Hypothesetoetsen
De toevalsvariabele \(X\) is binomiaal verdeeld met succeskans \(p = 0{,}28 \text{.}\)
4p
Stel het beslissingsvoorschrift op van een linkszijdige toets voor een steekproef van \(73\) met een significantieniveau van \(5\% \text{.}\)
○
\(H_{0} \text{:}\) \(p = 0{,}28\)
\(H_{1} \text{:}\) \(p < 0{,}28\)
\(\alpha = 0{,}05\)
1p
○
\(X\) is binomiaal verdeeld met \(n = 73\) en \(p = 0{,}28 \text{.}\)
1p
○
Bij \(\alpha = 0{,}05\) geeft de GR de grenswaarde \(a = 14 \text{.}\)
1p
○
Het beslissingsvoorschrift is: verwerp \(H_{0}\) als \(X ≤ 13 \text{.}\)
1p
De toevalsvariabele \(X\) is normaal verdeeld met \(\mu _{X} = 590\) en \(\sigma _{X} = 60 \text{.}\)
4p
Stel het beslissingsvoorschrift op van een rechtszijdige toets voor een steekproef van \(80\) met een significantieniveau van \(1\% \text{.}\)
○
\(H_{0} \text{:}\) \(\mu _{X} = 590\)
\(H_{1} \text{:}\) \(\mu _{X} > 590\)
\(\alpha = 0{,}01\)
1p
○
\(\bar{X}\) is normaal verdeeld met \(\mu _{\bar{X}} = \mu _{X} = 590\) en \(\sigma _{\bar{X}} = {\sigma _{X} \over \sqrt{n}} = {60 \over \sqrt{80}} \text{.}\)
1p
○
Het oplossen van \(P(\bar{X} ≥ g_{r}) = 0{,}01\) met de GR geeft \(g_{r} = 605{,}60... \text{.}\)
1p
○
Het beslissingsvoorschrift is: verwerp \(H_{0}\) als \(\bar{X} ≥ 605{,}7 \text{.}\)
1p
De toevalsvariabele \(X\) is binomiaal verdeeld met succeskans \(p = 0{,}69 \text{.}\)
5p
Stel het beslissingsvoorschrift op van een tweezijdige toets voor een steekproef van \(126\) met een significantieniveau van \(10\% \text{.}\)
○
\(H_{0} \text{:}\) \(p = 0{,}69\)
\(H_{1} \text{:}\) \(p ≠ 0{,}69\)
\(\alpha = 0{,}1 \text{,}\) dus \({1 \over 2} \alpha = 0{,}05\)
1p
○
\(X\) is binomiaal verdeeld met \(n = 126\) en \(p = 0{,}69 \text{.}\)
1p
○
Bij \({1 \over 2} \alpha = 0{,}05\) geeft de GR de grenswaarde \(a_{\text{l}} = 78 \text{.}\)
1p
○
Bij \(1 - {1 \over 2} \alpha = 0{,}95\) geeft de GR de grenswaarde \(a_{\text{r}} = 95 \text{.}\)
1p
○
Het beslissingsvoorschrift is: verwerp \(H_{0}\) als \(X ≤ 77\) of \(X ≥ 96 \text{.}\)
1p
De toevalsvariabele \(X\) is normaal verdeeld met \(\mu _{X} = 320\) en \(\sigma _{X} = 20 \text{.}\)
5p
Stel het beslissingsvoorschrift op van een tweezijdige toets voor een steekproef van \(25\) met een significantieniveau van \(5\% \text{.}\)
○
\(H_{0} \text{:}\) \(\mu _{X} = 320\)
\(H_{1} \text{:}\) \(\mu _{X} ≠ 320\)
\(\alpha = 0{,}05 \text{,}\) dus \({1 \over 2} \alpha = 0{,}025\)
1p
○
\(\bar{X}\) is normaal verdeeld met \(\mu _{\bar{X}} = \mu _{X} = 320\) en \(\sigma _{\bar{X}} = {\sigma _{X} \over \sqrt{n}} = {20 \over \sqrt{25}} \text{.}\)
1p
○
Het oplossen van \(P(\bar{X} ≤ g_{l}) = 0{,}025\) met de GR geeft \(g_{l} = 312{,}15... \text{.}\)
1p
○
Het oplossen van \(P(\bar{X} ≥ g_{r}) = 0{,}025\) met de GR geeft \(g_{r} = 327{,}84... \text{.}\)
1p
○
Het beslissingsvoorschrift is: verwerp \(H_{0}\) als \(\bar{X} ≤ 312{,}1\) of \(\bar{X} ≥ 327{,}9 \text{.}\)
1p
De toevalsvariabele \(X\) is binomiaal verdeeld met succeskans \(p = 0{,}35 \text{.}\) Bij een steekproef van \(75\) blijkt het aantal successen gelijk te zijn aan \(20 \text{.}\)
4p
Kan bij een significantieniveau van \(5\%\) worden geconcludeerd dat de succeskans in deze steekproef lager is?
