De vergelijking van een cirkel

2d - 12 oefeningen

Kwadraatafsplitsen (1)
00ba - basis
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

2p

a

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+4x-6y-36=0\text{.}\)

a

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+4x-6y-36=0\)
\((x+2)^2-4+(y-3)^2-9-36=0\)
\((x+2)^2+(y-3)^2=49\text{.}\)

1p

Dus \(M(-2, 3)\) en \(r=\sqrt{49}=7\text{.}\)

1p

Kwadraatafsplitsen (2)
00bb - basis
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

2p

a

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+3x+10y+10=0\text{.}\)

a

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+3x+10y+10=0\)
\((x+1\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}+(y+5)^2-25+10=0\)
\((x+1\frac{1}{2})^2+(y+5)^2=17\frac{1}{4}\text{.}\)

1p

Dus \(M(-1\frac{1}{2}, -5)\) en \(r=\sqrt{17\frac{1}{4}}\text{.}\)

1p

Kwadraatafsplitsen (3)
00bc - basis
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

2p

a

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-6y-16=0\text{.}\)

a

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-6y-16=0\)
\(x^2+(y-3)^2-9-16=0\)
\(x^2+(y-3)^2=25\text{.}\)

1p

Dus \(M(0, 3)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\)

1p

Middellijn
00b7 - basis
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

3p

a

Gegeven zijn de punten \(A(-6, -7)\) en \(B(-2, -1)\text{.}\)
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(AB\text{.}\)

a

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(AB\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(-6+-2), {1 \over 2}(-7+-1))=M(-4, -4)\text{.}\)

1p

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-4--6)^2+(-4--7)^2}=\sqrt{13}\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x+4)^2+(y+4)^2=13\text{.}\)

1p

MiddelpuntDoorPunt
00b6 - basis
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

2p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(2, 1)\) die door het punt \(A(5, -3)\) gaat.

a

\(r=d(M, A)=\sqrt{(2-5)^2+(1--3)^2}=\sqrt{25}\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x-2)^2+(y-1)^2=25\text{.}\)

1p

MiddelpuntEnStraal (1)
00b5 - basis
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

1p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(-5, 3)\) en straal \(4\text{.}\)

a

\(c{:}\,(x+5)^2+(y-3)^2=16\text{.}\)

1p

MiddelpuntEnStraal (2)
00b9 - basis
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

1p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(-6, 0)\) en straal \(3\text{.}\)

a

\(c{:}\,(x+6)^2+y^2=9\text{.}\)

1p

MiddelpuntEnStraal (3)
00bx - basis
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

2p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(-4, 2)\) en straal \(7\text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\)

a

\((x+4)^2+(y-2)^2=49\text{.}\)

1p

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+8x+16+y^2-4y+4=49\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2+8x-4y-29=0\text{.}\)

1p

MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs
00es - basis
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

4p

a

Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=x+5\) ligt, die straal \(4\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken.
Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op.

a

De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(4\text{,}\) dus \(x_M=4\) of \(x_M=-4\text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}y=x+5 \\ x_M=4\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅4+5=9\)

1p

Middelpunt \(M_1(4, 9)\) en straal \(r=4\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x-4)^2+(y-9)^2=4\)

1p

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=x+5 \\ x_M=-4\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅-4+5=1\)
Middelpunt \(M_2(-4, 1)\) en straal \(r=4\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+4)^2+(y-1)^2=16\)

1p

MiddelpuntRaaktAanAs
00b8 - basis
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

2p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(7, 5)\) die raakt aan de \(y\text{-}\)as.

a

Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=7\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x-7)^2+(y-5)^2=49\text{.}\)

1p

PuntenMetGegevenCoordinaat
00br - basis
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.4

2p

a

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+6x+10y+9=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=0\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\)
Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\)

a

\(x=0\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(0^2+y^2+6⋅0+10y+9=0\text{.}\)

1p

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2+10y+9=0\)
\((y+9)(y+1)=0\)
\(y=-9∨y=-1\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(0, -1)\) en \(B(0, -9)\text{.}\)

1p

SnijpuntenLijnEnCirkel
00by - basis - data pool: #56 (1ms)
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.4

4p

a

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de lijn \(l{:}\,3x+y=-4\) en de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+10x-2y+6=0\text{.}\)

a

Omschrijven van \(l\) geeft \(y=-3x-4\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+10x-2y+6=0\) geeft
\(x^2+(-3x-4)^2+10x-2(-3x-4)+6=0\text{.}\)

1p

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+9x^2+24x+16+10x+6x+8+6=0\)
\(10x^2+40x+30=0\text{.}\)

1p

Oplossen van de vergelijking geeft
\(x^2+4x+3=0\)
\((x+3)(x+1)=0\)
Dus \(x=-3∨x=-1\text{.}\)

1p

Invullen van \(x=-3\) in \(y=-3x-4\) geeft \(y=5\text{,}\) dus snijpunt \((-3, 5)\text{.}\)
Invullen van \(x=-1\) geeft \(y=-1\text{,}\) dus snijpunt \((-1, -1)\text{.}\)

1p

00ba 00bb 00bc 00b7 00b6 00b5 00b9 00bx 00es 00b8 00br 00by