Formule bij exponentiële groei opstellen

\(y=b⋅g^x\) met \(g_{\text{kwartier}}=1-{2{,}3 \over 100}=0{,}977\text{.}\)

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=247\text{.}\)

\(y=247⋅0{,}977^x\text{.}\)

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({493 \over 544})^{{1 \over 6-3}}=0{,}967...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅0{,}967...^x \\ x=3\text{ en }y=544\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}967...^3=544 \\ b={544 \over 0{,}967...^3}≈600\end{matrix}\)

\(y=600⋅0{,}968^x\text{.}\)

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({500 \over 416})^{{1 \over 6-2}}=1{,}047...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}047...^x \\ x=2\text{ en }y=416\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}047...^2=416 \\ b={416 \over 1{,}047...^2}≈379\end{matrix}\)

\(y=379⋅1{,}047^x\text{.}\)

Rasterpunten \((2, 400)\) en \((7, 60\,000)\) aflezen.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({60\,000 \over 400})^{{1 \over 7-2}}=2{,}724...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅2{,}724...^x \\ x=2\text{ en }y=400{,}00\end{rcases}\begin{matrix}b⋅2{,}724...^2=400{,}00 \\ b={400{,}00 \over 2{,}724...^2} \\ b=53{,}904...\end{matrix}\)

\(y=54⋅2{,}724^x\text{.}\)

\({25{,}63 \over 36{,}10}≈0{,}71\)

\({18{,}20 \over 25{,}63}≈0{,}71\)
\({12{,}92 \over 18{,}20}≈0{,}71\)

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}71\)

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=36{,}10\text{.}\)

Dus \(y=36{,}10⋅0{,}71^x\text{.}\)

\(g=({1\,150{,}88 \over 1\,514{,}31})^{{1 \over 2\,011-2\,010}}≈0{,}76\)

\(g=({291{,}81 \over 1\,150{,}88})^{{1 \over 2\,016-2\,011}}≈0{,}76\)
\(g=({97{,}35 \over 291{,}81})^{{1 \over 2\,020-2\,016}}≈0{,}76\)
\(g=({18{,}76 \over 97{,}35})^{{1 \over 2\,026-2\,020}}≈0{,}76\)

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}76\)

\(\begin{rcases}y=b⋅0{,}76^x \\ x=3\text{ en }y=1\,514{,}31\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}76^3=1\,514{,}31 \\ b={1\,514{,}31 \over 0{,}76^3} \\ b≈3\,449{,}64\end{matrix}\)

Dus \(y=3\,449{,}64⋅0{,}76^x\text{.}\)

\(y=ax+b\) met \(a={\Delta y \over \Delta x}={8-10 \over 10-5}=-0{,}4\)

\(\begin{rcases}y=-0{,}4x+b \\ \text{door }(5, 10)\end{rcases}\begin{matrix}-0{,}4⋅5+b=10 \\ -2+b=10 \\ b=12\end{matrix}\)

Dus \(l{:}\,y=-0{,}4x+12\)

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({8 \over 10})^{{1 \over 10-5}}=0{,}956...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅0{,}956...^x \\ \text{door }(5, 10)\end{rcases}\begin{matrix}10=b⋅0{,}956...^5 \\ b={10 \over 0{,}956...^5} \\ b=12{,}5\end{matrix}\)

Dus \(y=12{,}5⋅0{,}956^x\text{.}\)

\(17{,}00-18{,}91=-1{,}91\)

\(15{,}09-17{,}00=-1{,}91\)
\(13{,}18-15{,}09=-1{,}91\)
\(11{,}27-13{,}18=-1{,}91\)

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y=ax+b\) met \(a=-1{,}91\)

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=18{,}91\text{.}\)

Dus \(y=-1{,}91x+18{,}91\)

\({\Delta y \over \Delta x}={36{,}77-40{,}43 \over 6-4}=-1{,}83\)

\({\Delta y \over \Delta x}={31{,}28-36{,}77 \over 9-6}=-1{,}83\)
\({\Delta y \over \Delta x}={20{,}30-31{,}28 \over 15-9}=-1{,}83\)
\({\Delta y \over \Delta x}={11{,}15-20{,}30 \over 20-15}=-1{,}83\)

De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y=ax+b\) met \(a=-1{,}83\)

\(\begin{rcases}y=-1{,}83x+b \\ x=4\text{ en }y=40{,}43\end{rcases}\begin{matrix}-1{,}83⋅4+b=40{,}43 \\ -7{,}32+b=40{,}43 \\ b=47{,}75\end{matrix}\)

Dus \(y=-1{,}83x+47{,}75\)

Punt \(\text{A}(1, 400\,000)\text{.}\)

Punt \(\text{B}(5, 2\,000\,000)\text{.}\)

Punt \(\text{C}(7, 70\,000)\text{.}\)

Rasterpunten \((10, 2)\) en \((70, 3)\) aflezen.

\(\log(y)=ax+b\) met \(a={\Delta \log(y) \over \Delta x}={3-2 \over 70-10}=\frac{1}{60}\)

\(\begin{rcases}\log(y)=\frac{1}{60}x+b \\ \text{door }(10, 2)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{1}{60}⋅10+b=2 \\ \frac{10}{60}+b=2 \\ b=1\frac{5}{6}\end{matrix}\)

\(\log(y)=\frac{1}{60}x+1\frac{5}{6}\)
\(y=10^{\frac{1}{60}x+1\frac{5}{6}}\)

\(y=10^{\frac{1}{60}x}⋅10^{1\frac{5}{6}}\)
\(\text{ }=10^{1\frac{5}{6}}⋅(10^{\frac{1}{60}})^x\)
\(\text{ }=68⋅1{,}039^x\)

Rasterpunten \((1, 4)\) en \((4, 6)\) aflezen.

\(\log(y)=a⋅\log(x)+b\) met \(a={\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)}={6-4 \over 4-1}=\frac{2}{3}\)

\(\begin{rcases}\log(y)=\frac{2}{3}⋅\log(x)+b \\ \text{door }(1, 4)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{2}{3}⋅1+b=4 \\ \frac{2}{3}+b=4 \\ b=3\frac{1}{3}\end{matrix}\)

\(\log(y)=\frac{2}{3}⋅\log(x)+3\frac{1}{3}\)
\(\log(y)=\log(x^{\frac{2}{3}})+\log(10^{3\frac{1}{3}})\)
\(\log(y)=\log(10^{3\frac{1}{3}}⋅x^{\frac{2}{3}})\)

\(y=10^{3\frac{1}{3}}⋅x^{\frac{2}{3}}\)
\(y=2\,154⋅x^{0{,}67}\)

De grafiek hoort bij een exponentieel verband.

Hierbij hoort de formule \(y=b⋅g^x\text{.}\)