Betrouwbaarheidsintervallen
In een steekproef blijken \(93\) van de \(245\) deelnemers verkouden.
5p
Bereken het \(95\% \text{-}\)betrouwbaarheidsinterval van de populatieproportie.
○
De steekproefproportie is \(\hat{p} = {93 \over 245} = 0{,}379...\)
1p
○
\(\sigma = \sqrt{{\hat{p} (1 - \hat{p}) \over n}} = \sqrt{{0{,}379... ⋅ 0{,}620... \over 245}} = 0{,}031...\)
1p
○
\(\hat{p} - 2 \sigma = 0{,}379... - 2 ⋅ 0{,}031... ≈ 0{,}318 \text{.}\)
1p
○
\(\hat{p} + 2 \sigma = 0{,}379... + 2 ⋅ 0{,}031... ≈ 0{,}442 \text{.}\)
1p
○
Het \(95\% \text{-}\)betrouwbaarheidsinterval is \([0{,}318 ; 0{,}442] \text{.}\)
1p
In een steekproef geeft \(13\%\) van de \(127\) deelnemers aan dat ze een huisdier hebben.
5p
Bereken het \(95\% \text{-}\)betrouwbaarheidsinterval van het percentage van de gehele populatie.
○
De steekproefproportie is \(\hat{p} = 13\% = 0{,}13 \text{.}\)
1p
○
\(\sigma = \sqrt{{\hat{p} (1 - \hat{p}) \over n}} = \sqrt{{0{,}13 ⋅ 0{,}87 \over 127}} = 0{,}0298...\)
1p
○
\(\hat{p} - 2 \sigma = 0{,}13 - 2 ⋅ 0{,}0298... ≈ 0{,}070 \text{.}\)
1p
○
\(\hat{p} + 2 \sigma = 0{,}13 + 2 ⋅ 0{,}0298... ≈ 0{,}190 \text{.}\)
1p
○
Het \(95\% \text{-}\)betrouwbaarheidsinterval is \([7{,}0\% , 19{,}0\%] \text{.}\)
1p
In een steekproef onder \(157\) deelnemers blijkt het gemiddelde gelijk te zijn aan \(\bar{X} = 373 \text{.}\) De bijbehorende standaardafwijking is \(S = 110 \text{.}\)
3p
Bereken het \(95\% \text{-}\)betrouwbaarheidsinterval van het populatiegemiddelde in gehelen.
○
\(\bar{X} - 2 ⋅ {S \over \sqrt{n}} = 373 - 2 ⋅ {110 \over \sqrt{157}} ≈ 355 \text{.}\)
1p
○
\(\bar{X} + 2 ⋅ {S \over \sqrt{n}} = 373 + 2 ⋅ {110 \over \sqrt{157}} ≈ 391 \text{.}\)
1p
○
Het \(95\% \text{-}\)betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde is \([355 , 391] \text{.}\)
1p
Het populatiegemiddelde ligt met \(95\%\) zekerheid in \([339 , 363] \text{.}\)
4p
Bereken de steekproefomvang als gegeven is dat \(S = 84 \text{.}\)
○
\(S = 84\) en \(\text{breedte} = 363 - 339 = 24 \text{.}\)
1p
○
Los op \(4 ⋅ {84 \over \sqrt{n}} = 24 \text{.}\)
1p
○
Voer in
\(y_{1} = 4 ⋅ {84 \over \sqrt{x}}\)
\(y_{2} = 24\)
Optie 'intersect' geeft \(x = 196\)
1p
○
De steekproefomvang is dus \(196 \text{.}\)
1p
De populatieproportie ligt met \(95\%\) zekerheid in \([0{,}104 ; 0{,}236] \text{.}\)
4p
Bereken de steekproefomvang.
○
\(\hat{p} = {0{,}104 + 0{,}236 \over 2} = 0{,}17\) en \(\text{breedte} = 0{,}236 - 0{,}104 = 0{,}132 \text{.}\)
1p
○
Los op \(4 ⋅ \sqrt{{0{,}17 ⋅ 0{,}83 \over n}} = 0{,}132 \text{.}\)
1p
○
Voer in
\(y_{1} = 4 ⋅ \sqrt{{0{,}17 ⋅ 0{,}83 \over x}}\)
\(y_{2} = 0{,}132\)
Optie 'intersect' geeft \(x = 129{,}568...\)
1p
○
De steekproefomvang is dus \(130 \text{.}\)
1p