De vergelijking van een cirkel

a

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+12x-6y+29=0\)
\((x+6)^2-36+(y-3)^2-9+29=0\)
\((x+6)^2+(y-3)^2=16\text{.}\)

1p

Dus \(M(-6, 3)\) en \(r=\sqrt{16}=4\text{.}\)

1p

a

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+8x+9y+32=0\)
\((x+4)^2-16+(y+4\frac{1}{2})^2-20\frac{1}{4}+32=0\)
\((x+4)^2+(y+4\frac{1}{2})^2=4\frac{1}{4}\text{.}\)

1p

Dus \(M(-4, -4\frac{1}{2})\) en \(r=\sqrt{4\frac{1}{4}}\text{.}\)

1p

a

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-14x+33=0\)
\((x-7)^2-49+y^2+33=0\)
\((x-7)^2+y^2=16\text{.}\)

1p

Dus \(M(7, 0)\) en \(r=\sqrt{16}=4\text{.}\)

1p

a

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(AB\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(2+4), {1 \over 2}(0+5))=M(3, 2\frac{1}{2})\text{.}\)

1p

\(r=d(M, A)=\sqrt{(3-2)^2+(2\frac{1}{2}-0)^2}=\sqrt{7\frac{1}{4}}\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x-3)^2+(y-2\frac{1}{2})^2=7\frac{1}{4}\text{.}\)

1p

a

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-3--4)^2+(2-5)^2}=\sqrt{10}\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x+3)^2+(y-2)^2=10\text{.}\)

1p

a

\(c{:}\,(x-1)^2+(y-7)^2=25\text{.}\)

1p

a

\(c{:}\,x^2+(y-4)^2=36\text{.}\)

1p

a

\(x^2+(y+3)^2=49\text{.}\)

1p

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+y^2+6y+9=49\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2+6y-40=0\text{.}\)

1p

a

De cirkels raken de \(x\text{-}\)as en hebben straal \(2\text{,}\) dus \(y_M=2\) of \(y_M=-2\text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}y=4x+3 \\ y_M=2\end{rcases}\text{ geeft }4x+3=2\text{ dus }x_M=-\frac{1}{4}\)

1p

Middelpunt \(M_1(-\frac{1}{4}, 2)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x+\frac{1}{4})^2+(y-2)^2=2\)

1p

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=4x+3 \\ y_M=-2\end{rcases}\text{ geeft }4x+3=-2\text{ dus }x_M=-1\frac{1}{4}\)
Middelpunt \(M_2(-1\frac{1}{4}, -2)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+1\frac{1}{4})^2+(y+2)^2=4\)

1p

a

Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=6\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x-6)^2+(y-7)^2=36\text{.}\)

1p

a

\(x=3\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(3^2+y^2-0⋅3+6y-4=0\text{.}\)

1p

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2+6y+5=0\)
\((y+5)(y+1)=0\)
\(y=-5∨y=-1\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(3, -1)\) en \(B(3, -5)\text{.}\)

1p

a

Omschrijven van \(l\) geeft \(y=4x+3\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-6x+4y-21=0\) geeft
\(x^2+(4x+3)^2-6x+4(4x+3)-21=0\text{.}\)

1p

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+16x^2+24x+9-6x+16x+12-21=0\)
\(17x^2+34x=0\text{.}\)

1p

Oplossen van de vergelijking geeft
\(x^2+2x=0\)
\((x+2)x=0\)
Dus \(x=-2∨x=0\text{.}\)

1p

Invullen van \(x=-2\) in \(y=4x+3\) geeft \(y=-5\text{,}\) dus snijpunt \((-2, -5)\text{.}\)
Invullen van \(x=0\) geeft \(y=3\text{,}\) dus snijpunt \((0, 3)\text{.}\)

1p