Formule bij exponentiële groei opstellen
4p
Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.
○
Rasterpunten \((2 , 600)\) en \((8 , 70\,000)\) aflezen.
1p
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({70\,000 \over 600})^{{1 \over 8 - 2}} = 2{,}210...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 2{,}210...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 600{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 2{,}210...^{2} = 600{,}00 \\ b = {600{,}00 \over 2{,}210...^{2}} \\ b = 122{,}791...\end{matrix}\)
1p
○
\(y = 123 ⋅ 2{,}211^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(2\,020\) | \(2\,021\) | \(2\,022\) | \(2\,023\) |
\(y\) | \(10{,}86\) | \(14{,}01\) | \(18{,}07\) | \(23{,}31\) |
3p
a
Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,020 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\({14{,}01 \over 10{,}86} ≈ 1{,}29\)
1p
○
\({18{,}07 \over 14{,}01} ≈ 1{,}29\)
\({23{,}31 \over 18{,}07} ≈ 1{,}29\)
1p
○
De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}29\)
1p
○
\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 10{,}86 \text{.}\)
1p
○
Dus \(y = 10{,}86 ⋅ 1{,}29^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(2\) | \(3\) | \(6\) | \(10\) |
\(y\) | \(26{,}39\) | \(33{,}25\) | \(66{,}50\) | \(167{,}62\) |
3p
a
Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\(g = ({33{,}25 \over 26{,}39})^{{1 \over 3 - 2}} ≈ 1{,}26\)
1p
○
\(g = ({66{,}50 \over 33{,}25})^{{1 \over 6 - 3}} ≈ 1{,}26\)
\(g = ({167{,}62 \over 66{,}50})^{{1 \over 10 - 6}} ≈ 1{,}26\)
1p
○
De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}26\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}26^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 26{,}39\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}26^{2} = 26{,}39 \\ b = {26{,}39 \over 1{,}26^{2}} \\ b ≈ 16{,}62\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(y = 16{,}62 ⋅ 1{,}26^{x} \text{.}\)
1p
3p
Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe met \(1{,}3\%\) per uur. Op \(x = 0\) is \(y = 340 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in uur.
Stel de formule van \(y\) op.
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{uur}} = 1 + {1{,}3 \over 100} = 1{,}013 \text{.}\)
1p
○
De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 340 \text{.}\)
1p
○
\(y = 340 ⋅ 1{,}013^{x} \text{.}\)
1p
3p
Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 2\) is \(y = 286\) en bij \(x = 4\) is \(y = 263 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({263 \over 286})^{{1 \over 4 - 2}} = 0{,}958...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}958...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 286\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}958...^{2} = 286 \\ b = {286 \over 0{,}958...^{2}} ≈ 311\end{matrix}\)
1p
○
\(y = 311 ⋅ 0{,}959^{x} \text{.}\)
1p
3p
Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 2\) is \(y = 300\) en bij \(x = 4\) is \(y = 323 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({323 \over 300})^{{1 \over 4 - 2}} = 1{,}037...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}037...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 300\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}037...^{2} = 300 \\ b = {300 \over 1{,}037...^{2}} ≈ 279\end{matrix}\)
1p
○
\(y = 279 ⋅ 1{,}038^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \((2 , 6)\) en \((3 , 8) \text{.}\)
3p
a
Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten.
3p
b
Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten.
