Afstand tussen punten, lijnen en cirkels

a

\(M(-5, -3)\) en \(r=\sqrt{30}\text{.}\)

1p

De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,x-3y=c \\ M(-5, -3)\end{rcases}c=1⋅-5-3⋅-3=4\)
Dus \(n{:}\,x-3y=4\text{.}\)

1p

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\)
\(\begin{cases}3x+y=2 \\ x-3y=4\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3x+y=2 \\ 3x-9y=12\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(10y=-10\) dus \(y=-1\text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}3x+y=2 \\ y=-1\end{rcases}\begin{matrix}3x+1⋅-1=2 \\ x=1\end{matrix}\)
Dus \(S(1, -1)\text{.}\)

1p

\(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(-5-1)^2+(-3--1)^2}=\sqrt{40}\text{.}\)

1p

\(d(c, l)=d(M, l)-r=\sqrt{40}-\sqrt{30}\text{.}\)

1p

a

Kwadraatafsplitsen geeft \((x+3)^2+(y+4)^2=6\)
Dus \(M(-3, -4)\) en \(r=\sqrt{6}\text{.}\)

1p

\(d(M, A)=\sqrt{(-3--7)^2+(-4--8)^2}=\sqrt{32}\text{.}\)

1p

Er geldt \(d(M, A)>r\text{,}\) dus \(d(c, A)=d(M, A)-r=\sqrt{32}-\sqrt{6}\text{.}\)

1p

a

De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,2x+y=c \\ A(4, 3)\end{rcases}c=2⋅4+1⋅3=11\)
Dus \(n{:}\,2x+y=11\text{.}\)

1p

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\)
\(\begin{cases}-x+2y=-3 \\ 2x+y=11\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-2x+4y=-6 \\ 2x+y=11\end{cases}\)
Optellen geeft \(5y=5\) dus \(y=1\text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}-x+2y=-3 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}-x+2⋅1=-3 \\ x=5\end{matrix}\)
Dus \(S(5, 1)\text{.}\)

1p

\(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(4-5)^2+(3-1)^2}=\sqrt{5}\text{.}\)

1p

a

Kwadraatafsplitsen geeft \((x+4)^2+(y+5)^2=14\)
Dus \(M_1(-4, -5)\) en \(r_1=\sqrt{14}\text{.}\)

1p

Het middelpunt van cirkel \(c_2\) is \(M_2(3, 3)\text{,}\) dus
\(d(M_1, M_2)=\sqrt{(-4-3)^2+(-5-3)^2}=\sqrt{113}\text{.}\)

1p

Er geldt \(r_2=\sqrt{7}\text{,}\) dus
\(d(c_1, c_2)=d(M_1, M_2)-r_1-r_2=\sqrt{113}-\sqrt{14}-\sqrt{7}\text{.}\)

1p

a

\(d(A, B)=\sqrt{(-2-1)^2+(1--4)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\text{.}\)

1p

a

\(M(-2, 4)\) en \(r=\sqrt{24}\text{.}\)

1p

\(d(M, A)=\sqrt{(0--2)^2+(-1-4)^2}=\sqrt{29}\text{.}\)

1p

\(d(M, A)>r\text{,}\) dus \(A\) ligt buiten \(c\text{.}\)

1p

a

De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,x+4y=c \\ M(-5, 2)\end{rcases}c=1⋅-5+4⋅2=3\)
Dus \(n{:}\,x+4y=3\text{.}\)

1p

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\)
\(\begin{cases}-4x+y=5 \\ x+4y=3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 4\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-4x+y=5 \\ 4x+16y=12\end{cases}\)
Optellen geeft \(17y=17\) dus \(y=1\text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}-4x+y=5 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}-4x+1⋅1=5 \\ x=-1\end{matrix}\)
Dus \(S(-1, 1)\text{.}\)

1p

\(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(-5--1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{17}\text{.}\)

1p

\(M(-5, 2)\) en \(r=d(M, l)=\sqrt{17}\text{,}\) dus
\(c{:}\,(x+5)^2+(y-2)^2=17\text{.}\)

1p