Afstand tussen punten, lijnen en cirkels

\(M(-5, -4)\) en \(r=4\text{.}\)

De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,-x+2y=c \\ M(-5, -4)\end{rcases}c=-1⋅-5+2⋅-4=-3\)
Dus \(n{:}\,-x+2y=-3\text{.}\)

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\)
\(\begin{cases}-2x-y=-1 \\ -x+2y=-3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-2x-y=-1 \\ -2x+4y=-6\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(-5y=5\) dus \(y=-1\text{.}\)

\(\begin{rcases}-2x-y=-1 \\ y=-1\end{rcases}\begin{matrix}-2x-1⋅-1=-1 \\ x=1\end{matrix}\)
Dus \(S(1, -1)\text{.}\)

\(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(-5-1)^2+(-4--1)^2}=\sqrt{45}\text{.}\)

\(d(c, l)=d(M, l)-r=\sqrt{45}-4\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft \((x-5)^2+(y-1)^2=3\)
Dus \(M(5, 1)\) en \(r=\sqrt{3}\text{.}\)

\(d(M, A)=\sqrt{(5-4)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2}\text{.}\)

Er geldt \(\sqrt{2}<\sqrt{3}\text{,}\) dus \(d(M, A)<r\) en dus
\(d(c, A)=r-d(M, A)=\sqrt{3}-\sqrt{2}\text{.}\)

De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,-2x-y=c \\ A(5, -2)\end{rcases}c=-2⋅5-1⋅-2=-8\)
Dus \(n{:}\,-2x-y=-8\text{.}\)

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\)
\(\begin{cases}x-2y=-1 \\ -2x-y=-8\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2x-4y=-2 \\ -2x-y=-8\end{cases}\)
Optellen geeft \(-5y=-10\) dus \(y=2\text{.}\)

\(\begin{rcases}x-2y=-1 \\ y=2\end{rcases}\begin{matrix}x-2⋅2=-1 \\ x=3\end{matrix}\)
Dus \(S(3, 2)\text{.}\)

\(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(5-3)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{20}\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft \((x-2)^2+(y+6)^2=5\)
Dus \(M_1(2, -6)\) en \(r_1=\sqrt{5}\text{.}\)

Het middelpunt van cirkel \(c_2\) is \(M_2(-6, 1)\text{,}\) dus
\(d(M_1, M_2)=\sqrt{(2--6)^2+(-6-1)^2}=\sqrt{113}\text{.}\)

Er geldt \(r_2=\sqrt{16}\text{,}\) dus
\(d(c_1, c_2)=d(M_1, M_2)-r_1-r_2=\sqrt{113}-\sqrt{5}-\sqrt{16}\text{.}\)

\(d(A, B)=\sqrt{(1-3)^2+(-3--7)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\text{.}\)

\(M(-1, -2)\) en \(r=\sqrt{5}\text{.}\)

\(d(M, A)=\sqrt{(-3--1)^2+(-3--2)^2}=\sqrt{5}\text{.}\)

\(d(M, A)=r\text{,}\) dus \(A\) ligt op \(c\text{.}\)

De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,-2x-4y=c \\ M(2, -4)\end{rcases}c=-2⋅2-4⋅-4=12\)
Dus \(n{:}\,-2x-4y=12\text{.}\)

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\)
\(\begin{cases}4x-2y=1 \\ -2x-4y=12\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4x-2y=1 \\ -4x-8y=24\end{cases}\)
Optellen geeft \(-10y=25\) dus \(y=-2\frac{1}{2}\text{.}\)

\(\begin{rcases}4x-2y=1 \\ y=-2\frac{1}{2}\end{rcases}\begin{matrix}4x-2⋅-2\frac{1}{2}=1 \\ x=-1\end{matrix}\)
Dus \(S(-1, -2\frac{1}{2})\text{.}\)

\(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(2--1)^2+(-4--2\frac{1}{2})^2}=\sqrt{11\frac{1}{4}}\text{.}\)

\(M(2, -4)\) en \(r=d(M, l)=\sqrt{11\frac{1}{4}}\text{,}\) dus
\(c{:}\,(x-2)^2+(y+4)^2=11\frac{1}{4}\text{.}\)