Lijnen en hun onderlinge ligging
Gegeven zijn de lijnen \(k{:}\,3 x - 2 y = 6\) en \(l{:}\,-6 x + 4 y = -12 \text{.}\)
1p
Onderzoek of de lijnen samenvallen, evenwijdig zijn of snijden.
○
\(-\frac{3}{6} = -\frac{2}{4} = -\frac{6}{12} \text{,}\) dus de lijnen \(k\) en \(l\) vallen samen.
1p
Gegeven zijn de lijnen \(k{:}\,x + p y = 4\) en \(l{:}\,4 x - 12 y = q \text{.}\)
3p
Bereken voor welke \(p\) en \(q\) de lijnen een snijpunt hebben.
○
\({1 \over 4} = {p \over -12} = {4 \over q}\)
1p
○
\({1 \over 4} = {p \over -12}\) geeft \(p = -3\) (en \({1 \over 4} = {4 \over q}\) geeft \(q = 16 \text{)}\)
1p
○
Een snijpunt, dus \(p ≠ -3\) en \(q\) mag elk getal zijn.
1p
De lijnen \(k{:}\,x - 4 y = 4\) en \(l{:}\,3 x - 2 y = -3\) snijden elkaar in het punt \(S \text{.}\)
4p
Bereken de coördinaten van \(S \text{.}\)
○
\(\begin{cases}x - 4 y = 4 \\ 3 x - 2 y = -3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}x - 4 y = 4 \\ 6 x - 4 y = -6\end{cases}\)
1p
○
Aftrekken geeft \(-5 x = 10\) dus \(x = -2 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}x - 4 y = 4 \\ x = -2\end{rcases} \begin{matrix}1 ⋅ -2 - 4 y = 4 \\ -4 y = 6 \\ y = -1\frac{1}{2}\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(S (-2 , -1\frac{1}{2}) \text{.}\)
1p
De lijnen \(k{:}\,4 x + 4 y = -2\) en \(l{:}\,y = -2 x - 3\) snijden elkaar in het punt \(S \text{.}\)
4p
Bereken de coördinaten van \(S \text{.}\)
○
Substitutie geeft \(4 x + 4 (-2 x - 3) = -2\)
1p
○
\(4 x - 8 x - 12 = -2\)
\(-4 x = 10\)
Dus \(x = -2\frac{1}{2} \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = -2 x - 3 \\ x = -2\frac{1}{2}\end{rcases} y = -2 ⋅ -2\frac{1}{2} - 3 = 2\)
1p
○
Dus \(S (-2\frac{1}{2} , 2) \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de lijnen \(k{:}\,8 x - y = 6\) en \(l{:}\,5 x + 7 y = -9 \text{.}\)
3p
Bereken de hoek tussen de lijnen \(k\) en \(l \text{.}\) Rond af op één decimaal nauwkeurig.
○
\(k{:}\,8 x - y = 6\) omschrijven geeft \(y = 8 x - 6\) dus \(\text{rc}_{k} = 8 \text{.}\)
\(l{:}\,5 x + 7 y = -9\) omschrijven geeft \(y = -\frac{5}{7} x - 1\frac{2}{7}\) dus \(\text{rc}_{l} = -\frac{5}{7} \text{.}\)
1p
○
\(\tan(\alpha ) = 8\) geeft \(\alpha = \tan^{-1}(8) = 82{,}87...\degree \text{.}\)
\(\tan(\beta ) = -\frac{5}{7}\) geeft \(\beta = \tan^{-1}(-\frac{5}{7}) = -35{,}53...\degree \text{.}\)
1p
○
\(\varphi = \alpha - \beta = 82{,}87...\degree - -35{,}53...\degree = 118{,}41...\degree \text{,}\) dus de gevraagde hoek is \(180\degree - 118{,}41...\degree = 61{,}6\degree \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de lijnen \(k{:}\,2 x + y = q\) en \(l{:}\,p x + 3 y = -15 \text{.}\)
3p
a
Bereken voor welke \(p\) en \(q\) de lijnen geen punt gemeenschappelijk hebben.
3p
b
Bereken voor welke \(p\) en \(q\) de lijnen elkaar snijden in het punt \((1 , 3) \text{.}\)
3p
c
Neem \(p = 2\) en \(q = 4\) en bereken de hoek tussen de lijnen \(k\) en \(l \text{.}\)
Rond af op één decimaal.
a
\({2 \over p} = {1 \over 3} = {q \over -15}\)
1p
○
\({2 \over p} = {1 \over 3}\) geeft \(p = 6\) en \({1 \over 3} = {q \over -15}\) geeft \(q = -5\)
1p
○
Geen punt gemeenschappelijk, dus \(p = 6\) en \(q ≠ -5 \text{.}\)
1p
b
\(\begin{rcases}p x + 3 y = -15 \\ \text{door } (1 , 3)\end{rcases}\) geeft \(p ⋅ 1 + 3 ⋅ 3 = -15\)
1p
○
(oplossen)
\(p + 9 = -15\)
\(p = -24\)
1p
○
\(\begin{rcases}2 x + y = q \\ \text{door } (1 , 3)\end{rcases}\) geeft \(q = 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 3 = 5\)
1p
c
\(2 x + y = 4\) geeft \(y = -2 x + 4\)
\(2 x + 3 y = -15\) geeft \(y = -\frac{2}{3} x - 5\)
1p
○
\(\tan(\alpha ) = -2\) geeft \(\alpha = \tan^{-1}(-2) = -63{,}43...\degree\)
\(\tan(\beta ) = -\frac{2}{3}\) geeft \(\beta = \tan^{-1}(-\frac{2}{3}) = -33{,}69...\degree\)
1p
○
\(\alpha - \beta = -63{,}43...\degree - -33{,}69...\degree = -29{,}74...\degree \text{,}\) dus de gevraagde hoek is \(29{,}7\degree \text{.}\)
1p
De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (2 , 5)\) en is evenwijdig aan de lijn \(k{:}\,9 x + 6 y = -1 \text{.}\)
2p
Stel een vergelijking op van lijn \(l\) in de vorm \(a x + b y = c \text{.}\)
○
\(k \parallel l \text{,}\) dus \(l{:}\,9 x + 6 y = c \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}9 x + 6 y = c \\ \text{door } A (2 , 5)\end{rcases} c = 9 ⋅ 2 + 6 ⋅ 5 = 48\)
Dus \(l{:}\,9 x + 6 y = 48 \text{.}\)
1p
De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (-7 , -9)\) en staat loodrecht op de lijn \(k{:}\,-5 x + 6 y = -1 \text{.}\)
2p
Stel een vergelijking op van lijn \(l\) in de vorm \(a x + b y = c \text{.}\)
○
\(k \perp l \text{,}\) dus \(l{:}\,6 x + 5 y = c \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}6 x + 5 y = c \\ \text{door } A (-7 , -9)\end{rcases} c = 6 ⋅ -7 + 5 ⋅ -9 = -87\)
Dus \(l{:}\,6 x + 5 y = -87 \text{.}\)
1p