Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B
'Wandelingen over platte figuren'.
| vwo wiskunde B | 10.1 Vectoren en rotaties |
opgave 1Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (1 , 7)\) en \(B (3 , 0) \text{.}\) Zie het figuur. 3p Bereken de coördinaten van het punt \(D \text{.}\) Vierkant (1) 00ph - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 42ms ○ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ -7\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{AB}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}7 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AB}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}1 \\ 7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}7 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 \\ 9\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(D\) zijn dus \((8 , 9) \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (2 , 0)\) en \(C (3 , 5) \text{.}\) Zie het figuur. 4p Bereken de coördinaten van het punt \(D \text{.}\) Vierkant (2) 00po - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}C \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}2\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} \\ -2\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}2\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(D\) zijn dus \((0 , 3) \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (4 , 0)\) en \(C (7 , 5) \text{.}\) Op zijde \(A\kern{-.8pt}D\) liggen de punten \(E\) en \(F\) met \(A\kern{-.8pt}E = E\kern{-.8pt}F = F\kern{-.8pt}D \text{.}\) Zie het figuur. 6p Bereken de coördinaten van het punt \(E \text{.}\) Wandeling (1) 00pw - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}C \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}7 \\ 5\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}5\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\frac{1}{2} \\ -2\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ 1\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}5\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ 1\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{e} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix} + \frac{1}{3} \begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\frac{2}{3} \\ 1\frac{1}{3}\end{pmatrix}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(E\) zijn dus \((3\frac{2}{3} , 1\frac{1}{3}) \text{.}\) 1p opgave 4Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (1 , 3)\) en \(B (6 , 2) \text{.}\) Diagonaal \(A\kern{-.8pt}C\) is een zijde van vierkant \(A\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}F \text{.}\) Op zijde \(A\kern{-.8pt}F\) liggen de punten \(G\) en \(H\) met \(A\kern{-.8pt}G = G\kern{-.8pt}H = H\kern{-.8pt}F \text{.}\) Zie het figuur. 7p Bereken de coördinaten van het punt \(G \text{.}\) Wandeling (2) 00px - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 \\ 1\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{BA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-1 \\ -5\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{BA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}6 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}5 \\ -3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ -6\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{AC}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-6 \\ -4\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{f} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AC}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-6 \\ -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 \\ -1\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{f} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}-5 \\ -1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6 \\ -4\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{g} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AF} = \begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix} + \frac{1}{3} \begin{pmatrix}-6 \\ -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 1\frac{2}{3}\end{pmatrix}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(G\) zijn dus \((-1 , 1\frac{2}{3}) \text{.}\) 1p opgave 5Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (2 , 0)\) en \(B (6 , 1) \text{.}\) Op zijde \(B\kern{-.8pt}C\) liggen de punten \(E\) en \(F\) met \(B\kern{-.8pt}E = E\kern{-.8pt}F = F\kern{-.8pt}C \text{.}\) Lijnstuk \(C\kern{-.8pt}F\) is een diagonaal van vierkant \(C\kern{-.8pt}G\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}H \text{.}\) Zie het figuur. 8p Bereken de coördinaten van het punt \(H \text{.}\) Wandeling (3) 00py - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ -1\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{BA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{BA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}6 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}5 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{f} = \overrightarrow{b} + \frac{2}{3} \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}6 \\ 1\end{pmatrix} + \frac{2}{3} \begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\frac{1}{3} \\ 3\frac{2}{3}\end{pmatrix}\) 1p ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(C\kern{-.8pt}F \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{c} + \overrightarrow{f}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}5 \\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5\frac{1}{3} \\ 3\frac{2}{3}\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}5\frac{1}{6} \\ 4\frac{1}{3}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}5 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5\frac{1}{6} \\ 4\frac{1}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{6} \\ \frac{2}{3}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MC}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}\frac{2}{3} \\ \frac{1}{6}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{h} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MC}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}5\frac{1}{6} \\ 4\frac{1}{3}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{2}{3} \\ \frac{1}{6}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\frac{5}{6} \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(H\) zijn dus \((5\frac{5}{6} , 4\frac{1}{2}) \text{.}\) 1p |