Oorspronkelijke en afgeleide functie
2p
Wat is de definitie van de afgeleide functie \(f'(x) \text{?}\)
○
De afgeleide functie \(f'(x)\) is de formule van de hellingsgrafiek van \(f(x)\) en geeft dus voor iedere waarde van \(x\) de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt \((x , f(x)) \text{.}\)
2p
Gegeven is de functie \(f(x) = (x^{2}+6) (x+2)-4 \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = -4\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
2p
Bereken exact de \(y \text{-}\)coördinaat van het punt \(A \text{.}\)
○
\(f(-4) = (-4^{2}+6) (-4+2)-4 = -48\)
1p
○
Dus \(y_{A} = -48 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \sqrt{6 x+39}+3 x \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = -5\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
2p
Bereken exact de coördinaten van het punt \(A \text{.}\)
○
\(f(-5) = \sqrt{6 \cdot -5+39}+3 \cdot -5 = -12\)
1p
○
Dus \(A (-5 , -12) \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \sqrt{-x+3}-5 x^{3} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = -1\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
2p
Toon algebraïsch aan dat de \(y \text{-}\)coördinaat van het punt \(A\) gelijk is aan \(7 \text{.}\)
○
\(f(-1) = \sqrt{--1+3}-5 \cdot -1^{3} = 7\)
1p
○
Dus geldt inderdaad \(y_{A} = 7 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = -2 x+\frac{5}{x} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = 5\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
2p
Ligt het punt \(A\) boven of onder de \(x \text{-}\)as?
○
\(f(5) = -2 \cdot 5+{5 \over 5} = -9\)
1p
○
\(f(5) < 0 \text{,}\) dus \(A\) ligt onder de \(x \text{-}\)as.
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = 5 x^{3}+\sqrt{-5 x+41} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = 1\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
3p
Bereken exact de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan \(f\) in het punt \(A \text{.}\)
○
\(f(x) = 5 x^{3}+\sqrt{-5 x+41}\) geeft
\(f'(x) = 15 x^{2}+\frac{-5}{2 \sqrt{-5 x+41}}\)
2p
○
\(\text{rc} = f'(1) = 15 \cdot 1^{2}+\frac{-5}{2 \sqrt{-5 \cdot 1+41}} = {175 \over 12}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = x^{2}+\sqrt{-x+29} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = 4\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
3p
Bereken exact de helling van de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\)
○
\(f(x) = x^{2}+\sqrt{-x+29}\) geeft
\(f'(x) = 2 x+\frac{-1}{2 \sqrt{-x+29}}\)
2p
○
\(\text{helling} = f'(4) = 2 \cdot 4+\frac{-1}{2 \sqrt{-4+29}} = {79 \over 10}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{4}{x^{2}}+x^{3} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = 2\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
3p
Toon algebraïsch aan dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan \(f\) in het punt \(A\) gelijk is aan \(11 \text{.}\)
○
\(f(x) = \frac{4}{x^{2}}+x^{3}\) geeft
\(f'(x) = \frac{-8}{x^{3}}+3 x^{2}\)
2p
○
\(\text{rc} = f'(2) = \frac{-8}{2^{3}}+3 \cdot 2^{2} = 11\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = (x^{2}-2) (x+4)+5 x^{3} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = -1\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
4p
Is de grafiek van \(f\) in het punt \(A\) stijgend of dalend?
○
\(f(x) = (x^{2}-2) (x+4)+5 x^{3}\) geeft
\(f'(x) = 18 x^{2}+8 x-2\)
2p
○
\(f'(-1) = 18 \cdot -1^{2}+8 \cdot -1-2 = 8\)
1p
○
\(f'(-1) > 0 \text{,}\) dus stijgend.
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = (2 x+10)^{3}+x \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = -4\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
1p
a
Bereken exact de \(y \text{-}\)coördinaat van het punt \(A \text{.}\)
3p
b
Bereken exact de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan \(f\) in het punt \(A \text{.}\)
a
\(f(-4) = (2 \cdot -4+10)^{3}-4 = 4\)
1p
b
\(f(x) = (2 x+10)^{3}+x\) geeft
\(f'(x) = 6 (2 x+10)^{2}+1\)
2p
○
\(f'(-4) = 6 (2 \cdot -4+10)^{2}+1 = 25\)
1p