Parameterkrommen
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -2 t^{2} + 4 t \\ y(t) = t^{3} - 3 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y \text{-}\)as.
○
\(x'(t) = -4 t + 4\)
\(y'(t) = 3 t^{2} - 3\)
1p
○
[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t) = 0\)
\(-4 t + 4 = 0\)
\(-4 t = -4\)
\(t = 1\)
1p
○
\(y'(1) = 0 \text{,}\) dus voor \(t = 1\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((2 , -2) \text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(y \text{-}\)as.
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -\frac{1}{3} t^{3} + 9 t \\ y(t) = -\frac{1}{2} t^{2} + 2 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
4p
Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y \text{-}\)as.
○
\(x'(t) = -t^{2} + 9\)
\(y'(t) = -t + 2\)
1p
○
[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t) = 0\)
\(-1 t^{2} + 0 t + 9 = 0\)
\(1 t^{2} + 0 t + -9 = 0\)
\(1 t^{2} = 9\)
\(t = -3 ∨ t = 3\)
1p
○
\(y'(-3) = 5 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = -3\) is de baan evenwijdig aan de \(y \text{-}\)as in het punt \((-18 , -10\frac{1}{2}) \text{.}\)
1p
○
\(y'(3) = -1 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = 3\) is de baan evenwijdig aan de \(y \text{-}\)as in het punt \((18 , 1\frac{1}{2}) \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -2 t^{3} + 14 t \\ y(t) = -\frac{1}{2} t^{2} + t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
De baan snijdt zichzelf voor \(t = -1\) en voor \(t = 3\) in het punt \((-12 , -1\frac{1}{2}) \text{.}\)
5p
Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal.
○
\(x'(t) = -6 t^{2} + 14\)
\(y'(t) = -t + 1\)
1p
○
\(\overrightarrow{v} (-1) = \begin{pmatrix}x'(-1) \\ y'(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 \\ 2\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\overrightarrow{v} (3) = \begin{pmatrix}x'(3) \\ y'(3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-40 \\ -2\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\cos(\varphi ) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}8 \\ 2\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}-40 \\ -2\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}8 \\ 2\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-40 \\ -2\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {324 \over \sqrt{68} ⋅ \sqrt{1\,604}}\)
1p
○
\(\varphi = \cos^{-1}({324 \over \sqrt{68} ⋅ \sqrt{1\,604}}) ≈ 11{,}2\degree\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -2 t^{3} + 2 t \\ y(t) = -2 t^{2} - 6 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
5p
Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t = -1 \text{.}\)
○
\(x'(t) = -6 t^{2} + 2\)
\(y'(t) = -4 t - 6\)
1p
○
\(t = -1\) geeft het punt \((0 , 4) \text{.}\)
1p
○
[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_{l} = \overrightarrow{v} (-1) = \begin{pmatrix}x'(-1) \\ y'(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ -2\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_{l} = \begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l{:}\,2 x - 4 y = c \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}l{:}\,2 x - 4 y = c \\ \text{door } (0 , 4)\end{rcases} \begin{matrix}c = 2 ⋅ 0 - 4 ⋅ 4 = -16\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,2 x - 4 y = -16 \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 2 t^{3} - 8 t \\ y(t) = -2 t^{2} - 4 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(x \text{-}\)as.
○
Snijpunt met de \(x \text{-}\)as betekent \(y(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(-2 t^{2} - 4 t = 0\)
1p
○
[Oplossen geeft]
\(1 t^{2} + 2 t + 0 = 0\)
\(t (1 t + 2) = 0\)
\(t = 0 ∨ t = -2\)
1p
○
[De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(x(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = -2\) geeft \(x(-2) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -t^{3} + 9 t \\ y(t) = -2\frac{1}{2} t^{2} - 5 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y \text{-}\)as.
○
Snijpunt met de \(y \text{-}\)as betekent \(x(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(-t^{3} + 9 t = 0\)
1p
○
[Oplossen geeft]
\(t (-1 t^{2} + 0 t + 9) = 0\)
\(t = 0 ∨ -1 t^{2} + 0 t + 9 = 0\)
\(t = 0 ∨ 1 t^{2} + 0 t + -9 = 0\)
\(t = 0 ∨ 1 t^{2} = 9\)
\(t = 0 ∨ t = -3 ∨ t = 3\)
1p
○
[De snijpunten met de \(y \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(y(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = -3\) geeft \(y(-3) = -7\frac{1}{2} \text{,}\) dus \((0 , -7\frac{1}{2})\)
\(t = 3\) geeft \(y(3) = -37\frac{1}{2} \text{,}\) dus \((0 , -37\frac{1}{2})\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 1\frac{1}{2} t^{2} - 3 t \\ y(t) = -t^{3} + 9 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
a
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(x \text{-}\)as.
