Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde C

'Formule van een lijn opstellen'.

2 vwo

3.2 De formule van een lijn opstellen

Formule van een lijn opstellen (5)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (0 , 8)\) en heeft \(\text{rc}_{l} = -9 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

GegevenRcMetBeginpunt

000y - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = -9\)

○

Door \((0 , 8)\) dus \(b = 8 \text{,}\) en dus \(l{:}\,y = -9 x + 8\)

opgave 2

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (0 , 3)\) en is evenwijdig met de lijn \(m{:}\,y = 5 x + 4 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

EvenwijdigMetBeginpunt

000z - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = \text{rc}_{m} = 5\)

○

Door \((0 , 3)\) dus \(b = 3 \text{,}\) en dus \(l{:}\,y = 5 x + 3\)

opgave 3

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (5 , 9)\) en is evenwijdig met de lijn \(m{:}\,y = 3 - 4 x \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

EvenwijdigMetPunt

0010 - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = \text{rc}_{m} = -4\)

○

\(\begin{rcases}y = -4 x + b \\ \text{door } A (5 , 9)\end{rcases} \begin{matrix}-4 ⋅ 5 + b = 9 \\ -20 + b = 9 \\ b = 29\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = -4 x + 29\)

opgave 4

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (7 , 6)\) en heeft \(\text{rc}_{l} = 3 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

GegevenRcMetPunt

0011 - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = 3\)

○

\(\begin{rcases}y = 3 x + b \\ \text{door } A (7 , 6)\end{rcases} \begin{matrix}3 ⋅ 7 + b = 6 \\ 21 + b = 6 \\ b = -15\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = 3 x - 15\)

opgave 5

Stel de formule op van de lijn.

Grafiek (1)

00my - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 2ms - data pool: #120 (2ms) - dynamic variables

○

\(y = a x + b \text{.}\)

○

Door \((0 , 3) \text{,}\) dus \(b = 3 \text{.}\)

○

\(a = {\text{verticaal} \over \text{horizontaal}} = {3 \over 4} = \frac{3}{4} \text{.}\)

○

\(y = \frac{3}{4} x + 3 \text{.}\)

3 vwo

1.2 Lineaire formules

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x + b \text{.}\)

Grafiek (2)

008t - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 26ms - dynamic variables

○

Rasterpunten \((2 , 1)\) en \((10 , 4)\) aflezen.

○

\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {4 - 1 \over 10 - 2} = 0{,}375\)

○

\(\begin{rcases}y = 0{,}375 x + b \\ \text{door } A (2 , 1)\end{rcases} \begin{matrix}0{,}375 ⋅ 2 + b = 1 \\ 0{,}75 + b = 1 \\ b = 0{,}25\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 0{,}375 x + 0{,}25\)

3 vwo

8.2 Tabellen en groei

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,022\)	\(2\,023\)	\(2\,024\)	\(2\,025\)
\(y\)	\(11{,}17\)	\(10{,}93\)	\(10{,}69\)	\(10{,}45\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,022 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

UitTabel (1)

00jz - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

\(10{,}93 - 11{,}17 = -0{,}24\)

○

\(10{,}69 - 10{,}93 = -0{,}24\)
\(10{,}45 - 10{,}69 = -0{,}24\)

○

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y = a x + b\) met \(a = -0{,}24\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 11{,}17 \text{.}\)

○

Dus \(y = -0{,}24 x + 11{,}17\)

vwo wiskunde A

1.1 Lineaire formules

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Het water in een vijver heeft een hoogte van 50 cm en daalt elke uur met 3 cm door verdamping.

Stel de formule op van de hoogte van het water \(h\) in cm als functie van de tijd \(t\) in uren.