a
\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {8 - 6 \over 3 - 2} = 2\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = 2 x + b \\ \text{door } (2 , 6)\end{rcases} \begin{matrix}2 ⋅ 2 + b = 6 \\ 4 + b = 6 \\ b = 2\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(l{:}\,y = 2 x + 2\)
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({8 \over 6})^{{1 \over 3 - 2}} = 1{,}333...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}333...^{x} \\ \text{door } (2 , 6)\end{rcases} \begin{matrix}6 = b ⋅ 1{,}333...^{2} \\ b = {6 \over 1{,}333...^{2}} \\ b = 3{,}375\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(y = 3{,}375 ⋅ 1{,}333^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
\(y\) | \(18{,}27\) | \(21{,}38\) | \(25{,}01\) | \(29{,}26\) | \(34{,}24\) |
3p
a
Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\({21{,}38 \over 18{,}27} ≈ 1{,}17\)
1p
○
\({25{,}01 \over 21{,}38} ≈ 1{,}17\)
\({29{,}26 \over 25{,}01} ≈ 1{,}17\)
\({34{,}24 \over 29{,}26} ≈ 1{,}17\)
1p
○
De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}17\)
1p
○
\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 18{,}27 \text{.}\)
1p
○
Dus \(y = 18{,}27 ⋅ 1{,}17^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(5\) | \(6\) | \(10\) | \(12\) | \(15\) |
\(y\) | \(21{,}31\) | \(21{,}80\) | \(23{,}76\) | \(24{,}74\) | \(26{,}21\) |
3p
a
Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\({\Delta y \over \Delta x} = {21{,}80 - 21{,}31 \over 6 - 5} = 0{,}49\)
1p
○
\({\Delta y \over \Delta x} = {23{,}76 - 21{,}80 \over 10 - 6} = 0{,}49\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {24{,}74 - 23{,}76 \over 12 - 10} = 0{,}49\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {26{,}21 - 24{,}74 \over 15 - 12} = 0{,}49\)
1p
○
De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.
1p
b
\(y = a x + b\) met \(a = 0{,}49\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = 0{,}49 x + b \\ x = 5 \text{ en } y = 21{,}31\end{rcases} \begin{matrix}0{,}49 ⋅ 5 + b = 21{,}31 \\ 2{,}45 + b = 21{,}31 \\ b = 18{,}86\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(y = 0{,}49 x + 18{,}86\)
1p
3p
Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\)
○
Punt \(\text{A} (2 , 700) \text{.}\)
1p
○
Punt \(\text{B} (6 , 10\,000) \text{.}\)
1p
○
Punt \(\text{C} (9 , 600\,000) \text{.}\)
1p
5p
Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.
○
Rasterpunten \((10 , 2)\) en \((40 , 3)\) aflezen.
1p
○
\(\log(y) = a x + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta x} = {3 - 2 \over 40 - 10} = \frac{1}{30}\)
1p
○
\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{1}{30} x + b \\ \text{door } (10 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{30} ⋅ 10 + b = 2 \\ \frac{10}{30} + b = 2 \\ b = 1\frac{2}{3}\end{matrix}\)
1p
○
\(\log(y) = \frac{1}{30} x + 1\frac{2}{3}\)
\(y = 10^{\frac{1}{30} x + 1\frac{2}{3}}\)
1p
○
\(y = 10^{\frac{1}{30} x} ⋅ 10^{1\frac{2}{3}}\)
\(\text{ } = 10^{1\frac{2}{3}} ⋅ (10^{\frac{1}{30}})^{x}\)
\(\text{ } = 46 ⋅ 1{,}080^{x}\)
1p
5p
Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x^{b} \text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen.
○
Rasterpunten \((1 , 2)\) en \((6 , 5)\) aflezen.
1p
○
\(\log(y) = a ⋅ \log(x) + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)} = {5 - 2 \over 6 - 1} = \frac{3}{5}\)
1p
○
\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{3}{5} ⋅ \log(x) + b \\ \text{door } (1 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{3}{5} ⋅ 1 + b = 2 \\ \frac{3}{5} + b = 2 \\ b = 1\frac{2}{5}\end{matrix}\)
1p
○
\(\log(y) = \frac{3}{5} ⋅ \log(x) + 1\frac{2}{5}\)
\(\log(y) = \log(x^{\frac{3}{5}}) + \log(10^{1\frac{2}{5}})\)
\(\log(y) = \log(10^{1\frac{2}{5}} ⋅ x^{\frac{3}{5}})\)
1p
○
\(y = 10^{1\frac{2}{5}} ⋅ x^{\frac{3}{5}}\)
\(y = 25 ⋅ x^{0{,}60}\)
1p
3p
Teken de punten \(A (1 , 200) \text{,}\) \(B (6 , 40)\) en \(C (7 , 5\,000) \text{.}\)
○
3p
1p
a
Welk soort verband tussen \(x\) en \(y\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek?
1p
b
Welke formule hoort er bij dat verband?
a
De grafiek hoort bij een logaritmisch verband.
1p
b
Hierbij hoort de formule \(y = a ⋅ \log(x) + b \text{.}\)
1p