De vergelijking van een cirkel

\(x = 2\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(2^{2} + y^{2} + 0 ⋅ 2 + 10 y + 12 = 0 \text{.}\)

De vergelijking oplossen geeft
\(y^{2} + 10 y + 16 = 0\)
\((y + 8) (y + 2) = 0\)
\(y = -8 ∨ y = -2\)
\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (2 , -2)\) en \(B (2 , -8) \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} + 10 x - 12 y + 52 = 0\)
\((x + 5)^{2} - 25 + (y - 6)^{2} - 36 + 52 = 0\)
\((x + 5)^{2} + (y - 6)^{2} = 9 \text{.}\)

Dus \(M (-5 , 6)\) en \(r = \sqrt{9} = 3 \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 10 x - 5 y + 13 = 0\)
\((x - 5)^{2} - 25 + (y - 2\frac{1}{2})^{2} - 6\frac{1}{4} + 13 = 0\)
\((x - 5)^{2} + (y - 2\frac{1}{2})^{2} = 18\frac{1}{4} \text{.}\)

Dus \(M (5 , 2\frac{1}{2})\) en \(r = \sqrt{18\frac{1}{4}} \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 4 x - 5 = 0\)
\((x - 2)^{2} - 4 + y^{2} - 5 = 0\)
\((x - 2)^{2} + y^{2} = 9 \text{.}\)

Dus \(M (2 , 0)\) en \(r = \sqrt{9} = 3 \text{.}\)

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B \text{,}\) dus
\(M ({1 \over 2} (-5 + -2) , {1 \over 2} (0 + 4)) = M (-3\frac{1}{2} , 2) \text{.}\)

\(r = d(M , A) = \sqrt{(-3\frac{1}{2} - -5)^{2} + (2 - 0)^{2}} = \sqrt{6\frac{1}{4}} \text{.}\)

\(c{:}\,(x + 3\frac{1}{2})^{2} + (y - 2)^{2} = 6\frac{1}{4} \text{.}\)

\(r = d(M , A) = \sqrt{(1 - 0)^{2} + (-4 - -6)^{2}} = \sqrt{5} \text{.}\)

\(c{:}\,(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} = 5 \text{.}\)

\(c{:}\,(x + 5)^{2} + (y + 4)^{2} = 4 \text{.}\)

\(c{:}\,x^{2} + (y + 3)^{2} = 25 \text{.}\)

\(c{:}\,(x + 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 36 \text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(x^{2} + 6 x + 9 + y^{2} - 10 y + 25 = 36\)
en dus
\(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 6 x - 10 y - 2 = 0 \text{.}\)

De cirkels raken de \(y \text{-}\)as en hebben straal \(4 \text{,}\) dus \(x_{M} = 4\) of \(x_{M} = -4 \text{.}\)

\(\begin{rcases}y = 2 x + 3 \\ x_{M} = 4\end{rcases} \text{ geeft } y_{M} = 2 ⋅ 4 + 3 = 11\)

Middelpunt \(M_{1} (4 , 11)\) en straal \(r = 4 \text{,}\) dus
\(c_{1}{:}\,(x - 4)^{2} + (y - 11)^{2} = 16\)

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y = 2 x + 3 \\ x_{M} = -4\end{rcases} \text{ geeft } y_{M} = 2 ⋅ -4 + 3 = -5\)
Middelpunt \(M_{2} (-4 , -5)\) en straal \(r = 4 \text{,}\) dus
\(c_{2}{:}\,(x + 4)^{2} + (y + 5)^{2} = 16\)

Cirkel \(c\) raakt aan de \(y \text{-}\)as, dus \(r = d(M , y \text{-as}) = 1 \text{.}\)

\(c{:}\,(x + 1)^{2} + (y + 4)^{2} = 1 \text{.}\)

De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,-x - 3 y = c \\ A (2 , -2)\end{rcases} c = -1 ⋅ 2 - 3 ⋅ -2 = 4\)
Dus \(n{:}\,-x - 3 y = 4 \text{.}\)

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\)
\(\begin{cases}3 x - y = -2 \\ -x - 3 y = 4\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3 x - y = -2 \\ -3 x - 9 y = 12\end{cases}\)
Optellen geeft \(-10 y = 10\) dus \(y = -1 \text{.}\)

\(\begin{rcases}3 x - y = -2 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}3 x - 1 ⋅ -1 = -2 \\ x = -1\end{matrix}\)
Dus \(S (-1 , -1) \text{.}\)

\(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(2 - -1)^{2} + (-2 - -1)^{2}} = \sqrt{10} \text{.}\)

\(A (2 , -2)\) en \(r = d(A , l) = \sqrt{10} \text{,}\) dus
\(c{:}\,(x - 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 10 \text{.}\)

Omschrijven van \(l\) geeft \(y = -2 x + 2 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} + 4 x + 8 y - 20 = 0\) geeft
\(x^{2} + (-2 x + 2)^{2} + 4 x + 8 (-2 x + 2) - 20 = 0 \text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(x^{2} + 4 x^{2} - 8 x + 4 + 4 x - 16 x + 16 - 20 = 0\)
\(5 x^{2} - 20 x = 0 \text{.}\)

Oplossen van de vergelijking geeft
\(x^{2} - 4 x = 0\)
\(x (x - 4) = 0\)
Dus \(x = 0 ∨ x = 4 \text{.}\)

Invullen van \(x = 0\) in \(y = -2 x + 2\) geeft \(y = 2 \text{,}\) dus snijpunt \((0 , 2) \text{.}\)
Invullen van \(x = 4\) geeft \(y = -6 \text{,}\) dus snijpunt \((4 , -6) \text{.}\)