De vergelijking van een cirkel

\(x = 1\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(1^{2} + y^{2} + 0 ⋅ 1 - 6 y - 8 = 0 \text{.}\)

De vergelijking oplossen geeft
\(y^{2} - 6 y - 7 = 0\)
\((y + 1) (y - 7) = 0\)
\(y = -1 ∨ y = 7\)
\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (1 , 7)\) en \(B (1 , -1) \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 4 = 0\)
\((x + 1)^{2} - 1 + (y - 2)^{2} - 4 - 4 = 0\)
\((x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9 \text{.}\)

Dus \(M (-1 , 2)\) en \(r = \sqrt{9} = 3 \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 2 x + 9 y + 2 = 0\)
\((x - 1)^{2} - 1 + (y + 4\frac{1}{2})^{2} - 20\frac{1}{4} + 2 = 0\)
\((x - 1)^{2} + (y + 4\frac{1}{2})^{2} = 19\frac{1}{4} \text{.}\)

Dus \(M (1 , -4\frac{1}{2})\) en \(r = \sqrt{19\frac{1}{4}} \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} + 12 x + 27 = 0\)
\((x + 6)^{2} - 36 + y^{2} + 27 = 0\)
\((x + 6)^{2} + y^{2} = 9 \text{.}\)

Dus \(M (-6 , 0)\) en \(r = \sqrt{9} = 3 \text{.}\)

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B \text{,}\) dus
\(M ({1 \over 2} (6 + -5) , {1 \over 2} (4 + 0)) = M (\frac{1}{2} , 2) \text{.}\)

\(r = d(M , A) = \sqrt{(\frac{1}{2} - 6)^{2} + (2 - 4)^{2}} = \sqrt{34\frac{1}{4}} \text{.}\)

\(c{:}\,(x - \frac{1}{2})^{2} + (y - 2)^{2} = 34\frac{1}{4} \text{.}\)

\(r = d(M , A) = \sqrt{(3 - -1)^{2} + (-2 - -7)^{2}} = \sqrt{41} \text{.}\)

\(c{:}\,(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 41 \text{.}\)

\(c{:}\,(x - 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 9 \text{.}\)

\(c{:}\,(x - 5)^{2} + y^{2} = 9 \text{.}\)

\(c{:}\,(x + 1)^{2} + (y + 5)^{2} = 9 \text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} + 10 y + 25 = 9\)
en dus
\(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x + 10 y + 17 = 0 \text{.}\)

De cirkels raken de \(y \text{-}\)as en hebben straal \(2 \text{,}\) dus \(x_{M} = 2\) of \(x_{M} = -2 \text{.}\)

\(\begin{rcases}y = 3 x + 4 \\ x_{M} = 2\end{rcases} \text{ geeft } y_{M} = 3 ⋅ 2 + 4 = 10\)

Middelpunt \(M_{1} (2 , 10)\) en straal \(r = 2 \text{,}\) dus
\(c_{1}{:}\,(x - 2)^{2} + (y - 10)^{2} = 4\)

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y = 3 x + 4 \\ x_{M} = -2\end{rcases} \text{ geeft } y_{M} = 3 ⋅ -2 + 4 = -2\)
Middelpunt \(M_{2} (-2 , -2)\) en straal \(r = 2 \text{,}\) dus
\(c_{2}{:}\,(x + 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 4\)

Cirkel \(c\) raakt aan de \(x \text{-}\)as, dus \(r = d(M , x \text{-as}) = 1 \text{.}\)

\(c{:}\,(x + 5)^{2} + (y + 1)^{2} = 1 \text{.}\)

De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,x - 2 y = c \\ A (5 , 2)\end{rcases} c = 1 ⋅ 5 - 2 ⋅ 2 = 1\)
Dus \(n{:}\,x - 2 y = 1 \text{.}\)

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\)
\(\begin{cases}2 x + y = -3 \\ x - 2 y = 1\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x + y = -3 \\ 2 x - 4 y = 2\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(5 y = -5\) dus \(y = -1 \text{.}\)

\(\begin{rcases}2 x + y = -3 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}2 x + 1 ⋅ -1 = -3 \\ x = -1\end{matrix}\)
Dus \(S (-1 , -1) \text{.}\)

\(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(5 - -1)^{2} + (2 - -1)^{2}} = \sqrt{45} \text{.}\)

\(A (5 , 2)\) en \(r = d(A , l) = \sqrt{45} \text{,}\) dus
\(c{:}\,(x - 5)^{2} + (y - 2)^{2} = 45 \text{.}\)

Omschrijven van \(l\) geeft \(x = 3 y - 3 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} - 10 x - 2 y + 21 = 0\) geeft
\((3 y - 3)^{2} + y^{2} - 10 (3 y - 3) - 2 y + 21 = 0 \text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(9 y^{2} - 18 y + 9 + y^{2} - 30 y + 30 - 2 y + 21 = 0\)
\(10 y^{2} - 50 y + 60 = 0 \text{.}\)

Oplossen van de vergelijking geeft
\(y^{2} - 5 y + 6 = 0\)
\((y - 2) (y - 3) = 0\)
Dus \(y = 2 ∨ y = 3 \text{.}\)

Invullen van \(y = 2\) in \(x = 3 y - 3\) geeft \(x = 3 \text{,}\) dus snijpunt \((3 , 2) \text{.}\)
Invullen van \(y = 3\) geeft \(x = 6 \text{,}\) dus snijpunt \((6 , 3) \text{.}\)