Formule bij exponentiële groei opstellen

\(y=b⋅g^x\) met \(g_{\text{week}}=1-{3{,}5 \over 100}=0{,}965\text{.}\)

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=443\text{.}\)

\(y=443⋅0{,}965^x\text{.}\)

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({353 \over 390})^{{1 \over 5-3}}=0{,}951...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅0{,}951...^x \\ x=3\text{ en }y=390\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}951...^3=390 \\ b={390 \over 0{,}951...^3}≈453\end{matrix}\)

\(y=453⋅0{,}951^x\text{.}\)

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({456 \over 415})^{{1 \over 5-2}}=1{,}031...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}031...^x \\ x=2\text{ en }y=415\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}031...^2=415 \\ b={415 \over 1{,}031...^2}≈390\end{matrix}\)

\(y=390⋅1{,}032^x\text{.}\)

Rasterpunten \((1, 200)\) en \((8, 3\,000)\) aflezen.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({3\,000 \over 200})^{{1 \over 8-1}}=1{,}472...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}472...^x \\ x=1\text{ en }y=200{,}00\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}472...^1=200{,}00 \\ b={200{,}00 \over 1{,}472...^1} \\ b=135{,}836...\end{matrix}\)

\(y=136⋅1{,}472^x\text{.}\)

\({17{,}75 \over 22{,}47}≈0{,}79\)

\({14{,}02 \over 17{,}75}≈0{,}79\)
\({11{,}08 \over 14{,}02}≈0{,}79\)

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}79\)

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=22{,}47\text{.}\)

Dus \(y=22{,}47⋅0{,}79^x\text{.}\)

\(g=({106{,}16 \over 67{,}94})^{{1 \over 2\,016-2\,014}}≈1{,}25\)

\(g=({207{,}34 \over 106{,}16})^{{1 \over 2\,019-2\,016}}≈1{,}25\)
\(g=({632{,}74 \over 207{,}34})^{{1 \over 2\,024-2\,019}}≈1{,}25\)
\(g=({790{,}92 \over 632{,}74})^{{1 \over 2\,025-2\,024}}≈1{,}25\)

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}25\)

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}25^x \\ x=6\text{ en }y=67{,}94\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}25^6=67{,}94 \\ b={67{,}94 \over 1{,}25^6} \\ b≈17{,}81\end{matrix}\)

Dus \(y=17{,}81⋅1{,}25^x\text{.}\)

\(y=ax+b\) met \(a={\Delta y \over \Delta x}={4-1 \over 9-3}=0{,}5\)

\(\begin{rcases}y=0{,}5x+b \\ \text{door }(3, 1)\end{rcases}\begin{matrix}0{,}5⋅3+b=1 \\ 1{,}5+b=1 \\ b=-0{,}5\end{matrix}\)

Dus \(l{:}\,y=0{,}5x-0{,}5\)

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({4 \over 1})^{{1 \over 9-3}}=1{,}259...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}259...^x \\ \text{door }(3, 1)\end{rcases}\begin{matrix}1=b⋅1{,}259...^3 \\ b={1 \over 1{,}259...^3} \\ b=0{,}5\end{matrix}\)

Dus \(y=0{,}5⋅1{,}260^x\text{.}\)

\(22{,}05-23{,}20=-1{,}15\)

\(20{,}90-22{,}05=-1{,}15\)
\(19{,}75-20{,}90=-1{,}15\)

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y=ax+b\) met \(a=-1{,}15\)

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=23{,}2\text{.}\)

Dus \(y=-1{,}15x+23{,}2\)

\(g=({40{,}35 \over 33{,}07})^{{1 \over 2\,017-2\,016}}≈1{,}22\)

\(g=({133{,}05 \over 40{,}35})^{{1 \over 2\,023-2\,017}}≈1{,}22\)
\(g=({198{,}03 \over 133{,}05})^{{1 \over 2\,025-2\,023}}≈1{,}22\)

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}22\)

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}22^x \\ x=4\text{ en }y=33{,}07\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}22^4=33{,}07 \\ b={33{,}07 \over 1{,}22^4} \\ b≈14{,}93\end{matrix}\)

Dus \(y=14{,}93⋅1{,}22^x\text{.}\)

Punt \(\text{A}(3, 900\,000)\text{.}\)

Punt \(\text{B}(5, 80\,000)\text{.}\)

Punt \(\text{C}(9, 200)\text{.}\)

Rasterpunten \((2, 2)\) en \((14, 3)\) aflezen.

\(\log(y)=ax+b\) met \(a={\Delta \log(y) \over \Delta x}={3-2 \over 14-2}=\frac{1}{12}\)

\(\begin{rcases}\log(y)=\frac{1}{12}x+b \\ \text{door }(2, 2)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{1}{12}⋅2+b=2 \\ \frac{2}{12}+b=2 \\ b=1\frac{5}{6}\end{matrix}\)

\(\log(y)=\frac{1}{12}x+1\frac{5}{6}\)
\(y=10^{\frac{1}{12}x+1\frac{5}{6}}\)

\(y=10^{\frac{1}{12}x}⋅10^{1\frac{5}{6}}\)
\(\text{ }=10^{1\frac{5}{6}}⋅(10^{\frac{1}{12}})^x\)
\(\text{ }=68⋅1{,}212^x\)

Rasterpunten \((1, 4)\) en \((4, 6)\) aflezen.

\(\log(y)=a⋅\log(x)+b\) met \(a={\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)}={6-4 \over 4-1}=\frac{2}{3}\)

\(\begin{rcases}\log(y)=\frac{2}{3}⋅\log(x)+b \\ \text{door }(1, 4)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{2}{3}⋅1+b=4 \\ \frac{2}{3}+b=4 \\ b=3\frac{1}{3}\end{matrix}\)

\(\log(y)=\frac{2}{3}⋅\log(x)+3\frac{1}{3}\)
\(\log(y)=\log(x^{\frac{2}{3}})+\log(10^{3\frac{1}{3}})\)
\(\log(y)=\log(10^{3\frac{1}{3}}⋅x^{\frac{2}{3}})\)

\(y=10^{3\frac{1}{3}}⋅x^{\frac{2}{3}}\)
\(y=2\,154⋅x^{0{,}67}\)

De grafiek hoort bij een machtsverband.

Hierbij hoort de formule \(y=ax^b\text{.}\)