Goniometrische vergelijkingen

0z - 16 oefeningen

ExacteWaarde (0)
004f - Goniometrische vergelijkingen - basis - basis - 72ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 8.4 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 8.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 8.4 Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B - 8.3

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

3p

\(\sin(4x+\frac{1}{3}\pi )=0\)

(Exacte waardencirkel)
\(4x+\frac{1}{3}\pi =k⋅\pi \)

1p

\(4x=-\frac{1}{3}\pi +k⋅\pi \)
\(x=-\frac{1}{12}\pi +k⋅\frac{1}{4}\pi \)

1p

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=\frac{1}{6}\pi ∨x=\frac{5}{12}\pi ∨x=\frac{2}{3}\pi ∨x=\frac{11}{12}\pi ∨x=1\frac{1}{6}\pi ∨x=1\frac{5}{12}\pi ∨x=1\frac{2}{3}\pi ∨x=1\frac{11}{12}\pi \)

1p

ExacteWaarde (1)
004g - Goniometrische vergelijkingen - basis - midden - 1ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 8.4 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 8.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 8.4 Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B - 8.3

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

4p

\(5\sin(3x-\frac{1}{6}\pi )=-2\frac{1}{2}\)

(Balansmethode)
\(\sin(3x-\frac{1}{6}\pi )=-\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

(Exacte waardencirkel)
\(3x-\frac{1}{6}\pi =-\frac{1}{6}\pi +k⋅2\pi ∨3x-\frac{1}{6}\pi =-\frac{5}{6}\pi +k⋅2\pi \)

1p

\(3x=k⋅2\pi ∨3x=-\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=k⋅\frac{2}{3}\pi ∨x=-\frac{2}{9}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi \)

1p

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=0∨x=\frac{2}{3}\pi ∨x=1\frac{1}{3}\pi ∨x=2\pi ∨x=\frac{4}{9}\pi ∨x=1\frac{1}{9}\pi ∨x=1\frac{7}{9}\pi \)

1p

ExacteWaarde (2)
004h - Goniometrische vergelijkingen - basis - midden - 0ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 8.4 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 8.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 8.4 Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B - 8.3

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

4p

\(-2\sin(\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\pi )=-\sqrt{2}\)

(Balansmethode)
\(\sin(\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\pi )=\frac{1}{2}\sqrt{2}\text{.}\)

1p

(Exacte waardencirkel)
\(\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\pi =\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\pi =\frac{3}{4}\pi +k⋅2\pi \)

1p

\(\frac{2}{3}x=k⋅2\pi ∨\frac{2}{3}x=\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=k⋅3\pi ∨x=\frac{3}{4}\pi +k⋅3\pi \)

1p

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=0∨x=\frac{3}{4}\pi \)

1p

ExacteWaarde (3)
006x - Goniometrische vergelijkingen - basis - midden - 0ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 8.4 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 8.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 8.4 Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B - 8.3

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

4p

\(-3\cos(2x-\frac{1}{3}\pi )=-1\frac{1}{2}\sqrt{3}\)

(Balansmethode)
\(\cos(2x-\frac{1}{3}\pi )=\frac{1}{2}\sqrt{3}\text{.}\)

1p

(Exacte waardencirkel)
\(2x-\frac{1}{3}\pi =\frac{1}{6}\pi +k⋅2\pi ∨2x-\frac{1}{3}\pi =-\frac{1}{6}\pi +k⋅2\pi \)

1p

\(2x=\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi ∨2x=\frac{1}{6}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=\frac{1}{4}\pi +k⋅\pi ∨x=\frac{1}{12}\pi +k⋅\pi \)

1p

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=\frac{1}{4}\pi ∨x=1\frac{1}{4}\pi ∨x=\frac{1}{12}\pi ∨x=1\frac{1}{12}\pi \)

1p

ExacteWaarde (4)
006y - Goniometrische vergelijkingen - basis - midden - 1ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 8.4 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 8.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 8.4 Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B - 8.3

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

4p

\(-2+4\cos(3\pi x)=-6\)

(Balansmethode)
\(4\cos(3\pi x)=-4\) dus \(\cos(3\pi x)=-1\text{.}\)

1p

(Exacte waardencirkel)
\(3\pi x=\pi +k⋅2\pi \)

1p

\(3\pi x=\pi +k⋅2\pi \)
\(x=\frac{1}{3}+k⋅\frac{2}{3}\)

1p

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=\frac{1}{3}∨x=1∨x=1\frac{2}{3}∨x=2\frac{1}{3}∨x=3∨x=3\frac{2}{3}∨x=4\frac{1}{3}∨x=5∨x=5\frac{2}{3}\)

1p

Substitutie (1)
006z - Goniometrische vergelijkingen - basis - midden - 1ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 8.4 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 8.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 8.4 Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B - 8.3

Los exact op.

