Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

vwo wiskunde B	2.5 Afgeleide, raaklijn en snelheid
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x)=\frac{1}{3}x^3+3\frac{1}{2}x^2+7x+2\frac{1}{3}\text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-5\text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B\text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x)=\frac{1}{3}x^3+3\frac{1}{2}x^2+7x+2\frac{1}{3}\) geeft \(f'(x)=x^2+7x+7\text{.}\) 1p ○ \(f'(x)=-5\) geeft \(x^2+7x+7=-5\) \(x^2+7x+12=0\) \((x+4)(x+3)=0\) \(x=-4∨x=-3\text{.}\) 1p ○ \(f(-4)=9\text{,}\) dus \(A(-4, 9)\text{.}\) 1p ○ \(f(-3)=3\frac{5}{6}\text{,}\) dus \(B(-3, 3\frac{5}{6})\text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	6.4 Raaklijnen, toppen, rakende en loodrecht snijdende grafieken
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x)={-9 \over 2x+5}\) en het punt \(A\) met \(x_A=-4\text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A\text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y\text{-}\)as in het punt \(B\text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B\text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 48ms - data pool: #536 (48ms) ○ \(f(-4)=3\text{,}\) dus \(A(-4, 3)\) 1p ○ \(f(x)={-9 \over 2x+5}=-9(2x+5)^{-1}\) geeft \(f'(x)=-9⋅-1⋅(2x+5)^{-2}⋅2={18 \over (2x+5)^2}\) 2p ○ \(\text{rc}_k=f'(-4)=2\) 1p ○ \(\text{rc}_k⋅\text{rc}_l=-1\) geeft \(\text{rc}_l=-\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(y=-\frac{1}{2}x+b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=-\frac{1}{2}x+b \\ \text{door }A(-4, 3)\end{rcases}\begin{matrix}-\frac{1}{2}⋅-4+b=3 \\ 2+b=3 \\ b=1\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y=-\frac{1}{2}x+1\text{.}\) 1p ○ \(B(0, 1)\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x)=x^2+4x+2\) en \(g(x)=-x^2+x+4\text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B\text{,}\) met \(x_A<x_B\text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C\text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C\text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 24ms - data pool: #503 (23ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^2+4x+2=-x^2+x+4\) \(2x^2+3x-2=0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c\text{-}\)formule met \(D=3^2-4⋅2⋅-2=25\) geeft \(x={-3-\sqrt{25} \over 2⋅2}=-2∨x={-3+\sqrt{25} \over 2⋅2}=\frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_A=-2\text{,}\) dus \(y_A=g(-2)=-2\) 1p ○ \(g'(x)=-2x+1\) 1p ○ \(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=g'(-2)=5\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=5x+b \\ \text{door }A(-2, -2)\end{rcases}\begin{matrix}5⋅-2+b=-2 \\ -10+b=-2 \\ b=8\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y=5x+8\text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^2+4x+2=5x+8\) \(x^2-x-6=0\) \((x+2)(x-3)=0\) \(x=-2∨x=3\) 1p ○ \(x_C=3\text{,}\) dus \(y_C=f(3)=23\) en \(C(3, 23)\text{.}\) 1p

"