○
\(H_{0} \text{:}\) \(p = 0{,}35\)
\(H_{1} \text{:}\) \(p < 0{,}35\)
\(\alpha = 0{,}05\)
1p
○
\(X\) is binomiaal verdeeld met \(n = 75\) en \(p = 0{,}35 \text{.}\)
1p
○
De GR geeft voor de overschrijdingskans \(P(X ≤ 20) = 0{,}07989... \text{.}\)
1p
○
\(P(X ≤ 20) > \alpha \text{,}\) dus \(H_{0}\) wordt niet verworpen.
De succeskans in deze steekproef is niet lager.
1p
De toevalsvariabele \(X\) is normaal verdeeld met \(\mu _{X} = 550\) en \(\sigma _{X} = 40 \text{.}\) Bij een steekproef van \(95\) blijkt het steekproefresultaat gelijk te zijn aan \(560{,}9 \text{.}\)
4p
Kan bij een significantieniveau van \(1\%\) worden geconcludeerd dat het steekproefresultaat significant hoger is?
○
\(H_{0} \text{:}\) \(\mu _{X} = 550\)
\(H_{1} \text{:}\) \(\mu _{X} > 550\)
\(\alpha = 0{,}01\)
1p
○
\(\bar{X}\) is normaal verdeeld met \(\mu _{\bar{X}} = \mu _{X} = 550\) en \(\sigma _{\bar{X}} = {\sigma _{X} \over \sqrt{n}} = {40 \over \sqrt{95}} \text{.}\)
1p
○
De GR geeft voor de overschrijdingskans \(P(\bar{X} ≥ 560{,}9) = 0{,}003... \text{.}\)
1p
○
\(P(\bar{X} ≥ 560{,}9) ≤ \alpha \text{,}\) dus \(H_{0}\) wordt verworpen.
Het steekproefresultaat is inderdaad significant hoger.
1p
De toevalsvariabele \(X\) is binomiaal verdeeld met succeskans \(p = 0{,}23 \text{.}\) Bij een steekproef van \(126\) blijkt het aantal successen gelijk te zijn aan \(39 \text{.}\)
4p
Kan bij een significantieniveau van \(5\%\) worden geconcludeerd dat de succeskans in deze steekproef afwijkt?
○
\(H_{0} \text{:}\) \(p = 0{,}23\)
\(H_{1} \text{:}\) \(p ≠ 0{,}23\)
\(\alpha = 0{,}05 \text{,}\) dus \(\frac{1}{2} \alpha = 0{,}025\)
1p
○
\(X\) is binomiaal verdeeld met \(n = 126\) en \(p = 0{,}23 \text{.}\)
1p
○
De verwachtsingswaarde is \(n ⋅ p = 126 ⋅ 0{,}23 = 28{,}98 \text{.}\) Omdat \(39 > 28{,}98\) bekijken we de overschrijdingskans \(P(X ≥ 39) \text{.}\)
De GR geeft \(P(X ≥ 39) = 1 - P(X ≤ 38) = 0{,}02463... \text{.}\)
1p
○
\(P(X ≥ 39) ≤ \frac{1}{2} \alpha \text{,}\) dus \(H_{0}\) wordt verworpen.
De succeskans in deze steekproef wijkt inderdaad af.
1p
De toevalsvariabele \(X\) is normaal verdeeld met \(\mu _{X} = 760\) en \(\sigma _{X} = 50 \text{.}\) Bij een steekproef van \(55\) blijkt het steekproefresultaat gelijk te zijn aan \(780{,}8 \text{.}\)
4p
Kan bij een significantieniveau van \(1\%\) worden geconcludeerd dat het steekproefresultaat significant afwijkt?
○
\(H_{0} \text{:}\) \(\mu _{X} = 760\)
\(H_{1} \text{:}\) \(\mu _{X} ≠ 760\)
\(\alpha = 0{,}01 \text{,}\) dus \({1 \over 2} \alpha = 0{,}005\)
1p
○
\(\bar{X}\) is normaal verdeeld met \(\mu _{\bar{X}} = \mu _{X} = 760\) en \(\sigma _{\bar{X}} = {\sigma _{X} \over \sqrt{n}} = {50 \over \sqrt{55}} \text{.}\)
1p
○
De GR geeft voor de overschrijdingskans \(P(\bar{X} ≥ 780{,}8) = 0{,}001... \text{.}\)
1p
○
\(P(\bar{X} ≥ 780{,}8) ≤ {1 \over 2} \alpha \text{,}\) dus \(H_{0}\) wordt verworpen.
Het steekproefresultaat wijkt inderdaad significant af.
1p