5p
b
Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t = -2 \text{.}\)
2p
c
Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = 3 \text{.}\)
a
Snijpunt met de \(x \text{-}\)as betekent \(y(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(-t^{3} + 9 t = 0\)
1p
○
[Oplossen geeft]
\(t (-1 t^{2} + 0 t + 9) = 0\)
\(t = 0 ∨ -1 t^{2} + 0 t + 9 = 0\)
\(t = 0 ∨ 1 t^{2} + 0 t + -9 = 0\)
\(t = 0 ∨ 1 t^{2} = 9\)
\(t = 0 ∨ t = -3 ∨ t = 3\)
1p
○
[De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(x(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = -3\) geeft \(x(-3) = 22\frac{1}{2} \text{,}\) dus \((22\frac{1}{2} , 0)\)
\(t = 3\) geeft \(x(3) = 4\frac{1}{2} \text{,}\) dus \((4\frac{1}{2} , 0)\)
1p
b
\(x'(t) = 3 t - 3\)
\(y'(t) = -3 t^{2} + 9\)
1p
○
\(t = -2\) geeft het punt \((12 , -10) \text{.}\)
1p
○
[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_{l} = \overrightarrow{v} (-2) = \begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_{l} = \begin{pmatrix}3 \\ -9\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l{:}\,3 x - 9 y = c \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}l{:}\,3 x - 9 y = c \\ \text{door } (12 , -10)\end{rcases} \begin{matrix}c = 3 ⋅ 12 - 9 ⋅ -10 = 126\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,9 x - 3 y = 126 \text{.}\)
1p
c
[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v} (3) = \begin{pmatrix}x'(3) \\ y'(3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ -18\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
[Dus de baansnelheid is]
\(v(3) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (3)\end{vmatrix} = \sqrt{6^{2} + (-18)^{2}} = \sqrt{360} \text{ [} \text{} = 6 \sqrt{10} \text{]} \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -2 t^{2} + 4 t \\ y(t) = t^{3} - 12 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
a
Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((-16 , 16) \text{.}\)
3p
b
Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y \text{-}\)as.
3p
c
Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen.
a
[Oplossen van \(x(t) = -16\) geeft]
\(-2 t^{2} + 4 t = -16\)
\(-2 t^{2} + 4 t + 16 = 0\)
\(1 t^{2} + -2 t + -8 = 0\)
\((t + 2) (t + -4) = 0\)
\(t = -2 ∨ t = 4\)
1p
○
\(y(-2) = 16 \text{,}\) dus \(t = -2\) geeft het punt \((-16 , 16) \text{.}\)
1p
○
\(y(4) = 16 \text{,}\) dus \(t = 4\) geeft ook het punt \((-16 , 16) \text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.
1p
b
\(x'(t) = -4 t + 4\)
\(y'(t) = 3 t^{2} - 12\)
1p
○
[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t) = 0\)
\(-4 t + 4 = 0\)
\(-4 t = -4\)
\(t = 1\)
1p
○
\(y'(1) = -9 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = 1\) is de baan evenwijdig aan de \(y \text{-}\)as in het punt \((2 , -11) \text{.}\)
1p
c
[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(-4 t + 4)^{2} + (3 t^{2} - 12)^{2}} \text{.}\)
1p
○
Voer in
\(y_{1} = \sqrt{(-4 x + 4)^{2} + (3 x^{2} - 12)^{2}}\)
Optie 'minimum' geeft \(x = 1{,}892...\) en \(y = 3{,}784...\)
1p
○
De minimale baansnelheid is ongeveer \(3{,}78\) voor \(t = 1{,}89 \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 2 t^{2} + 4 t \\ y(t) = -\frac{2}{3} t^{3} + 8 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
4p
a
Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x \text{-}\)as.
De baan snijdt zichzelf voor \(t = -4\) en voor \(t = 2\) in het punt \((16 , 10\frac{2}{3}) \text{.}\)
4p
b
Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal.
3p
c
Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = -4 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\(x'(t) = 4 t + 4\)
\(y'(t) = -2 t^{2} + 8\)
1p
○
[Evenwijdig met de x-as, dus]
\(y'(t) = 0\)
\(-2 t^{2} + 0 t + 8 = 0\)
\(1 t^{2} + 0 t + -4 = 0\)
\(1 t^{2} = 4\)
\(t = -2 ∨ t = 2\)
1p
○
\(x'(-2) = -4 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = -2\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((0 , -10\frac{2}{3}) \text{.}\)
1p
○
\(x'(2) = 12 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = 2\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((16 , 10\frac{2}{3}) \text{.}\)
1p
b
\(\overrightarrow{v} (-4) = \begin{pmatrix}x'(-4) \\ y'(-4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-12 \\ -24\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\overrightarrow{v} (2) = \begin{pmatrix}x'(2) \\ y'(2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12 \\ 0\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\cos(\varphi ) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-12 \\ -24\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}12 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-12 \\ -24\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}12 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {144 \over \sqrt{720} ⋅ \sqrt{144}}\)
1p
○
\(\varphi = \cos^{-1}({144 \over \sqrt{720} ⋅ \sqrt{144}}) ≈ 63{,}4\degree\)
1p
c
[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(4 t + 4)^{2} + (-2 t^{2} + 8)^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{4 t^{4} - 16 t^{2} + 32 t + 80} \text{.}\)
1p
○
[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t) = v'(t)\)
\(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{4 t^{4} - 16 t^{2} + 32 t + 80}} ⋅ (16 t^{3} - 32 t + 32)\)
\(\text{} = {8 t^{3} - 16 t + 16 \over \sqrt{4 t^{4} - 16 t^{2} + 32 t + 80}}\)
1p
○
[Invullen van \(t = -4\) geeft]
\(a(-4) = {-432 \over \sqrt{720}} ≈ -16{,}10\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 1\frac{1}{2} t^{2} + 3 t \\ y(t) = -t^{3} + 12 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((12 , 16) \text{.}\)
○
[Oplossen van \(x(t) = 12\) geeft]
\(1\frac{1}{2} t^{2} + 3 t = 12\)
\({3 \over 2} t^{2} + 3 t + -12 = 0\)
\(1 t^{2} + 2 t + -8 = 0\)
\((t + 4) (t + -2) = 0\)
\(t = -4 ∨ t = 2\)
1p
○
\(y(-4) = 16 \text{,}\) dus \(t = -4\) geeft het punt \((12 , 16) \text{.}\)
1p
○
\(y(2) = 16 \text{,}\) dus \(t = 2\) geeft ook het punt \((12 , 16) \text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.
1p