Gebroken functies
Gegeven is de functie \(f(x) = {1 \over x - 1} - 5 \text{.}\)
1p
a
Hoe ontstaat de grafiek van \(f\) uit de standaardgrafiek?
1p
b
Geef de formules van de horizontale asymptoot en de verticale asymptoot van \(f \text{.}\)
3p
c
Bepaal de coördinaten van de snijpunten van \(f\) met de \(x \text{-}\) en de \(y \text{-}\)as.
2p
d
Schets de grafiek van \(f \text{.}\)
Ook is gegeven de functie \(g(x) = -6 x + 6 \text{.}\)
4p
e
Bepaal de coördinaten van de snijpunten van \(f\) en \(g \text{.}\)
a
\(y = {1 \over x}\)
\(\downarrow \text{translatie} (1 , -5)\)
\(f(x) = {1 \over x - 1} - 5\)
1p
b
De formules van de asymptoten zijn \(x = 1\) en \(y = -5 \text{.}\)
1p
c
\(f(0) = {1 \over 0 - 1} - 5 = -6 \text{,}\) dus het snijpunt met de \(y \text{-}\)as is \((0 , -6) \text{.}\)
1p
○
(Voor het snijpunt met de \(x \text{-}\)as geldt) \({1 \over x - 1} - 5 = 0\)
1p
○
(Oplossen geeft)
\({1 \over x - 1} = 5\)
\(x - 1 = {1 \over 5}\)
\(x = \frac{1}{5} + 1 = 1\frac{1}{5}\)
dus het snijpunt met de \(x \text{-}\)as is \((1\frac{1}{5} , 0) \text{.}\)
1p
d
(1p aftrek bij onjuiste labels bij de assen)
2p
e
(Gelijkstellen geeft)
\({1 \over x - 1} - 5 = -6 x + 6\)
1p
○
(Kruislings vermenigvuldigen geeft)
\({1 \over x - 1} = -6 x + 11\)
\((x - 1) (-6 x + 11) = 1\)
1p
○
(Oplossen geeft)
\(-6 x^{2} + 11 x + 6 x - 11 - 1 = 0\)
\(-6 x^{2} + 17 x + -12 = 0\)
\(6 x^{2} + -17 x + 12 = 0\)
\(D = -17^{2} - 4 ⋅ 6 ⋅ 12 = 1\)
\(x = {17 - \sqrt{1} \over 2 ⋅ 6} ∨ x = {17 + \sqrt{1} \over 2 ⋅ 6}\)
\(x = {4 \over 3} ∨ x = {3 \over 2}\)
1p
○
\(g({4 \over 3}) = -2\) en \(g({3 \over 2}) = -3 \text{,}\) dus de snijpunten zijn \(({4 \over 3} , -2)\) en \(({3 \over 2} , -3) \text{.}\)
1p