3p

\(\sin^2(2x+\frac{2}{3}\pi )=1\)

\(\sin(2x+\frac{2}{3}\pi )=1∨\sin(2x+\frac{2}{3}\pi )=-1\)

1p

De exacte waardencirkel geeft
\(2x+\frac{2}{3}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi ∨2x+\frac{2}{3}\pi =1\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)

1p

\(2x=-\frac{1}{6}\pi +k⋅2\pi ∨2x=\frac{5}{6}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=-\frac{1}{12}\pi +k⋅\pi ∨x=\frac{5}{12}\pi +k⋅\pi \)

1p

Substitutie (2)
00sl - Goniometrische vergelijkingen - basis - midden - 19ms

Los exact op.

3p

\(4\cos^2(x)-1=0\)

\(u=\cos(x)\) geeft \(4u^2-1\)

1p

\(4u^2=1\)
\(u^2=\frac{1}{4}\)
\(u=-\frac{1}{2}∨u=\frac{1}{2}\)

1p

\(\cos(x)=-\frac{1}{2}∨\cos(x)=\frac{1}{2}\) geeft
\(x=\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi ∨x=-\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi ∨x=\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi ∨x=-\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi \)

1p

Substitutie (3)
00sm - Goniometrische vergelijkingen - basis - midden - 1ms

Los exact op.

3p

\(2\sin^2(x)+\sin(x)=0\)

\(u=\sin(x)\) geeft \(2u^2+u\)

1p

\(u(2u+1)=0\)
\(u=0∨2u=-1\)
\(u=0∨u=-\frac{1}{2}\)

1p

\(\sin(x)=0∨\sin(x)=-\frac{1}{2}\) geeft
\(x=k⋅\pi ∨x=-\frac{1}{6}\pi +k⋅2\pi ∨x=-\frac{5}{6}\pi +k⋅2\pi \)

1p

Substitutie (4)
00sn - Goniometrische vergelijkingen - basis - midden - 3ms

Los exact op.

4p

\(2\sin^2(x)+\cos^2(x)-1\frac{1}{2}\cos(x)-2\frac{1}{2}=0\)

(\(\sin^2(A)+\cos^2(A)=1\) geeft)
\(2(1-\cos^2(x))+\cos^2(x)-1\frac{1}{2}\cos(x)-2\frac{1}{2}=0\)
ofwel
\(\cos^2(x)+1\frac{1}{2}\cos(x)+\frac{1}{2}=0\)

1p

\(u=\cos(x)\) geeft \(u^2+1\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}=0\)

1p

\(2u^2+3u+1=0\)
\(D=3^2-4⋅2⋅1=1\)
\(u={-3-\sqrt{1} \over 2⋅2}∨u={-3+\sqrt{1} \over 2⋅2}\)
\(u=-1∨u=-\frac{1}{2}\)

1p

\(\cos(x)=-1∨\cos(x)=-\frac{1}{2}\) geeft
\(x=\pi +k⋅2\pi ∨x=\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi ∨x=-\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)

1p

Product
0070 - Goniometrische vergelijkingen - basis - midden - 1ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 8.4 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 8.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 8.4 Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B - 8.3

Los exact op.

3p

\(\frac{5}{6}\sin(3x-\frac{1}{2}\pi )\sin(1\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\pi )=0\)

\(\sin(3x-\frac{1}{2}\pi )=0∨\sin(1\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\pi )=0\)

1p

(Exacte waardencirkel)
\(3x-\frac{1}{2}\pi =k⋅\pi ∨1\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\pi =k⋅\pi \)

1p

\(3x=\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi ∨1\frac{1}{2}x=-\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi \)
\(x=\frac{1}{6}\pi +k⋅\frac{1}{3}\pi ∨x=-\frac{1}{3}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi \)

1p

BasisAisASin
00sf - Goniometrische vergelijkingen - basis - midden - 0ms

Los exact op.

3p

\(\sin(x-\frac{2}{3}\pi )=\sin(2x-\frac{2}{3}\pi )\)

(Eenheidscirkel)
\(x-\frac{2}{3}\pi =2x-\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi ∨x-\frac{2}{3}\pi =\pi -(2x-\frac{2}{3}\pi )+k⋅2\pi \)

1p

\(x-\frac{2}{3}\pi =2x-\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi ∨x-\frac{2}{3}\pi =-2x+1\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)
\(-x=k⋅2\pi ∨3x=2\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=k⋅2\pi ∨x=\frac{7}{9}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi \)

2p

BasisAisACos
00sg - Goniometrische vergelijkingen - basis - midden - 1488ms

Los exact op.

