Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Vectoren en hoeken'.

vwo wiskunde B	10.3 Vectoren en hoeken
Vectoren en hoeken (3)	opgave 1 Gegeven zijn de vectoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ -7\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}6 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\) 2p Bereken de hoek tussen deze vectoren. HoekTussenTweeVectoren 00qd - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms ○ \(\cos(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b})) = {\begin{pmatrix}4 \\ -7\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}6 \\ -3\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}4 \\ -7\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ -3\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {45 \over \sqrt{65} ⋅ \sqrt{45}} \text{.}\) 1p ○ \(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = \cos^{-1}({45 \over \sqrt{65} ⋅ \sqrt{45}}) ≈ 33{,}7\degree\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 7\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix} \text{.}\) 2p Bereken de hoek tussen deze lijnen. HoekTussenTweeLijnen 00qe - Vectoren en hoeken - basis - eind - 1ms ○ \(\cos(\angle (k , l)) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {13 \over \sqrt{53} ⋅ \sqrt{10}}\) 1p ○ \(\angle (k , l) = \cos^{-1}({13 \over \sqrt{53} ⋅ \sqrt{10}}) ≈ 55{,}6\degree\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(\text{K} (5 , -1) \text{,}\) \(\text{L} (3 , 4)\) en \(\text{M} (0 , -6) \text{.}\) 3p Bereken de hoek \(\angle K\kern{-.8pt}M\kern{-.8pt}L \text{.}\) HoekInDriehoek 00qf - Vectoren en hoeken - basis - eind - 3ms ○ \(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{k} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}5 \\ -1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ -6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 5\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{ML} = \overrightarrow{l} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ -6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 10\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\cos(\angle K\kern{-.8pt}M\kern{-.8pt}L) = {\begin{pmatrix}5 \\ 5\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ 10\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}5 \\ 5\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 10\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {65 \over \sqrt{50} ⋅ \sqrt{109}} \text{.}\) 1p ○ \(\angle K\kern{-.8pt}M\kern{-.8pt}L = \cos^{-1}({65 \over \sqrt{50} ⋅ \sqrt{109}}) ≈ 28{,}3\degree\) 1p

10.3 Vectoren en hoeken

Vectoren en hoeken (3)

opgave 1

Gegeven zijn de vectoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ -7\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}6 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\)

Bereken de hoek tussen deze vectoren.

HoekTussenTweeVectoren

00qd - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms

○

\(\cos(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b})) = {\begin{pmatrix}4 \\ -7\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}6 \\ -3\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}4 \\ -7\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ -3\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {45 \over \sqrt{65} ⋅ \sqrt{45}} \text{.}\)

○

\(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = \cos^{-1}({45 \over \sqrt{65} ⋅ \sqrt{45}}) ≈ 33{,}7\degree\)

opgave 2

Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 7\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix} \text{.}\)

Bereken de hoek tussen deze lijnen.

HoekTussenTweeLijnen

00qe - Vectoren en hoeken - basis - eind - 1ms

○

\(\cos(\angle (k , l)) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {13 \over \sqrt{53} ⋅ \sqrt{10}}\)

○

\(\angle (k , l) = \cos^{-1}({13 \over \sqrt{53} ⋅ \sqrt{10}}) ≈ 55{,}6\degree\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(\text{K} (5 , -1) \text{,}\) \(\text{L} (3 , 4)\) en \(\text{M} (0 , -6) \text{.}\)

Bereken de hoek \(\angle K\kern{-.8pt}M\kern{-.8pt}L \text{.}\)

HoekInDriehoek

00qf - Vectoren en hoeken - basis - eind - 3ms

○

\(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{k} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}5 \\ -1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ -6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 5\end{pmatrix}\)
en \(\overrightarrow{ML} = \overrightarrow{l} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ -6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 10\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\cos(\angle K\kern{-.8pt}M\kern{-.8pt}L) = {\begin{pmatrix}5 \\ 5\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ 10\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}5 \\ 5\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 10\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {65 \over \sqrt{50} ⋅ \sqrt{109}} \text{.}\)

○

\(\angle K\kern{-.8pt}M\kern{-.8pt}L = \cos^{-1}({65 \over \sqrt{50} ⋅ \sqrt{109}}) ≈ 28{,}3\degree\)