Contextueel

00n9 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 6ms

○

De beginwaarde is \(b = 50 \text{.}\)

○

De verandering is \(a = -3 \text{.}\)

○

De gevraagde formule is dus \(h = -3 t + 50 \text{.}\)

vwo wiskunde A

1.2 Een lijn door twee gegeven punten

Formule van een lijn opstellen (4)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (-3 , -23)\) en \(B (5 , 33) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePunten (1)

0012 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 1ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {33 - -23 \over 5 - -3} = 7\)

○

\(\begin{rcases}y = 7 x + b \\ \text{door } A (-3 , -23)\end{rcases} \begin{matrix}7 ⋅ -3 + b = -23 \\ -21 + b = -23 \\ b = -2\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = 7 x - 2\)

opgave 2

\(y\) is een lineaire functie van \(x \text{.}\)
Voor \(x = -5\) is \(y = 21\) en voor \(x = -4\) is \(y = 18 \text{.}\)

Druk \(y\) uit in \(x \text{.}\)

TweePunten (2)

0013 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

○

\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {18 - 21 \over -4 - -5} = -3\)

○

\(\begin{rcases}y = -3 x + b \\ \text{door } A (-5 , 21)\end{rcases} \begin{matrix}-3 ⋅ -5 + b = 21 \\ 15 + b = 21 \\ b = 6\end{matrix}\)

○

Dus \(y = -3 x + 6\)

opgave 3

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (-5 , -3)\) en \(B (5 , -3) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePuntenHorizontaal

0014 - Formule van een lijn opstellen - pro - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {-3 - -3 \over 5 - -5} = {0 \over 10} = 0\)

○

\(\begin{rcases}y = b \\ \text{door } A (-5 , -3)\end{rcases} \begin{matrix}b = -3\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = -3\)

opgave 4

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (-3 , -7)\) en \(B (-3 , -3) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePuntenVerticaal

0015 - Formule van een lijn opstellen - pro - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {-7 - -3 \over -3 - -3} = {-4 \over 0}\)

○

Delen door 0 is niet gedefinieerd, het is dus een verticale lijn.

○

Dus een verticale lijn met vergelijking \(l{:}\,x = -3\)

vwo wiskunde A

1.3 Interpoleren, extrapoleren en evenredigheid

Formule van een lijn opstellen (3)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (9 , 18)\) en door de oorsprong.

Stel de formule van \(l\) op.

Evenredig (1)

0017 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms

○

Door de oorsprong betekent dat \(b = 0 \text{,}\) dus \(l{:}\,y = a x\)

○

\(\begin{rcases}y = a x \\ \text{door } A (9 , 18)\end{rcases} \begin{matrix}a ⋅ 9 = 18 \\ a = 2\end{matrix}\)
Dus \(y = 2 x \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is dat \(y\) evenredig is met \(x \text{.}\) Bij \(x = 5\) hoort \(y = 35 \text{.}\)

Stel de formule van \(y\) op.

Evenredig (2)

008s - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms

○

Evenredig betekent \(y = a x \text{.}\)

○

\(\begin{rcases}y = a x \\ \text{door } A (5 , 35)\end{rcases} \begin{matrix}a ⋅ 5 = 35 \\ a = 7\end{matrix}\)
Dus \(y = 7 x \text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(3\)	\(5\)	\(9\)	\(15\)	\(16\)
\(y\)	\(19{,}99\)	\(21{,}57\)	\(24{,}73\)	\(29{,}47\)	\(30{,}26\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

UitTabel (2)

00k0 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({\Delta y \over \Delta x} = {21{,}57 - 19{,}99 \over 5 - 3} = 0{,}79\)

○

\({\Delta y \over \Delta x} = {24{,}73 - 21{,}57 \over 9 - 5} = 0{,}79\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {29{,}47 - 24{,}73 \over 15 - 9} = 0{,}79\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {30{,}26 - 29{,}47 \over 16 - 15} = 0{,}79\)

○

De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y = a x + b\) met \(a = 0{,}79\)

○

\(\begin{rcases}y = 0{,}79 x + b \\ x = 3 \text{ en } y = 19{,}99\end{rcases} \begin{matrix}0{,}79 ⋅ 3 + b = 19{,}99 \\ 2{,}37 + b = 19{,}99 \\ b = 17{,}62\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 0{,}79 x + 17{,}62\)