De vergelijking van een cirkel

\(x=6\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(6^2+y^2-10⋅6+20=0\text{.}\)

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2-4=0\)
\((y+2)(y-2)=0\)
\(y=-2∨y=2\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(6, 2)\) en \(B(6, -2)\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-4x-6y-12=0\)
\((x-2)^2-4+(y-3)^2-9-12=0\)
\((x-2)^2+(y-3)^2=25\text{.}\)

Dus \(M(2, 3)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-6x-3y-6=0\)
\((x-3)^2-9+(y-1\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}-6=0\)
\((x-3)^2+(y-1\frac{1}{2})^2=17\frac{1}{4}\text{.}\)

Dus \(M(3, 1\frac{1}{2})\) en \(r=\sqrt{17\frac{1}{4}}\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+8x-20=0\)
\((x+4)^2-16+y^2-20=0\)
\((x+4)^2+y^2=36\text{.}\)

Dus \(M(-4, 0)\) en \(r=\sqrt{36}=6\text{.}\)

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(6+7), {1 \over 2}(0+2))=M(6\frac{1}{2}, 1)\text{.}\)

\(r=d(M, A)=\sqrt{(6\frac{1}{2}-6)^2+(1-0)^2}=\sqrt{1\frac{1}{4}}\text{.}\)

\(c{:}\,(x-6\frac{1}{2})^2+(y-1)^2=1\frac{1}{4}\text{.}\)

\(r=d(M, A)=\sqrt{(4--1)^2+(2--1)^2}=\sqrt{34}\text{.}\)

\(c{:}\,(x-4)^2+(y-2)^2=34\text{.}\)

\(c{:}\,(x-7)^2+(y+6)^2=16\text{.}\)

\(c{:}\,(x+4)^2+y^2=4\text{.}\)

\(c{:}\,(x-1)^2+(y-7)^2=25\text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2-2x+1+y^2-14y+49=25\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2-2x-14y+25=0\text{.}\)

De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(2\text{,}\) dus \(x_M=2\) of \(x_M=-2\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=5x+1 \\ x_M=2\end{rcases}\text{ geeft }y_M=5⋅2+1=11\)

Middelpunt \(M_1(2, 11)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x-2)^2+(y-11)^2=4\)

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=5x+1 \\ x_M=-2\end{rcases}\text{ geeft }y_M=5⋅-2+1=-9\)
Middelpunt \(M_2(-2, -9)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+2)^2+(y+9)^2=4\)

Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=1\text{.}\)

\(c{:}\,(x-2)^2+(y+1)^2=1\text{.}\)

De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,3x+y=c \\ A(-3, -5)\end{rcases}c=3⋅-3+1⋅-5=-14\)
Dus \(n{:}\,3x+y=-14\text{.}\)

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\)
\(\begin{cases}-x+3y=-2 \\ 3x+y=-14\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-3x+9y=-6 \\ 3x+y=-14\end{cases}\)
Optellen geeft \(10y=-20\) dus \(y=-2\text{.}\)

\(\begin{rcases}-x+3y=-2 \\ y=-2\end{rcases}\begin{matrix}-x+3⋅-2=-2 \\ x=-4\end{matrix}\)
Dus \(S(-4, -2)\text{.}\)

\(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-3--4)^2+(-5--2)^2}=\sqrt{10}\text{.}\)

\(A(-3, -5)\) en \(r=d(A, l)=\sqrt{10}\text{,}\) dus
\(c{:}\,(x+3)^2+(y+5)^2=10\text{.}\)

Omschrijven van \(l\) geeft \(y=-2x+5\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+4x-8y+10=0\) geeft
\(x^2+(-2x+5)^2+4x-8(-2x+5)+10=0\text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+4x^2-20x+25+4x+16x-40+10=0\)
\(5x^2-5=0\text{.}\)

Oplossen van de vergelijking geeft
\(x^2-1=0\)
\((x+1)(x-1)=0\)
Dus \(x=-1∨x=1\text{.}\)

Invullen van \(x=-1\) in \(y=-2x+5\) geeft \(y=7\text{,}\) dus snijpunt \((-1, 7)\text{.}\)
Invullen van \(x=1\) geeft \(y=3\text{,}\) dus snijpunt \((1, 3)\text{.}\)