Extreme waarden bepalen
Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{2}{5} x^{5} - 3 x^{3} + 10 x \text{.}\)
4p
Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\)
○
\(f'(x) = 2 x^{4} - 9 x^{2} + 10\)
1p
○
\(f'(\sqrt{2}) = 2 (\sqrt{2})^{4} - 9 (\sqrt{2})^{2} + 10 = 0\)
1p
○
Schets:
1p
○
\(f'(\sqrt{2}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = -x^{3} - 9 x^{2} - 24 x - 12 \text{.}\)
4p
Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)
○
\(f'(x) = -3 x^{2} - 18 x - 24\)
1p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\(-3 x^{2} - 18 x - 24 = 0\)
\(x^{2} + 6 x + 8 = 0\)
\((x + 4) (x + 2) = 0\)
\(x = -4 ∨ x = -2\)
1p
○
Schets:
1p
○
min. is \(f(-4) = 4\) en max. is \(f(-2) = 8 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = 3 x^{4} - 6 x^{2} - 19 \text{.}\)
4p
Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)
○
\(f'(x) = 12 x^{3} - 12 x\)
1p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\(12 x^{3} - 12 x = 0\)
\(x^{3} - x = 0\)
\(x (x + 1) (x - 1) = 0\)
\(x = 0 ∨ x = -1 ∨ x = 1\)
1p
○
Schets:
1p
○
min. is \(f(-1) = -22 \text{,}\) max. is \(f(0) = -19\) en min. is \(f(1) = -22 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{2} x - \sqrt{3 x + 5} \text{.}\)
6p
a
Bereken exact de top van \(f \text{.}\)
2p
b
Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\)
a
\(f(x) = \frac{1}{2} x - \sqrt{3 x + 5} = \frac{1}{2} x - (3 x + 5)^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} ⋅ (3 x + 5)^{-\frac{1}{2}} ⋅ 3 = \frac{1}{2} - {3 \over 2 \sqrt{3 x + 5}} \text{.}\)
2p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{1}{2} - {3 \over 2 \sqrt{3 x + 5}} = 0\)
\(-{3 \over 2 \sqrt{3 x + 5}} = -\frac{1}{2}\)
Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(2 \sqrt{3 x + 5} = 6\)
\(\sqrt{3 x + 5} = 3\)
1p
○
Kwadrateren geeft
\(3 x + 5 = 9\)
\(x = 1\frac{1}{3}\)
1p
○
Schets:
1p
○
min. is \(f(1\frac{1}{3}) = -2\frac{1}{3} \text{.}\)
1p
b
\(3 x + 5 ≥ 0\) geeft \(x ≥ -1\frac{2}{3} \text{,}\) dus \(D_{f} = [-1\frac{2}{3} , \rightarrow ⟩ \text{.}\)
1p
○
min. is \(f(1\frac{1}{3}) = -2\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(B_{f} = [-2\frac{1}{3} , \rightarrow ⟩ \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = {5 x^{2} + 7 x + 45 \over 2 x} \text{.}\)
5p
Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\)
○
Uitdelen geeft
\(f(x) = {5 x^{2} + 7 x + 45 \over 2 x} = {5 x^{2} \over 2 x} + {7 x \over 2 x} + {45 \over 2 x} = \frac{5}{2} x + \frac{7}{2} + \frac{45}{2} x^{-1}\)
De afgeleide is dan
\(f'(x) = \frac{5}{2} + \frac{45}{2} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{5}{2} - {45 \over 2 x^{2}} \text{.}\)
2p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{5}{2} - {45 \over 2 x^{2}} = 0\)
\(\frac{5}{2} = {45 \over 2 x^{2}}\)
Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(10 x^{2} = 90\)
\(x^{2} = 9\)
\(x = \sqrt{9} = 3 ∨ x = -\sqrt{9} = -3\)
1p
○
Schets:
1p
○
min. is \(f(-3) = -11\frac{1}{2}\) en max. is \(f(3) = 18\frac{1}{2} \text{.}\)
1p