3p

\(\cos(2x+\frac{1}{4}\pi )=\cos(3x-\frac{2}{3}\pi )\)

(Eenheidscirkel)
\(2x+\frac{1}{4}\pi =3x-\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi ∨2x+\frac{1}{4}\pi =-(3x-\frac{2}{3}\pi )+k⋅2\pi \)

1p

\(2x+\frac{1}{4}\pi =3x-\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi ∨2x+\frac{1}{4}\pi =-3x+\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)
\(-x=-\frac{11}{12}\pi +k⋅2\pi ∨5x=\frac{5}{12}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=\frac{11}{12}\pi +k⋅2\pi ∨x=\frac{1}{12}\pi +k⋅\frac{2}{5}\pi \)

2p

BasisTan
00sh - Goniometrische vergelijkingen - basis - midden - 0ms

Los exact op.

3p

\(\tan(2\pi x)=\tan(\pi x+\frac{3}{4}\pi )\)

(Eenheidscirkel)
\(2\pi x=\pi x+\frac{3}{4}\pi +k⋅\pi \)

1p

\(\pi x=\frac{3}{4}\pi +k⋅\pi \)
\(x=\frac{3}{4}+k⋅1\)

2p

BasisAisMinA
00sj - Goniometrische vergelijkingen - basis - midden - 0ms

Los exact op.

4p

\(\cos(3x+\frac{1}{4}\pi )=-\cos(x-\frac{3}{4}\pi )\)

(\(-\cos(A)=\cos(A+\pi )\) geeft)
\(\cos(3x+\frac{1}{4}\pi )=\cos(x-\frac{3}{4}\pi +\pi )\)
\(\cos(3x+\frac{1}{4}\pi )=\cos(x+\frac{1}{4}\pi )\)

1p

(Eenheidscirkel)
\(3x+\frac{1}{4}\pi =x+\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi ∨3x+\frac{1}{4}\pi =-(x+\frac{1}{4}\pi )+k⋅2\pi \)

1p

\(3x+\frac{1}{4}\pi =x+\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi ∨3x+\frac{1}{4}\pi =-x-\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi \)
\(2x=k⋅2\pi ∨4x=-\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=k⋅\pi ∨x=-\frac{1}{8}\pi +k⋅\frac{1}{2}\pi \)

2p

BasisAisB
00si - Goniometrische vergelijkingen - basis - midden - 1ms

Los exact op.

4p

\(\sin(2x-\frac{1}{3})=\cos(x-\frac{1}{2}\pi )\)

(\(\cos(A)=\sin(A+\frac{1}{2}\pi )\) geeft)
\(\sin(2x-\frac{1}{3})=\sin(x-\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi )\)
\(\sin(2x-\frac{1}{3})=\sin(x)\)

1p

(Eenheidscirkel)
\(2x-\frac{1}{3}=x+k⋅2\pi ∨2x-\frac{1}{3}=\pi -x+k⋅2\pi \)

1p

\(2x-\frac{1}{3}=x+k⋅2\pi ∨2x-\frac{1}{3}=-x+\pi +k⋅2\pi \)
\(x=\frac{1}{3}+k⋅2\pi ∨3x=\pi +\frac{1}{3}+k⋅2\pi \)
\(x=\frac{1}{3}+k⋅2\pi ∨x=\frac{1}{3}\pi +\frac{1}{9}+k⋅\frac{2}{3}\pi \)

2p

BasisAisMinB
00sk - Goniometrische vergelijkingen - basis - eind - 0ms

Los exact op.

5p

\(\sin(2x)=-\cos(3x-1\frac{1}{2}\pi )\)

(\(-\cos(A)=\cos(A+\pi )\) geeft)
\(\sin(2x)=\cos(3x-1\frac{1}{2}\pi +\pi )\)
\(\sin(2x)=\cos(3x-\frac{1}{2}\pi )\)

1p

(\(\cos(A)=\sin(A+\frac{1}{2}\pi )\) geeft)
\(\sin(2x)=\sin(3x-\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi )\)
\(\sin(2x)=\sin(3x)\)

1p

(Eenheidscirkel)
\(2x=3x+k⋅2\pi ∨2x=\pi -3x+k⋅2\pi \)

1p

\(2x=3x+k⋅2\pi ∨2x=-3x+\pi +k⋅2\pi \)
\(-x=k⋅2\pi ∨5x=\pi +k⋅2\pi \)
\(x=k⋅2\pi ∨x=\frac{1}{5}\pi +k⋅\frac{2}{5}\pi \)

2p

004f 004g 004h 006x 006y 006z 00sl 00sm 00sn 0070 00sf 00sg 00sh 00sj 00si 00sk