Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde C

'Formule van een lijn opstellen'.

2 vwo

3.2 De formule van een lijn opstellen

Formule van een lijn opstellen (5)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (0 , 3)\) en heeft \(\text{rc}_{l} = -4 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

GegevenRcMetBeginpunt

000y - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = -4\)

○

Door \((0 , 3)\) dus \(b = 3 \text{,}\) en dus \(l{:}\,y = -4 x + 3\)

opgave 2

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (0 , 8)\) en is evenwijdig met de lijn \(m{:}\,y = 6 x + 4 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

EvenwijdigMetBeginpunt

000z - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = \text{rc}_{m} = 6\)

○

Door \((0 , 8)\) dus \(b = 8 \text{,}\) en dus \(l{:}\,y = 6 x + 8\)

opgave 3

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (8 , 6)\) en is evenwijdig met de lijn \(m{:}\,y = 9 - 3 x \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

EvenwijdigMetPunt

0010 - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = \text{rc}_{m} = -3\)

○

\(\begin{rcases}y = -3 x + b \\ \text{door } A (8 , 6)\end{rcases} \begin{matrix}-3 ⋅ 8 + b = 6 \\ -24 + b = 6 \\ b = 30\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = -3 x + 30\)

opgave 4

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (3 , 9)\) en heeft \(\text{rc}_{l} = 8 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

GegevenRcMetPunt

0011 - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = 8\)

○

\(\begin{rcases}y = 8 x + b \\ \text{door } A (3 , 9)\end{rcases} \begin{matrix}8 ⋅ 3 + b = 9 \\ 24 + b = 9 \\ b = -15\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = 8 x - 15\)

opgave 5

Stel de formule op van de lijn.

Grafiek (1)

00my - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 2ms - data pool: #120 (2ms) - dynamic variables

○

\(y = a x + b \text{.}\)

○

Door \((0 , 10) \text{,}\) dus \(b = 10 \text{.}\)

○

\(a = {\text{verticaal} \over \text{horizontaal}} = {30 \over 40} = \frac{3}{4} \text{.}\)

○

\(y = \frac{3}{4} x + 10 \text{.}\)

3 vwo

1.2 Lineaire formules

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x + b \text{.}\)

Grafiek (2)

008t - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 21ms - dynamic variables

○

Rasterpunten \((5 , 1)\) en \((25 , 4)\) aflezen.

○

\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {4 - 1 \over 25 - 5} = 0{,}15\)

○

\(\begin{rcases}y = 0{,}15 x + b \\ \text{door } A (5 , 1)\end{rcases} \begin{matrix}0{,}15 ⋅ 5 + b = 1 \\ 0{,}75 + b = 1 \\ b = 0{,}25\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 0{,}15 x + 0{,}25\)

3 vwo

8.2 Tabellen en groei

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,022\)	\(2\,023\)	\(2\,024\)	\(2\,025\)	\(2\,026\)
\(y\)	\(16{,}64\)	\(18{,}19\)	\(19{,}74\)	\(21{,}29\)	\(22{,}84\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,022 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

UitTabel (1)

00jz - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

\(18{,}19 - 16{,}64 = 1{,}55\)

○

\(19{,}74 - 18{,}19 = 1{,}55\)
\(21{,}29 - 19{,}74 = 1{,}55\)
\(22{,}84 - 21{,}29 = 1{,}55\)

○

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y = a x + b\) met \(a = 1{,}55\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 16{,}64 \text{.}\)

○

Dus \(y = 1{,}55 x + 16{,}64\)

vwo wiskunde A

1.1 Lineaire formules

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Tom huurt een fiets. Basisprijs is €7, plus €4 per uur dat hij de fiets gebruikt.

