Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde B 9.1 Groeifactoren en groeipercentages

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per dag met \(5{,}1\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{dag}} = 1 + {5{,}1 \over 100} = 1{,}051 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}051^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}051^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 13{,}934...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(13{,}9\) dagen.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per kwartier met \(1{,}4\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{kwartier}} = 1 - {1{,}4 \over 100} = 0{,}986 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}986^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}986^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 49{,}163...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(49{,}2\) kwartier.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(21{,}1\) seconden.

3p

Bereken de procentuele toename per seconde.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per seconde is de oplossing van de vergelijking \(g^{21{,}1} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{21{,}1}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}033...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}033... - 1) × 100\% = 3{,}3\%\) per seconde.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(13{,}3\) minuten.

3p

Bereken de procentuele afname per minuut.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per minuut is de oplossing van de vergelijking \(g^{13{,}3} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{13{,}3}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}949...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}949... - 1) × 100\% = -5{,}1\%\) dus een procentuele afname van \(5{,}1\%\) per minuut.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per seconde met \(1{,}3\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(80\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{seconde}} = 1 + {1{,}3 \over 100} = 1{,}013 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(80\%\) komt overeen met een factor \(1 + {80 \over 100} = 1{,}8 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}013^{t} = 1{,}8 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}013^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}8\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 45{,}507...\)

1p

○

Dus duurt het \(45{,}5\) seconden voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(80\% \text{.}\)

1p
"