De vergelijking van een cirkel

2d - 12 oefeningen

Kwadraatafsplitsen (1)
00ba - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

2p

a

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-4x-10y-20=0\text{.}\)

a

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-4x-10y-20=0\)
\((x-2)^2-4+(y-5)^2-25-20=0\)
\((x-2)^2+(y-5)^2=49\text{.}\)

1p

Dus \(M(2, 5)\) en \(r=\sqrt{49}=7\text{.}\)

1p
Kwadraatafsplitsen (2)
00bb - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

2p

a

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-3x+2y-2=0\text{.}\)

a

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-3x+2y-2=0\)
\((x-1\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}+(y+1)^2-1-2=0\)
\((x-1\frac{1}{2})^2+(y+1)^2=5\frac{1}{4}\text{.}\)

1p

Dus \(M(1\frac{1}{2}, -1)\) en \(r=\sqrt{5\frac{1}{4}}\text{.}\)

1p
Kwadraatafsplitsen (3)
00bc - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

2p

a

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10y+21=0\text{.}\)

a

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-10y+21=0\)
\(x^2+(y-5)^2-25+21=0\)
\(x^2+(y-5)^2=4\text{.}\)

1p

Dus \(M(0, 5)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\)

1p
Middellijn
00b7 - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

3p

a

Gegeven zijn de punten \(A(0, -3)\) en \(B(-5, -2)\text{.}\)
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(AB\text{.}\)

a

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(AB\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(0+-5), {1 \over 2}(-3+-2))=M(-2\frac{1}{2}, -2\frac{1}{2})\text{.}\)

1p

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-2\frac{1}{2}-0)^2+(-2\frac{1}{2}--3)^2}=\sqrt{6\frac{1}{2}}\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x+2\frac{1}{2})^2+(y+2\frac{1}{2})^2=6\frac{1}{2}\text{.}\)

1p
MiddelpuntDoorPunt
00b6 - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

2p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(-4, 2)\) die door het punt \(A(-7, 7)\) gaat.

a

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-4--7)^2+(2-7)^2}=\sqrt{34}\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x+4)^2+(y-2)^2=34\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (1)
00b5 - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

1p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(2, -4)\) en straal \(7\text{.}\)

a

\(c{:}\,(x-2)^2+(y+4)^2=49\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (2)
00b9 - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

1p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(-1, 0)\) en straal \(7\text{.}\)

a

\(c{:}\,(x+1)^2+y^2=49\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (3)
00bx - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

2p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(6, 1)\) en straal \(3\text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\)

a

\((x-6)^2+(y-1)^2=9\text{.}\)

1p

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2-12x+36+y^2-2y+1=9\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2-12x-2y+28=0\text{.}\)

1p
MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs
00es - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

4p

a

Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=x+5\) ligt, die straal \(3\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken.
Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op.

a

De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(3\text{,}\) dus \(x_M=3\) of \(x_M=-3\text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}y=x+5 \\ x_M=3\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅3+5=8\)

1p

Middelpunt \(M_1(3, 8)\) en straal \(r=3\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x-3)^2+(y-8)^2=3\)

1p

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=x+5 \\ x_M=-3\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅-3+5=2\)
Middelpunt \(M_2(-3, 2)\) en straal \(r=3\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+3)^2+(y-2)^2=9\)

1p
MiddelpuntRaaktAanAs
00b8 - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

2p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(-5, 7)\) die raakt aan de \(x\text{-}\)as.

a

Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=7\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x+5)^2+(y-7)^2=49\text{.}\)

1p
PuntenMetGegevenCoordinaat
00br - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.4 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

2p

a

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+6x-8=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=1\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\)
Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\)

a

\(x=1\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(1^2+y^2+6⋅1-8=0\text{.}\)

1p

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2-1=0\)
\((y+1)(y-1)=0\)
\(y=-1∨y=1\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(1, 1)\) en \(B(1, -1)\text{.}\)

1p
SnijpuntenLijnEnCirkel
00by - basis - data pool: #56 (2ms)
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.4

4p

a

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de lijn \(l{:}\,4x-y=4\) en de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+4x-10y-5=0\text{.}\)

a

Omschrijven van \(l\) geeft \(y=4x-4\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+4x-10y-5=0\) geeft
\(x^2+(4x-4)^2+4x-10(4x-4)-5=0\text{.}\)

1p

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+16x^2-32x+16+4x-40x+40-5=0\)
\(17x^2-68x+51=0\text{.}\)

1p

Oplossen van de vergelijking geeft
\(x^2-4x+3=0\)
\((x-3)(x-1)=0\)
Dus \(x=3∨x=1\text{.}\)

1p

Invullen van \(x=3\) in \(y=4x-4\) geeft \(y=8\text{,}\) dus snijpunt \((3, 8)\text{.}\)
Invullen van \(x=1\) geeft \(y=0\text{,}\) dus snijpunt \((1, 0)\text{.}\)

1p
00ba 00bb 00bc 00b7 00b6 00b5 00b9 00bx 00es 00b8 00br 00by