De vergelijking van een cirkel

\(x=-1\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\((-1)^2+y^2+8⋅-1+3=0\text{.}\)

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2-4=0\)
\((y+2)(y-2)=0\)
\(y=-2∨y=2\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(-1, 2)\) en \(B(-1, -2)\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+14x-6y+22=0\)
\((x+7)^2-49+(y-3)^2-9+22=0\)
\((x+7)^2+(y-3)^2=36\text{.}\)

Dus \(M(-7, 3)\) en \(r=\sqrt{36}=6\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+5x-4y+3=0\)
\((x+2\frac{1}{2})^2-6\frac{1}{4}+(y-2)^2-4+3=0\)
\((x+2\frac{1}{2})^2+(y-2)^2=7\frac{1}{4}\text{.}\)

Dus \(M(-2\frac{1}{2}, 2)\) en \(r=\sqrt{7\frac{1}{4}}\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-2y-3=0\)
\(x^2+(y-1)^2-1-3=0\)
\(x^2+(y-1)^2=4\text{.}\)

Dus \(M(0, 1)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\)

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(-3+-7), {1 \over 2}(1+0))=M(-5, \frac{1}{2})\text{.}\)

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-5--3)^2+(\frac{1}{2}-1)^2}=\sqrt{4\frac{1}{4}}\text{.}\)

\(c{:}\,(x+5)^2+(y-\frac{1}{2})^2=4\frac{1}{4}\text{.}\)

\(r=d(M, A)=\sqrt{(3-6)^2+(4-6)^2}=\sqrt{13}\text{.}\)

\(c{:}\,(x-3)^2+(y-4)^2=13\text{.}\)

\(c{:}\,(x+4)^2+(y+3)^2=4\text{.}\)

\(c{:}\,(x-1)^2+y^2=16\text{.}\)

\(c{:}\,(x+2)^2+(y+5)^2=16\text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+4x+4+y^2+10y+25=16\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2+4x+10y+13=0\text{.}\)

De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(5\text{,}\) dus \(x_M=5\) of \(x_M=-5\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=3x+1 \\ x_M=5\end{rcases}\text{ geeft }y_M=3⋅5+1=16\)

Middelpunt \(M_1(5, 16)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x-5)^2+(y-16)^2=25\)

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=3x+1 \\ x_M=-5\end{rcases}\text{ geeft }y_M=3⋅-5+1=-14\)
Middelpunt \(M_2(-5, -14)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+5)^2+(y+14)^2=25\)

Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=5\text{.}\)

\(c{:}\,(x+5)^2+(y-7)^2=25\text{.}\)

De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,-2x-y=c \\ A(-3, 5)\end{rcases}c=-2⋅-3-1⋅5=1\)
Dus \(n{:}\,-2x-y=1\text{.}\)

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\)
\(\begin{cases}x-2y=-3 \\ -2x-y=1\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2x-4y=-6 \\ -2x-y=1\end{cases}\)
Optellen geeft \(-5y=-5\) dus \(y=1\text{.}\)

\(\begin{rcases}x-2y=-3 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}x-2⋅1=-3 \\ x=-1\end{matrix}\)
Dus \(S(-1, 1)\text{.}\)

\(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-3--1)^2+(5-1)^2}=\sqrt{20}\text{.}\)

\(A(-3, 5)\) en \(r=d(A, l)=\sqrt{20}\text{,}\) dus
\(c{:}\,(x+3)^2+(y-5)^2=20\text{.}\)

Omschrijven van \(l\) geeft \(y=-4x+2\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+10x-10y+16=0\) geeft
\(x^2+(-4x+2)^2+10x-10(-4x+2)+16=0\text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+16x^2-16x+4+10x+40x-20+16=0\)
\(17x^2+34x=0\text{.}\)

Oplossen van de vergelijking geeft
\(x^2+2x=0\)
\((x+2)x=0\)
Dus \(x=-2∨x=0\text{.}\)

Invullen van \(x=-2\) in \(y=-4x+2\) geeft \(y=10\text{,}\) dus snijpunt \((-2, 10)\text{.}\)
Invullen van \(x=0\) geeft \(y=2\text{,}\) dus snijpunt \((0, 2)\text{.}\)