Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde C

'Formule van een lijn opstellen'.

2 vwo

3.2 De formule van een lijn opstellen

Formule van een lijn opstellen (5)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (0 , 3)\) en heeft \(\text{rc}_{l} = -8 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

GegevenRcMetBeginpunt

000y - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = -8\)

○

Door \((0 , 3)\) dus \(b = 3 \text{,}\) en dus \(l{:}\,y = -8 x + 3\)

opgave 2

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (0 , 9)\) en is evenwijdig met de lijn \(m{:}\,y = 6 x + 4 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

EvenwijdigMetBeginpunt

000z - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = \text{rc}_{m} = 6\)

○

Door \((0 , 9)\) dus \(b = 9 \text{,}\) en dus \(l{:}\,y = 6 x + 9\)

opgave 3

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (3 , 5)\) en is evenwijdig met de lijn \(m{:}\,y = 4 - 8 x \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

EvenwijdigMetPunt

0010 - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = \text{rc}_{m} = -8\)

○

\(\begin{rcases}y = -8 x + b \\ \text{door } A (3 , 5)\end{rcases} \begin{matrix}-8 ⋅ 3 + b = 5 \\ -24 + b = 5 \\ b = 29\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = -8 x + 29\)

opgave 4

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (8 , 2)\) en heeft \(\text{rc}_{l} = 7 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

GegevenRcMetPunt

0011 - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = 7\)

○

\(\begin{rcases}y = 7 x + b \\ \text{door } A (8 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}7 ⋅ 8 + b = 2 \\ 56 + b = 2 \\ b = -54\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = 7 x - 54\)

opgave 5

Stel de formule op van de lijn.

Grafiek (1)

00my - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 2ms - data pool: #120 (2ms) - dynamic variables

○

\(y = a x + b \text{.}\)

○

Door \((0 , 20) \text{,}\) dus \(b = 20 \text{.}\)

○

\(a = {\text{verticaal} \over \text{horizontaal}} = {60 \over 80} = \frac{3}{4} \text{.}\)

○

\(y = \frac{3}{4} x + 20 \text{.}\)

3 vwo

1.2 Lineaire formules

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x + b \text{.}\)

Grafiek (2)

008t - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 13ms - dynamic variables

○

Rasterpunten \((1 , 5)\) en \((5 , 30)\) aflezen.

○

\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {30 - 5 \over 5 - 1} = 6{,}25\)

○

\(\begin{rcases}y = 6{,}25 x + b \\ \text{door } A (1 , 5)\end{rcases} \begin{matrix}6{,}25 ⋅ 1 + b = 5 \\ 6{,}25 + b = 5 \\ b = -1{,}25\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 6{,}25 x - 1{,}25\)

3 vwo

8.2 Tabellen en groei

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,020\)	\(2\,021\)	\(2\,022\)	\(2\,023\)	\(2\,024\)
\(y\)	\(16{,}90\)	\(16{,}03\)	\(15{,}16\)	\(14{,}29\)	\(13{,}42\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,020 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

UitTabel (1)

00jz - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

\(16{,}03 - 16{,}90 = -0{,}87\)

○

\(15{,}16 - 16{,}03 = -0{,}87\)
\(14{,}29 - 15{,}16 = -0{,}87\)
\(13{,}42 - 14{,}29 = -0{,}87\)

○

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y = a x + b\) met \(a = -0{,}87\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 16{,}9 \text{.}\)

○

Dus \(y = -0{,}87 x + 16{,}9\)

vwo wiskunde A

1.1 Lineaire formules

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Het water in de vijver is 50 cm diep en stijgt elke dag 3 cm.

Stel de formule op van de hoogte van het water \(h\) in cm als functie van de tijd \(r\) in dagen.

