De vergelijking van een cirkel

2d - 12 oefeningen

Kwadraatafsplitsen (1)
00ba - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

2p

a

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-4x+2y-31=0\text{.}\)

a

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-4x+2y-31=0\)
\((x-2)^2-4+(y+1)^2-1-31=0\)
\((x-2)^2+(y+1)^2=36\text{.}\)

1p

Dus \(M(2, -1)\) en \(r=\sqrt{36}=6\text{.}\)

1p
Kwadraatafsplitsen (2)
00bb - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

2p

a

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+3x-12y+20=0\text{.}\)

a

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+3x-12y+20=0\)
\((x+1\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}+(y-6)^2-36+20=0\)
\((x+1\frac{1}{2})^2+(y-6)^2=18\frac{1}{4}\text{.}\)

1p

Dus \(M(-1\frac{1}{2}, 6)\) en \(r=\sqrt{18\frac{1}{4}}\text{.}\)

1p
Kwadraatafsplitsen (3)
00bc - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

2p

a

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+2x-8=0\text{.}\)

a

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+2x-8=0\)
\((x+1)^2-1+y^2-8=0\)
\((x+1)^2+y^2=9\text{.}\)

1p

Dus \(M(-1, 0)\) en \(r=\sqrt{9}=3\text{.}\)

1p
Middellijn
00b7 - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

3p

a

Gegeven zijn de punten \(A(0, -6)\) en \(B(-2, 5)\text{.}\)
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(AB\text{.}\)

a

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(AB\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(0+-2), {1 \over 2}(-6+5))=M(-1, -\frac{1}{2})\text{.}\)

1p

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-1-0)^2+(-\frac{1}{2}--6)^2}=\sqrt{31\frac{1}{4}}\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x+1)^2+(y+\frac{1}{2})^2=31\frac{1}{4}\text{.}\)

1p
MiddelpuntDoorPunt
00b6 - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

2p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(4, -1)\) die door het punt \(A(2, -4)\) gaat.

a

\(r=d(M, A)=\sqrt{(4-2)^2+(-1--4)^2}=\sqrt{13}\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x-4)^2+(y+1)^2=13\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (1)
00b5 - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

1p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(-6, -4)\) en straal \(7\text{.}\)

a

\(c{:}\,(x+6)^2+(y+4)^2=49\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (2)
00b9 - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

1p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(0, -3)\) en straal \(7\text{.}\)

a

\(c{:}\,x^2+(y+3)^2=49\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (3)
00bx - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

2p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(7, 6)\) en straal \(4\text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\)

a

\((x-7)^2+(y-6)^2=16\text{.}\)

1p

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2-14x+49+y^2-12y+36=16\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2-14x-12y+69=0\text{.}\)

1p
MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs
00es - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

4p

a

Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=x+2\) ligt, die straal \(5\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken.
Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op.

a

De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(5\text{,}\) dus \(x_M=5\) of \(x_M=-5\text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}y=x+2 \\ x_M=5\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅5+2=7\)

1p

Middelpunt \(M_1(5, 7)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x-5)^2+(y-7)^2=5\)

1p

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=x+2 \\ x_M=-5\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅-5+2=-3\)
Middelpunt \(M_2(-5, -3)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+5)^2+(y+3)^2=25\)

1p
MiddelpuntRaaktAanAs
00b8 - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3

2p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(-2, 3)\) die raakt aan de \(y\text{-}\)as.

a

Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=2\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x+2)^2+(y-3)^2=4\text{.}\)

1p
PuntenMetGegevenCoordinaat
00br - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.4

2p

a

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+4x-2y=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=-1\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\)
Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\)

a

\(x=-1\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\((-1)^2+y^2+4⋅-1-2y-0=0\text{.}\)

1p

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2-2y-3=0\)
\((y+1)(y-3)=0\)
\(y=-1∨y=3\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(-1, 3)\) en \(B(-1, -1)\text{.}\)

1p
SnijpuntenLijnEnCirkel
00by - basis - data pool: #56 (1ms)
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.4

4p

a

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de lijn \(l{:}\,3x+y=-2\) en de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x-2y-28=0\text{.}\)

a

Omschrijven van \(l\) geeft \(y=-3x-2\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-8x-2y-28=0\) geeft
\(x^2+(-3x-2)^2-8x-2(-3x-2)-28=0\text{.}\)

1p

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+9x^2+12x+4-8x+6x+4-28=0\)
\(10x^2+10x-20=0\text{.}\)

1p

Oplossen van de vergelijking geeft
\(x^2+x-2=0\)
\((x-1)(x+2)=0\)
Dus \(x=1∨x=-2\text{.}\)

1p

Invullen van \(x=1\) in \(y=-3x-2\) geeft \(y=-5\text{,}\) dus snijpunt \((1, -5)\text{.}\)
Invullen van \(x=-2\) geeft \(y=4\text{,}\) dus snijpunt \((-2, 4)\text{.}\)

1p
00ba 00bb 00bc 00b7 00b6 00b5 00b9 00bx 00es 00b8 00br 00by