De vergelijking van een cirkel
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y + 7 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 4\) en \(y_{A} > y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
2p
Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B \text{.}\)
○
\(x = 4\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(4^{2} + y^{2} - 2 ⋅ 4 + 8 y + 7 = 0 \text{.}\)
1p
○
De vergelijking oplossen geeft
\(y^{2} + 8 y + 15 = 0\)
\((y + 5) (y + 3) = 0\)
\(y = -5 ∨ y = -3\)
\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (4 , -3)\) en \(B (4 , -5) \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 3 = 0 \text{.}\)
2p
Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)
○
Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 3 = 0\)
\((x - 3)^{2} - 9 + (y + 2)^{2} - 4 - 3 = 0\)
\((x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 16 \text{.}\)
1p
○
Dus \(M (3 , -2)\) en \(r = \sqrt{16} = 4 \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 11 x + 6 y + 36 = 0 \text{.}\)
2p
Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)
○
Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 11 x + 6 y + 36 = 0\)
\((x - 5\frac{1}{2})^{2} - 30\frac{1}{4} + (y + 3)^{2} - 9 + 36 = 0\)
\((x - 5\frac{1}{2})^{2} + (y + 3)^{2} = 3\frac{1}{4} \text{.}\)
1p
○
Dus \(M (5\frac{1}{2} , -3)\) en \(r = \sqrt{3\frac{1}{4}} \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 14 x + 40 = 0 \text{.}\)
2p
Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)
○
Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} + 14 x + 40 = 0\)
\((x + 7)^{2} - 49 + y^{2} + 40 = 0\)
\((x + 7)^{2} + y^{2} = 9 \text{.}\)
1p
○
Dus \(M (-7 , 0)\) en \(r = \sqrt{9} = 3 \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \(A (-6 , -3)\) en \(B (7 , 2) \text{.}\)
3p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)
○
Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B \text{,}\) dus
\(M ({1 \over 2} (-6 + 7) , {1 \over 2} (-3 + 2)) = M (\frac{1}{2} , -\frac{1}{2}) \text{.}\)
1p
○
\(r = d(M , A) = \sqrt{(\frac{1}{2} - -6)^{2} + (-\frac{1}{2} - -3)^{2}} = \sqrt{48\frac{1}{2}} \text{.}\)
1p
○
\(c{:}\,(x - \frac{1}{2})^{2} + (y + \frac{1}{2})^{2} = 48\frac{1}{2} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \(M (-3 , 2)\) en \(A (-2 , 0) \text{.}\)
2p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.
○
\(r = d(M , A) = \sqrt{(-3 - -2)^{2} + (2 - 0)^{2}} = \sqrt{5} \text{.}\)
1p
○
\(c{:}\,(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 5 \text{.}\)
1p
Gegeven is het punt \(M (-1 , 6) \text{.}\)
1p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(5 \text{.}\)
○
\(c{:}\,(x + 1)^{2} + (y - 6)^{2} = 25 \text{.}\)
1p
Gegeven is het punt \(M (0 , -5) \text{.}\)
1p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2 \text{.}\)
○
\(c{:}\,x^{2} + (y + 5)^{2} = 4 \text{.}\)
1p
Gegeven is het punt \(M (-6 , 3) \text{.}\)
2p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2 \text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0 \text{.}\)
○
\(c{:}\,(x + 6)^{2} + (y - 3)^{2} = 4 \text{.}\)
1p
○
Haakjes wegwerken geeft
\(x^{2} + 12 x + 36 + y^{2} - 6 y + 9 = 4\)
en dus
\(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 12 x - 6 y + 41 = 0 \text{.}\)
1p
Er zijn twee cirkels \(c_{1}\) en \(c_{2}\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y = 5 x + 1\) ligt, die straal \(2\) hebben en die de \(x \text{-}\)as raken.
4p
Stel van zowel \(c_{1}\) als \(c_{2}\) een vergelijking op.