Contextueel

00n9 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 2ms

○

De beginwaarde is \(b = 50 \text{.}\)

○

De verandering is \(a = 3 \text{.}\)

○

De gevraagde formule is dus \(h = 3 r + 50 \text{.}\)

vwo wiskunde A

1.2 Een lijn door twee gegeven punten

Formule van een lijn opstellen (4)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (-7 , -27)\) en \(B (-4 , -18) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePunten (1)

0012 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 1ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {-18 - -27 \over -4 - -7} = 3\)

○

\(\begin{rcases}y = 3 x + b \\ \text{door } A (-7 , -27)\end{rcases} \begin{matrix}3 ⋅ -7 + b = -27 \\ -21 + b = -27 \\ b = -6\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = 3 x - 6\)

opgave 2

\(y\) is een lineaire functie van \(x \text{.}\)
Voor \(x = -6\) is \(y = 46\) en voor \(x = -2\) is \(y = 18 \text{.}\)

Druk \(y\) uit in \(x \text{.}\)

TweePunten (2)

0013 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

○

\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {18 - 46 \over -2 - -6} = -7\)

○

\(\begin{rcases}y = -7 x + b \\ \text{door } A (-6 , 46)\end{rcases} \begin{matrix}-7 ⋅ -6 + b = 46 \\ 42 + b = 46 \\ b = 4\end{matrix}\)

○

Dus \(y = -7 x + 4\)

opgave 3

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (2 , -8)\) en \(B (5 , -8) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePuntenHorizontaal

0014 - Formule van een lijn opstellen - pro - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {-8 - -8 \over 5 - 2} = {0 \over 3} = 0\)

○

\(\begin{rcases}y = b \\ \text{door } A (2 , -8)\end{rcases} \begin{matrix}b = -8\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = -8\)

opgave 4

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (-8 , 2)\) en \(B (-8 , 9) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePuntenVerticaal

0015 - Formule van een lijn opstellen - pro - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {2 - 9 \over -8 - -8} = {-7 \over 0}\)

○

Delen door 0 is niet gedefinieerd, het is dus een verticale lijn.

○

Dus een verticale lijn met vergelijking \(l{:}\,x = -8\)

vwo wiskunde A

1.3 Interpoleren, extrapoleren en evenredigheid

Formule van een lijn opstellen (3)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (4 , 12)\) en door de oorsprong.

Stel de formule van \(l\) op.

Evenredig (1)

0017 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms

○

Door de oorsprong betekent dat \(b = 0 \text{,}\) dus \(l{:}\,y = a x\)

○

\(\begin{rcases}y = a x \\ \text{door } A (4 , 12)\end{rcases} \begin{matrix}a ⋅ 4 = 12 \\ a = 3\end{matrix}\)
Dus \(y = 3 x \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is dat \(y\) evenredig is met \(x \text{.}\) Bij \(x = 8\) hoort \(y = 24 \text{.}\)

Stel de formule van \(y\) op.

Evenredig (2)

008s - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms

○

Evenredig betekent \(y = a x \text{.}\)

○

\(\begin{rcases}y = a x \\ \text{door } A (8 , 24)\end{rcases} \begin{matrix}a ⋅ 8 = 24 \\ a = 3\end{matrix}\)
Dus \(y = 3 x \text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(1\)	\(4\)	\(6\)	\(11\)
\(y\)	\(24{,}96\)	\(23{,}10\)	\(21{,}86\)	\(18{,}76\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

UitTabel (2)

00k0 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({\Delta y \over \Delta x} = {23{,}10 - 24{,}96 \over 4 - 1} = -0{,}62\)

○

\({\Delta y \over \Delta x} = {21{,}86 - 23{,}10 \over 6 - 4} = -0{,}62\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {18{,}76 - 21{,}86 \over 11 - 6} = -0{,}62\)

○

De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y = a x + b\) met \(a = -0{,}62\)

○

\(\begin{rcases}y = -0{,}62 x + b \\ x = 1 \text{ en } y = 24{,}96\end{rcases} \begin{matrix}-0{,}62 ⋅ 1 + b = 24{,}96 \\ -0{,}62 + b = 24{,}96 \\ b = 25{,}58\end{matrix}\)

○

Dus \(y = -0{,}62 x + 25{,}58\)