Stel de formule op van de huurprijs \(H\) in euro als functie van het aantal gefietste uren \(f \text{.}\)

Contextueel

00n9 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 2ms

○

De beginwaarde is \(b = 7 \text{.}\)

○

De verandering is \(a = 4 \text{.}\)

○

De gevraagde formule is dus \(H = 4 f + 7 \text{.}\)

vwo wiskunde A

1.2 Een lijn door twee gegeven punten

Formule van een lijn opstellen (4)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (-6 , -43)\) en \(B (-2 , -15) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePunten (1)

0012 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 1ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {-15 - -43 \over -2 - -6} = 7\)

○

\(\begin{rcases}y = 7 x + b \\ \text{door } A (-6 , -43)\end{rcases} \begin{matrix}7 ⋅ -6 + b = -43 \\ -42 + b = -43 \\ b = -1\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = 7 x - 1\)

opgave 2

\(y\) is een lineaire functie van \(x \text{.}\)
Voor \(x = -3\) is \(y = 14\) en voor \(x = 6\) is \(y = -22 \text{.}\)

Druk \(y\) uit in \(x \text{.}\)

TweePunten (2)

0013 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

○

\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {-22 - 14 \over 6 - -3} = -4\)

○

\(\begin{rcases}y = -4 x + b \\ \text{door } A (-3 , 14)\end{rcases} \begin{matrix}-4 ⋅ -3 + b = 14 \\ 12 + b = 14 \\ b = 2\end{matrix}\)

○

Dus \(y = -4 x + 2\)

opgave 3

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (-2 , -4)\) en \(B (7 , -4) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePuntenHorizontaal

0014 - Formule van een lijn opstellen - pro - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {-4 - -4 \over 7 - -2} = {0 \over 9} = 0\)

○

\(\begin{rcases}y = b \\ \text{door } A (-2 , -4)\end{rcases} \begin{matrix}b = -4\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = -4\)

opgave 4

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (-3 , -9)\) en \(B (-3 , -3) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePuntenVerticaal

0015 - Formule van een lijn opstellen - pro - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {-9 - -3 \over -3 - -3} = {-6 \over 0}\)

○

Delen door 0 is niet gedefinieerd, het is dus een verticale lijn.

○

Dus een verticale lijn met vergelijking \(l{:}\,x = -3\)

vwo wiskunde A

1.3 Interpoleren, extrapoleren en evenredigheid

Formule van een lijn opstellen (3)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (5 , 20)\) en door de oorsprong.

Stel de formule van \(l\) op.

Evenredig (1)

0017 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms

○

Door de oorsprong betekent dat \(b = 0 \text{,}\) dus \(l{:}\,y = a x\)

○

\(\begin{rcases}y = a x \\ \text{door } A (5 , 20)\end{rcases} \begin{matrix}a ⋅ 5 = 20 \\ a = 4\end{matrix}\)
Dus \(y = 4 x \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is dat \(y\) evenredig is met \(x \text{.}\) Bij \(x = 9\) hoort \(y = 54 \text{.}\)

Stel de formule van \(y\) op.

Evenredig (2)

008s - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms

○

Evenredig betekent \(y = a x \text{.}\)

○

\(\begin{rcases}y = a x \\ \text{door } A (9 , 54)\end{rcases} \begin{matrix}a ⋅ 9 = 54 \\ a = 6\end{matrix}\)
Dus \(y = 6 x \text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\)	\(8\)	\(13\)	\(14\)
\(y\)	\(31{,}70\)	\(22{,}28\)	\(14{,}43\)	\(12{,}86\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

UitTabel (2)

00k0 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({\Delta y \over \Delta x} = {22{,}28 - 31{,}70 \over 8 - 2} = -1{,}57\)

○

\({\Delta y \over \Delta x} = {14{,}43 - 22{,}28 \over 13 - 8} = -1{,}57\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {12{,}86 - 14{,}43 \over 14 - 13} = -1{,}57\)

○

De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y = a x + b\) met \(a = -1{,}57\)

○

\(\begin{rcases}y = -1{,}57 x + b \\ x = 2 \text{ en } y = 31{,}7\end{rcases} \begin{matrix}-1{,}57 ⋅ 2 + b = 31{,}7 \\ -3{,}14 + b = 31{,}7 \\ b = 34{,}84\end{matrix}\)

○

Dus \(y = -1{,}57 x + 34{,}84\)