○
De cirkels raken de \(x \text{-}\)as en hebben straal \(2 \text{,}\) dus \(y_{M} = 2\) of \(y_{M} = -2 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = 5 x + 1 \\ y_{M} = 2\end{rcases} \text{ geeft } 5 x + 1 = 2 \text{ dus } x_{M} = \frac{1}{5}\)
1p
○
Middelpunt \(M_{1} (\frac{1}{5} , 2)\) en straal \(r = 2 \text{,}\) dus
\(c_{1}{:}\,(x - \frac{1}{5})^{2} + (y - 2)^{2} = 4\)
1p
○
Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y = 5 x + 1 \\ y_{M} = -2\end{rcases} \text{ geeft } 5 x + 1 = -2 \text{ dus } x_{M} = -\frac{3}{5}\)
Middelpunt \(M_{2} (-\frac{3}{5} , -2)\) en straal \(r = 2 \text{,}\) dus
\(c_{2}{:}\,(x + \frac{3}{5})^{2} + (y + 2)^{2} = 4\)
1p
Gegeven is het punt \(M (-6 , 7) \text{.}\)
2p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(y \text{-}\)as.
○
Cirkel \(c\) raakt aan de \(y \text{-}\)as, dus \(r = d(M , y \text{-as}) = 6 \text{.}\)
1p
○
\(c{:}\,(x + 6)^{2} + (y - 7)^{2} = 36 \text{.}\)
1p
Gegeven zijn het punt \(A (-4 , 5)\) en de lijn \(l{:}\,x - 2 y = -4 \text{.}\)
5p
Stel een vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(A (-4 , 5)\) die de lijn \(l{:}\,x - 2 y = -4\) raakt.
○
De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,-2 x - y = c \\ A (-4 , 5)\end{rcases} c = -2 ⋅ -4 - 1 ⋅ 5 = 3\)
Dus \(n{:}\,-2 x - y = 3 \text{.}\)
1p
○
\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\)
\(\begin{cases}x - 2 y = -4 \\ -2 x - y = 3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x - 4 y = -8 \\ -2 x - y = 3\end{cases}\)
Optellen geeft \(-5 y = -5\) dus \(y = 1 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}x - 2 y = -4 \\ y = 1\end{rcases} \begin{matrix}x - 2 ⋅ 1 = -4 \\ x = -2\end{matrix}\)
Dus \(S (-2 , 1) \text{.}\)
1p
○
\(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(-4 - -2)^{2} + (5 - 1)^{2}} = \sqrt{20} \text{.}\)
1p
○
\(A (-4 , 5)\) en \(r = d(A , l) = \sqrt{20} \text{,}\) dus
\(c{:}\,(x + 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 20 \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de lijn \(l{:}\,2 x + y = -1\) en de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 6 x - 6 y - 22 = 0 \text{.}\)
4p
Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van \(l\) en \(c \text{.}\)
○
Omschrijven van \(l\) geeft \(y = -2 x - 1 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} - 6 x - 6 y - 22 = 0\) geeft
\(x^{2} + (-2 x - 1)^{2} - 6 x - 6 (-2 x - 1) - 22 = 0 \text{.}\)
1p
○
Haakjes wegwerken geeft
\(x^{2} + 4 x^{2} + 4 x + 1 - 6 x + 12 x + 6 - 22 = 0\)
\(5 x^{2} + 10 x - 15 = 0 \text{.}\)
1p
○
Oplossen van de vergelijking geeft
\(x^{2} + 2 x - 3 = 0\)
\((x - 1) (x + 3) = 0\)
Dus \(x = 1 ∨ x = -3 \text{.}\)
1p
○
Invullen van \(x = 1\) in \(y = -2 x - 1\) geeft \(y = -3 \text{,}\) dus snijpunt \((1 , -3) \text{.}\)
Invullen van \(x = -3\) geeft \(y = 5 \text{,}\) dus snijpunt \((-3 , 5) \text{.}\)
1p