Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Vectorvoorstelling van een lijn'.

vwo wiskunde B	10.2 Vectoren en lijnen
Vectorvoorstelling van een lijn (7)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (5 , 6)\) en \(B (3 , 0) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\) VectorvoorstellingBijLijn 00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5 \\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ -6\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 6\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-2 \\ -6\end{pmatrix} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}7 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\) 3p Onderzoek of het punt \(A (29 , 23)\) op \(l\) ligt. PuntOpVectorvoorstelling 00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(x = 29\) geeft \(1 + 7 t = 29\) \(7 t = 28\) \(t = 4 \text{.}\) 1p ○ \(t = 4\) geeft \(y = 2 + 4 ⋅ 5 = 22 \text{.}\) 1p ○ \(22 ≠ 23 \text{,}\) dus \(A\) ligt niet op \(l \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-2 \\ -4\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,4 x - 3 y = -27 \text{.}\) 3p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\) SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking 00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ Substitutie geeft \(4 (-4 - 2 t) - 3 (1 - 4 t) = -27 \text{.}\) 1p ○ \(-16 - 8 t - 3 + 12 t = -27\) \(4 t - 19 = -27\) \(4 t = -8\) \(t = -2 \text{.}\) 1p ○ Invullen van \(t = -2\) in de vectorvoorstelling geeft \(x = -4 - 2 ⋅ -2 = 0\) en \(y = 1 - 2 ⋅ -4 = 9\) dus \(S (0 , 9) \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven zijn de punten \(A (0 , 1)\) en \(B (7 , 4) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) VectorvoorstellingBijLijnstuk 00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}7 \\ 3\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-5 \\ 6\end{pmatrix} ∧ -3 ≤ t ≤ -2 \text{.}\) 2p Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk. EindpuntenVanLijnstuk 00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 4ms ○ \(t = -3\) geeft \(x = 7 - 3 ⋅ -5 = 22\) en \(y = 0 - 3 ⋅ 6 = -18 \text{,}\) dus \((22 , -18) \text{.}\) 1p ○ \(t = -2\) geeft \(x = 7 - 2 ⋅ -5 = 17\) en \(y = 0 - 2 ⋅ 6 = -12 \text{,}\) dus \((17 , -12) \text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven zijn de punten \(A (1 , 7) \text{,}\) \(B (3 , 6)\) en \(C (-4 , 0) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\) VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid 00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}-4 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 \\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 \\ -6\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}1 \\ 7\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 7\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-7 \\ -6\end{pmatrix}\) 1p opgave 7 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}4 \\ 3\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\) 4p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\) SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen 00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 88ms ○ [Gelijkstellen geeft] \(\begin{cases}1 + 4 t = 2 + u \\ -3 + 3 t = 0 + 3 u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}4 t - u = 1 \\ 3 t - 3 u = 3\end{cases}\) 1p ○ \(\begin{cases}4 t - u = 1 \\ 3 t - 3 u = 3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 4\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}12 t - 3 u = 3 \\ 12 t - 12 u = 12\end{cases}\) 1p ○ Aftrekken geeft \(9 u = -9\) en dus \(u = -1\) 1p ○ \(u = -1\) geeft \(x = 2 - 1 = 1\) en \(y = 0 + 3 ⋅ -1 = -3 \text{,}\) dus \(S (1 , -3) \text{.}\) 1p

vwo wiskunde B

10.2 Vectoren en lijnen

Vectorvoorstelling van een lijn (7)

opgave 1

Gegeven zijn de punten \(A (5 , 6)\) en \(B (3 , 0) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijn

00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5 \\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ -6\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 6\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-2 \\ -6\end{pmatrix} \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}7 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\)

Onderzoek of het punt \(A (29 , 23)\) op \(l\) ligt.

PuntOpVectorvoorstelling

00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(x = 29\) geeft
\(1 + 7 t = 29\)
\(7 t = 28\)
\(t = 4 \text{.}\)

○

\(t = 4\) geeft \(y = 2 + 4 ⋅ 5 = 22 \text{.}\)

○

\(22 ≠ 23 \text{,}\) dus \(A\) ligt niet op \(l \text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-2 \\ -4\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,4 x - 3 y = -27 \text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)

SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking

00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

Substitutie geeft
\(4 (-4 - 2 t) - 3 (1 - 4 t) = -27 \text{.}\)

○

\(-16 - 8 t - 3 + 12 t = -27\)
\(4 t - 19 = -27\)
\(4 t = -8\)
\(t = -2 \text{.}\)

○

Invullen van \(t = -2\) in de vectorvoorstelling geeft
\(x = -4 - 2 ⋅ -2 = 0\)
en
\(y = 1 - 2 ⋅ -4 = 9\)
dus \(S (0 , 9) \text{.}\)

opgave 4

Gegeven zijn de punten \(A (0 , 1)\) en \(B (7 , 4) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijnstuk

00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}7 \\ 3\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-5 \\ 6\end{pmatrix} ∧ -3 ≤ t ≤ -2 \text{.}\)

Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk.

EindpuntenVanLijnstuk

00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 4ms

○

\(t = -3\) geeft \(x = 7 - 3 ⋅ -5 = 22\) en \(y = 0 - 3 ⋅ 6 = -18 \text{,}\) dus \((22 , -18) \text{.}\)

○

\(t = -2\) geeft \(x = 7 - 2 ⋅ -5 = 17\) en \(y = 0 - 2 ⋅ 6 = -12 \text{,}\) dus \((17 , -12) \text{.}\)

opgave 6

Gegeven zijn de punten \(A (1 , 7) \text{,}\) \(B (3 , 6)\) en \(C (-4 , 0) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\)

VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid

00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}-4 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 \\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 \\ -6\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}1 \\ 7\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 7\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-7 \\ -6\end{pmatrix}\)

opgave 7

Gegeven zijn de lijnen
\(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}4 \\ 3\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)

SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen

00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 88ms

○

[Gelijkstellen geeft]
\(\begin{cases}1 + 4 t = 2 + u \\ -3 + 3 t = 0 + 3 u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}4 t - u = 1 \\ 3 t - 3 u = 3\end{cases}\)

○

\(\begin{cases}4 t - u = 1 \\ 3 t - 3 u = 3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 4\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}12 t - 3 u = 3 \\ 12 t - 12 u = 12\end{cases}\)

○

Aftrekken geeft \(9 u = -9\) en dus \(u = -1\)

○

\(u = -1\) geeft \(x = 2 - 1 = 1\) en \(y = 0 + 3 ⋅ -1 = -3 \text{,}\) dus \(S (1 , -3) \text{.}\)