De vergelijking van een cirkel

2d - 12 oefeningen

Kwadraatafsplitsen (1)
00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+6x+14y+42=0\text{.}\)

2p

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+6x+14y+42=0\)
\((x+3)^2-9+(y+7)^2-49+42=0\)
\((x+3)^2+(y+7)^2=16\text{.}\)

1p

○

Dus \(M(-3, -7)\) en \(r=\sqrt{16}=4\text{.}\)

1p
Kwadraatafsplitsen (2)
00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+11x-10y+51=0\text{.}\)

2p

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+11x-10y+51=0\)
\((x+5\frac{1}{2})^2-30\frac{1}{4}+(y-5)^2-25+51=0\)
\((x+5\frac{1}{2})^2+(y-5)^2=4\frac{1}{4}\text{.}\)

1p

○

Dus \(M(-5\frac{1}{2}, 5)\) en \(r=\sqrt{4\frac{1}{4}}\text{.}\)

1p
Kwadraatafsplitsen (3)
00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+6y-27=0\text{.}\)

2p

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+6y-27=0\)
\(x^2+(y+3)^2-9-27=0\)
\(x^2+(y+3)^2=36\text{.}\)

1p

○

Dus \(M(0, -3)\) en \(r=\sqrt{36}=6\text{.}\)

1p
Middellijn
00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven zijn de punten \(A(1, 0)\) en \(B(-4, -7)\text{.}\)

3p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

○

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(1+-4), {1 \over 2}(0+-7))=M(-1\frac{1}{2}, -3\frac{1}{2})\text{.}\)

1p

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-1\frac{1}{2}-1)^2+(-3\frac{1}{2}-0)^2}=\sqrt{18\frac{1}{2}}\text{.}\)

1p

○

\(c{:}\,(x+1\frac{1}{2})^2+(y+3\frac{1}{2})^2=18\frac{1}{2}\text{.}\)

1p
MiddelpuntDoorPunt
00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven zijn de punten \(M(-1, 2)\) en \(A(-6, -1)\text{.}\)

2p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-1--6)^2+(2--1)^2}=\sqrt{34}\text{.}\)

1p

○

\(c{:}\,(x+1)^2+(y-2)^2=34\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (1)
00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(3, -1)\text{.}\)

1p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x-3)^2+(y+1)^2=4\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (2)
00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(-6, 0)\text{.}\)

1p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x+6)^2+y^2=16\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (3)
00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(-5, 0)\text{.}\)

2p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6\text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x+5)^2+y^2=36\text{.}\)

1p

○

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+10x+25+y^2=36\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2+10x-11=0\text{.}\)

1p
MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs
00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=x+3\) ligt, die straal \(5\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken.

4p

Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op.

○

De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(5\text{,}\) dus \(x_M=5\) of \(x_M=-5\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=x+3 \\ x_M=5\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅5+3=8\)

1p

○

Middelpunt \(M_1(5, 8)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x-5)^2+(y-8)^2=25\)

1p

○

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=x+3 \\ x_M=-5\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅-5+3=-2\)
Middelpunt \(M_2(-5, -2)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+5)^2+(y+2)^2=25\)

1p
MiddelpuntRaaktAanAs
00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(-3, -7)\text{.}\)

2p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(y\text{-}\)as.

○

Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=3\text{.}\)

1p

○

\(c{:}\,(x+3)^2+(y+7)^2=9\text{.}\)

1p
PuntenMetGegevenCoordinaat
00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.4 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-2x+4y-20=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=4\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\)

2p

Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\)

○

\(x=4\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(4^2+y^2-2⋅4+4y-20=0\text{.}\)

1p

○

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2+4y-12=0\)
\((y+6)(y-2)=0\)
\(y=-6∨y=2\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(4, 2)\) en \(B(4, -6)\text{.}\)

1p
SnijpuntenLijnEnCirkel
00by - De vergelijking van een cirkel - basis - 4ms - data pool: #56 (2ms)
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.4

Gegeven zijn de lijn \(l{:}\,x+2y=4\) en de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x+6y+24=0\text{.}\)

4p

Bereken exact de coördinaten van \(l\) en \(c\text{.}\)

○

Omschrijven van \(l\) geeft \(x=-2y+4\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-10x+6y+24=0\) geeft
\((-2y+4)^2+y^2-10(-2y+4)+6y+24=0\text{.}\)

1p

○

Haakjes wegwerken geeft
\(4y^2-16y+16+y^2+20y-40+6y+24=0\)
\(5y^2+10y=0\text{.}\)

1p

○

Oplossen van de vergelijking geeft
\(y^2+2y=0\)
\(y(y+2)=0\)
Dus \(y=0∨y=-2\text{.}\)

1p

○

Invullen van \(y=0\) in \(x=-2y+4\) geeft \(x=4\text{,}\) dus snijpunt \((4, 0)\text{.}\)
Invullen van \(y=-2\) geeft \(x=8\text{,}\) dus snijpunt \((8, -2)\text{.}\)

1p
00ba 00bb 00bc 00b7 00b6 00b5 00b9 00bx 00es 00b8 00br 00by