De vergelijking van een cirkel

2d - 13 oefeningen

GegevenRaakpunt (2)
00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.4 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.4

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+8x+3=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=-1\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\)

2p

Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\)

\(x=-1\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\((-1)^2+y^2+8⋅-1+3=0\text{.}\)

1p

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2-4=0\)
\((y+2)(y-2)=0\)
\(y=-2∨y=2\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(-1, 2)\) en \(B(-1, -2)\text{.}\)

1p

Kwadraatafsplitsen (1)
00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+14x-6y+22=0\text{.}\)

2p

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+14x-6y+22=0\)
\((x+7)^2-49+(y-3)^2-9+22=0\)
\((x+7)^2+(y-3)^2=36\text{.}\)

1p

Dus \(M(-7, 3)\) en \(r=\sqrt{36}=6\text{.}\)

1p

Kwadraatafsplitsen (2)
00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+5x-4y+3=0\text{.}\)

2p

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+5x-4y+3=0\)
\((x+2\frac{1}{2})^2-6\frac{1}{4}+(y-2)^2-4+3=0\)
\((x+2\frac{1}{2})^2+(y-2)^2=7\frac{1}{4}\text{.}\)

1p

Dus \(M(-2\frac{1}{2}, 2)\) en \(r=\sqrt{7\frac{1}{4}}\text{.}\)

1p

Kwadraatafsplitsen (3)
00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-2y-3=0\text{.}\)

2p

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-2y-3=0\)
\(x^2+(y-1)^2-1-3=0\)
\(x^2+(y-1)^2=4\text{.}\)

1p

Dus \(M(0, 1)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\)

1p

Middellijn
00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven zijn de punten \(A(-3, 1)\) en \(B(-7, 0)\text{.}\)

3p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(-3+-7), {1 \over 2}(1+0))=M(-5, \frac{1}{2})\text{.}\)

1p

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-5--3)^2+(\frac{1}{2}-1)^2}=\sqrt{4\frac{1}{4}}\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x+5)^2+(y-\frac{1}{2})^2=4\frac{1}{4}\text{.}\)

1p

MiddelpuntDoorPunt
00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven zijn de punten \(M(3, 4)\) en \(A(6, 6)\text{.}\)

2p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.

\(r=d(M, A)=\sqrt{(3-6)^2+(4-6)^2}=\sqrt{13}\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x-3)^2+(y-4)^2=13\text{.}\)

1p

MiddelpuntEnStraal (1)
00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(-4, -3)\text{.}\)

1p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2\text{.}\)

\(c{:}\,(x+4)^2+(y+3)^2=4\text{.}\)

1p

MiddelpuntEnStraal (2)
00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(1, 0)\text{.}\)

1p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\)

\(c{:}\,(x-1)^2+y^2=16\text{.}\)

1p

MiddelpuntEnStraal (3)
00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(-2, -5)\text{.}\)

2p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\)

\(c{:}\,(x+2)^2+(y+5)^2=16\text{.}\)

1p

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+4x+4+y^2+10y+25=16\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2+4x+10y+13=0\text{.}\)

1p

MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs
00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=3x+1\) ligt, die straal \(5\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken.

4p

Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op.

De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(5\text{,}\) dus \(x_M=5\) of \(x_M=-5\text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}y=3x+1 \\ x_M=5\end{rcases}\text{ geeft }y_M=3⋅5+1=16\)

1p

Middelpunt \(M_1(5, 16)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x-5)^2+(y-16)^2=25\)

1p

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=3x+1 \\ x_M=-5\end{rcases}\text{ geeft }y_M=3⋅-5+1=-14\)
Middelpunt \(M_2(-5, -14)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+5)^2+(y+14)^2=25\)

1p

MiddelpuntRaaktAanAs
00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(-5, 7)\text{.}\)

2p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(y\text{-}\)as.

Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=5\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x+5)^2+(y-7)^2=25\text{.}\)

1p

OpstellenCirkelMetRaaklijn
00bw - De vergelijking van een cirkel - basis - 127ms - data pool: #1576 (127ms)
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven zijn het punt \(A(-3, 5)\) en de lijn \(l{:}\,x-2y=-3\text{.}\)

5p

Stel een vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(A(-3, 5)\) die de lijn \(l{:}\,x-2y=-3\) raakt.

De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,-2x-y=c \\ A(-3, 5)\end{rcases}c=-2⋅-3-1⋅5=1\)
Dus \(n{:}\,-2x-y=1\text{.}\)

1p

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\)
\(\begin{cases}x-2y=-3 \\ -2x-y=1\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2x-4y=-6 \\ -2x-y=1\end{cases}\)
Optellen geeft \(-5y=-5\) dus \(y=1\text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}x-2y=-3 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}x-2⋅1=-3 \\ x=-1\end{matrix}\)
Dus \(S(-1, 1)\text{.}\)

1p

\(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-3--1)^2+(5-1)^2}=\sqrt{20}\text{.}\)

1p

\(A(-3, 5)\) en \(r=d(A, l)=\sqrt{20}\text{,}\) dus
\(c{:}\,(x+3)^2+(y-5)^2=20\text{.}\)

1p

SnijpuntenLijnEnCirkel
00by - De vergelijking van een cirkel - basis - 4ms - data pool: #56 (2ms)
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.4

Gegeven zijn de lijn \(l{:}\,4x+y=2\) en de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+10x-10y+16=0\text{.}\)

4p

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van \(l\) en \(c\text{.}\)

Omschrijven van \(l\) geeft \(y=-4x+2\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+10x-10y+16=0\) geeft
\(x^2+(-4x+2)^2+10x-10(-4x+2)+16=0\text{.}\)

1p

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+16x^2-16x+4+10x+40x-20+16=0\)
\(17x^2+34x=0\text{.}\)

1p

Oplossen van de vergelijking geeft
\(x^2+2x=0\)
\((x+2)x=0\)
Dus \(x=-2∨x=0\text{.}\)

1p

Invullen van \(x=-2\) in \(y=-4x+2\) geeft \(y=10\text{,}\) dus snijpunt \((-2, 10)\text{.}\)
Invullen van \(x=0\) geeft \(y=2\text{,}\) dus snijpunt \((0, 2)\text{.}\)

1p

00br 00ba 00bb 00bc 00b7 00b6 00b5 00b9 00bx 00es 00b8 00bw 00by