De vergelijking van een cirkel

\(x = 1\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(1^{2} + y^{2} + 4 ⋅ 1 + 8 y + 10 = 0 \text{.}\)

De vergelijking oplossen geeft
\(y^{2} + 8 y + 15 = 0\)
\((y + 5) (y + 3) = 0\)
\(y = -5 ∨ y = -3\)
\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (1 , -3)\) en \(B (1 , -5) \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} + 10 x - 2 y + 22 = 0\)
\((x + 5)^{2} - 25 + (y - 1)^{2} - 1 + 22 = 0\)
\((x + 5)^{2} + (y - 1)^{2} = 4 \text{.}\)

Dus \(M (-5 , 1)\) en \(r = \sqrt{4} = 2 \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} + 12 x - 9 y + 43 = 0\)
\((x + 6)^{2} - 36 + (y - 4\frac{1}{2})^{2} - 20\frac{1}{4} + 43 = 0\)
\((x + 6)^{2} + (y - 4\frac{1}{2})^{2} = 13\frac{1}{4} \text{.}\)

Dus \(M (-6 , 4\frac{1}{2})\) en \(r = \sqrt{13\frac{1}{4}} \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 10 y + 21 = 0\)
\(x^{2} + (y - 5)^{2} - 25 + 21 = 0\)
\(x^{2} + (y - 5)^{2} = 4 \text{.}\)

Dus \(M (0 , 5)\) en \(r = \sqrt{4} = 2 \text{.}\)

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B \text{,}\) dus
\(M ({1 \over 2} (6 + -3) , {1 \over 2} (0 + -1)) = M (1\frac{1}{2} , -\frac{1}{2}) \text{.}\)

\(r = d(M , A) = \sqrt{(1\frac{1}{2} - 6)^{2} + (-\frac{1}{2} - 0)^{2}} = \sqrt{20\frac{1}{2}} \text{.}\)

\(c{:}\,(x - 1\frac{1}{2})^{2} + (y + \frac{1}{2})^{2} = 20\frac{1}{2} \text{.}\)

\(r = d(M , A) = \sqrt{(-2 - -7)^{2} + (3 - 2)^{2}} = \sqrt{26} \text{.}\)

\(c{:}\,(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 26 \text{.}\)

\(c{:}\,(x - 3)^{2} + (y + 6)^{2} = 25 \text{.}\)

\(c{:}\,x^{2} + (y - 3)^{2} = 49 \text{.}\)

\(c{:}\,(x - 1)^{2} + (y - 6)^{2} = 49 \text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} - 12 y + 36 = 49\)
en dus
\(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 2 x - 12 y - 12 = 0 \text{.}\)

De cirkels raken de \(y \text{-}\)as en hebben straal \(4 \text{,}\) dus \(x_{M} = 4\) of \(x_{M} = -4 \text{.}\)

\(\begin{rcases}y = 2 x + 1 \\ x_{M} = 4\end{rcases} \text{ geeft } y_{M} = 2 ⋅ 4 + 1 = 9\)

Middelpunt \(M_{1} (4 , 9)\) en straal \(r = 4 \text{,}\) dus
\(c_{1}{:}\,(x - 4)^{2} + (y - 9)^{2} = 16\)

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y = 2 x + 1 \\ x_{M} = -4\end{rcases} \text{ geeft } y_{M} = 2 ⋅ -4 + 1 = -7\)
Middelpunt \(M_{2} (-4 , -7)\) en straal \(r = 4 \text{,}\) dus
\(c_{2}{:}\,(x + 4)^{2} + (y + 7)^{2} = 16\)

Cirkel \(c\) raakt aan de \(x \text{-}\)as, dus \(r = d(M , x \text{-as}) = 2 \text{.}\)

\(c{:}\,(x - 7)^{2} + (y + 2)^{2} = 4 \text{.}\)

De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,-x - 2 y = c \\ A (5 , 4)\end{rcases} c = -1 ⋅ 5 - 2 ⋅ 4 = -13\)
Dus \(n{:}\,-x - 2 y = -13 \text{.}\)

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\)
\(\begin{cases}2 x - y = -4 \\ -x - 2 y = -13\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x - y = -4 \\ -2 x - 4 y = -26\end{cases}\)
Optellen geeft \(-5 y = -30\) dus \(y = 6 \text{.}\)

\(\begin{rcases}2 x - y = -4 \\ y = 6\end{rcases} \begin{matrix}2 x - 1 ⋅ 6 = -4 \\ x = 1\end{matrix}\)
Dus \(S (1 , 6) \text{.}\)

\(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(5 - 1)^{2} + (4 - 6)^{2}} = \sqrt{20} \text{.}\)

\(A (5 , 4)\) en \(r = d(A , l) = \sqrt{20} \text{,}\) dus
\(c{:}\,(x - 5)^{2} + (y - 4)^{2} = 20 \text{.}\)

Omschrijven van \(l\) geeft \(y = 4 x + 5 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} - 8 x - 8 y - 2 = 0\) geeft
\(x^{2} + (4 x + 5)^{2} - 8 x - 8 (4 x + 5) - 2 = 0 \text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(x^{2} + 16 x^{2} + 40 x + 25 - 8 x - 32 x - 40 - 2 = 0\)
\(17 x^{2} - 17 = 0 \text{.}\)

Oplossen van de vergelijking geeft
\(x^{2} - 1 = 0\)
\((x + 1) (x - 1) = 0\)
Dus \(x = -1 ∨ x = 1 \text{.}\)

Invullen van \(x = -1\) in \(y = 4 x + 5\) geeft \(y = 1 \text{,}\) dus snijpunt \((-1 , 1) \text{.}\)
Invullen van \(x = 1\) geeft \(y = 9 \text{,}\) dus snijpunt \((1 , 9) \text{.}\)