De vergelijking van een cirkel

\(x=3\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(3^2+y^2-2⋅3+10y+13=0\text{.}\)

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2+10y+16=0\)
\((y+8)(y+2)=0\)
\(y=-8∨y=-2\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(3, -2)\) en \(B(3, -8)\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-8x-2y+8=0\)
\((x-4)^2-16+(y-1)^2-1+8=0\)
\((x-4)^2+(y-1)^2=9\text{.}\)

Dus \(M(4, 1)\) en \(r=\sqrt{9}=3\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-3x-10y+8=0\)
\((x-1\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}+(y-5)^2-25+8=0\)
\((x-1\frac{1}{2})^2+(y-5)^2=19\frac{1}{4}\text{.}\)

Dus \(M(1\frac{1}{2}, 5)\) en \(r=\sqrt{19\frac{1}{4}}\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+4y-45=0\)
\(x^2+(y+2)^2-4-45=0\)
\(x^2+(y+2)^2=49\text{.}\)

Dus \(M(0, -2)\) en \(r=\sqrt{49}=7\text{.}\)

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(5+7), {1 \over 2}(-2+6))=M(6, 2)\text{.}\)

\(r=d(M, A)=\sqrt{(6-5)^2+(2--2)^2}=\sqrt{17}\text{.}\)

\(c{:}\,(x-6)^2+(y-2)^2=17\text{.}\)

\(r=d(M, A)=\sqrt{(4-6)^2+(1-0)^2}=\sqrt{5}\text{.}\)

\(c{:}\,(x-4)^2+(y-1)^2=5\text{.}\)

\(c{:}\,(x-5)^2+(y-4)^2=9\text{.}\)

\(c{:}\,x^2+(y+5)^2=49\text{.}\)

\(c{:}\,(x-5)^2+(y-2)^2=36\text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2-10x+25+y^2-4y+4=36\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2-10x-4y-7=0\text{.}\)

De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(5\text{,}\) dus \(x_M=5\) of \(x_M=-5\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=x+3 \\ x_M=5\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅5+3=8\)

Middelpunt \(M_1(5, 8)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x-5)^2+(y-8)^2=25\)

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=x+3 \\ x_M=-5\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅-5+3=-2\)
Middelpunt \(M_2(-5, -2)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+5)^2+(y+2)^2=25\)

Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=4\text{.}\)

\(c{:}\,(x+4)^2+(y+1)^2=16\text{.}\)

De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,x-2y=c \\ A(-4, 4)\end{rcases}c=1⋅-4-2⋅4=-12\)
Dus \(n{:}\,x-2y=-12\text{.}\)

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\)
\(\begin{cases}2x+y=1 \\ x-2y=-12\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2x+y=1 \\ 2x-4y=-24\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(5y=25\) dus \(y=5\text{.}\)

\(\begin{rcases}2x+y=1 \\ y=5\end{rcases}\begin{matrix}2x+1⋅5=1 \\ x=-2\end{matrix}\)
Dus \(S(-2, 5)\text{.}\)

\(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-4--2)^2+(4-5)^2}=\sqrt{5}\text{.}\)

\(A(-4, 4)\) en \(r=d(A, l)=\sqrt{5}\text{,}\) dus
\(c{:}\,(x+4)^2+(y-4)^2=5\text{.}\)

Omschrijven van \(l\) geeft \(x=-3y+1\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-6x-2y+5=0\) geeft
\((-3y+1)^2+y^2-6(-3y+1)-2y+5=0\text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(9y^2-6y+1+y^2+18y-6-2y+5=0\)
\(10y^2+10y=0\text{.}\)

Oplossen van de vergelijking geeft
\(y^2+y=0\)
\((y+1)y=0\)
Dus \(y=-1∨y=0\text{.}\)

Invullen van \(y=-1\) in \(x=-3y+1\) geeft \(x=4\text{,}\) dus snijpunt \((4, -1)\text{.}\)
Invullen van \(y=0\) geeft \(x=1\text{,}\) dus snijpunt \((1, 0)\text{.}\)