5)=0\)
\(x=-4∨x=5\text{.}\)

1p

○

\(f(-4)=41\text{,}\) dus \(A(-4, 41)\text{.}\)

1p

○

\(f(5)=-53\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(B(5, -53\frac{1}{2})\text{.}\)

1p
"