De vergelijking van een cirkel

2d - 12 oefeningen

Kwadraatafsplitsen (1)
00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-14x+6y+22=0\text{.}\)

2p

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-14x+6y+22=0\)
\((x-7)^2-49+(y+3)^2-9+22=0\)
\((x-7)^2+(y+3)^2=36\text{.}\)

1p

○

Dus \(M(7, -3)\) en \(r=\sqrt{36}=6\text{.}\)

1p
Kwadraatafsplitsen (2)
00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x+11y+40=0\text{.}\)

2p

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-10x+11y+40=0\)
\((x-5)^2-25+(y+5\frac{1}{2})^2-30\frac{1}{4}+40=0\)
\((x-5)^2+(y+5\frac{1}{2})^2=15\frac{1}{4}\text{.}\)

1p

○

Dus \(M(5, -5\frac{1}{2})\) en \(r=\sqrt{15\frac{1}{4}}\text{.}\)

1p
Kwadraatafsplitsen (3)
00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+8y-9=0\text{.}\)

2p

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+8y-9=0\)
\(x^2+(y+4)^2-16-9=0\)
\(x^2+(y+4)^2=25\text{.}\)

1p

○

Dus \(M(0, -4)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\)

1p
Middellijn
00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven zijn de punten \(A(6, 0)\) en \(B(5, 7)\text{.}\)

3p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

○

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(6+5), {1 \over 2}(0+7))=M(5\frac{1}{2}, 3\frac{1}{2})\text{.}\)

1p

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(5\frac{1}{2}-6)^2+(3\frac{1}{2}-0)^2}=\sqrt{12\frac{1}{2}}\text{.}\)

1p

○

\(c{:}\,(x-5\frac{1}{2})^2+(y-3\frac{1}{2})^2=12\frac{1}{2}\text{.}\)

1p
MiddelpuntDoorPunt
00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven zijn de punten \(M(2, 3)\) en \(A(5, -1)\text{.}\)

2p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(2-5)^2+(3--1)^2}=\sqrt{25}\text{.}\)

1p

○

\(c{:}\,(x-2)^2+(y-3)^2=25\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (1)
00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(4, -7)\text{.}\)

1p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x-4)^2+(y+7)^2=36\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (2)
00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(0, 7)\text{.}\)

1p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2\text{.}\)

○

\(c{:}\,x^2+(y-7)^2=4\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (3)
00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(5, 0)\text{.}\)

2p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x-5)^2+y^2=16\text{.}\)

1p

○

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2-10x+25+y^2=16\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2-10x+9=0\text{.}\)

1p
MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs
00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=4x+5\) ligt, die straal \(2\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken.

4p

Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op.

○

De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(2\text{,}\) dus \(x_M=2\) of \(x_M=-2\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=4x+5 \\ x_M=2\end{rcases}\text{ geeft }y_M=4⋅2+5=13\)

1p

○

Middelpunt \(M_1(2, 13)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x-2)^2+(y-13)^2=4\)

1p

○

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=4x+5 \\ x_M=-2\end{rcases}\text{ geeft }y_M=4⋅-2+5=-3\)
Middelpunt \(M_2(-2, -3)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+2)^2+(y+3)^2=4\)

1p
MiddelpuntRaaktAanAs
00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(-2, 3)\text{.}\)

2p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(y\text{-}\)as.

○

Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=2\text{.}\)

1p

○

\(c{:}\,(x+2)^2+(y-3)^2=4\text{.}\)

1p
PuntenMetGegevenCoordinaat
00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.4 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-4x+6y-4=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=6\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\)

2p

Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\)

○

\(x=6\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(6^2+y^2-4⋅6+6y-4=0\text{.}\)

1p

○

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2+6y+8=0\)
\((y+4)(y+2)=0\)
\(y=-4∨y=-2\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(6, -2)\) en \(B(6, -4)\text{.}\)

1p
SnijpuntenLijnEnCirkel
00by - De vergelijking van een cirkel - basis - 4ms - data pool: #56 (2ms)
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.4

Gegeven zijn de lijn \(l{:}\,3x-y=4\) en de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x+4y=0\text{.}\)

4p

Bereken exact de coördinaten van \(l\) en \(c\text{.}\)

○

Omschrijven van \(l\) geeft \(y=3x-4\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-8x+4y=0\) geeft
\(x^2+(3x-4)^2-8x+4(3x-4)=0\text{.}\)

1p

○

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+9x^2-24x+16-8x+12x-16=0\)
\(10x^2-20x=0\text{.}\)

1p

○

Oplossen van de vergelijking geeft
\(x^2-2x=0\)
\(x(x-2)=0\)
Dus \(x=0∨x=2\text{.}\)

1p

○

Invullen van \(x=0\) in \(y=3x-4\) geeft \(y=-4\text{,}\) dus snijpunt \((0, -4)\text{.}\)
Invullen van \(x=2\) geeft \(y=2\text{,}\) dus snijpunt \((2, 2)\text{.}\)

1p
00ba 00bb 00bc 00b7 00b6 00b5 00b9 00bx 00es 00b8 00br 00by