Parameterkrommen

\(x'(t)=4t^2-9\)
\(y'(t)=4t-6\)

[Evenwijdig met de x-as, dus]
\(y'(t)=0\)
\(4t-6=0\)
\(4t=6\)
\(t=1\frac{1}{2}\)

\(x'(1\frac{1}{2})=0\text{,}\) dus voor \(t=1\frac{1}{2}\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((-9, -4\frac{1}{2})\text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(x\text{-}\)as.

\(x'(t)=-3t^2+12\)
\(y'(t)=-3t+3\)

[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t)=0\)
\(-3t^2+12=0\)
\(t^2-4=0\)
\(t^2=4\)
\(t=-2∨t=2\)

\(y'(-2)=9≠0\text{,}\) dus voor \(t=-2\) is de baan evenwijdig aan de \(y\text{-}\)as in het punt \((-16, -12)\text{.}\)

\(y'(2)=-3≠0\text{,}\) dus voor \(t=2\) is de baan evenwijdig aan de \(y\text{-}\)as in het punt \((16, 0)\text{.}\)

\(x'(t)=-2t^2+14\)
\(y'(t)=t-2\)

\(\overrightarrow{v}(-1)=\begin{pmatrix}x'(-1) \\ y'(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12 \\ -3\end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{v}(5)=\begin{pmatrix}x'(5) \\ y'(5)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-36 \\ 3\end{pmatrix}\)

\(\cos(\varphi )={\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}12 \\ -3\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}-36 \\ 3\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}12 \\ -3\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-36 \\ 3\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={441 \over \sqrt{153}⋅\sqrt{1\,305}}\)

\(\varphi =\cos^{-1}({441 \over \sqrt{153}⋅\sqrt{1\,305}})≈9{,}3\degree\)

\(x'(t)=-6t^2+8\)
\(y'(t)=3t+3\)

\(t=-2\) geeft het punt \((0, 0)\text{.}\)

[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_l=\overrightarrow{v}(-2)=\begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-16 \\ -3\end{pmatrix}\text{.}\)

[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_l=\begin{pmatrix}3 \\ -16\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l{:}\,3x-16y=c\text{.}\)

\(\begin{rcases}l{:}\,3x-16y=c \\ \text{door }(0, 0)\end{rcases}\begin{matrix}c=3⋅0-16⋅0=0\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,3x-16y=0\text{.}\)

Snijpunt met de \(x\text{-}\)as betekent \(y(t)=0\text{,}\) dit geeft
\(3t^3-3t=0\)

[Oplossen geeft]
\(t(3t^2-3)=0\)
\(t=0∨3t^2-3=0\)
\(t=0∨t^2-1=0\)
\(t=0∨t^2=1\)
\(t=0∨t=-1∨t=1\)

[De snijpunten met de \(x\text{-}\)as zijn dan]
\(t=0\) geeft \(x(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\)
\(t=-1\) geeft \(x(-1)=1\text{,}\) dus \((1, 0)\)
\(t=1\) geeft \(x(1)=-3\text{,}\) dus \((-3, 0)\)

Snijpunt met de \(y\text{-}\)as betekent \(x(t)=0\text{,}\) dit geeft
\(-t^2-3t=0\)

[Oplossen geeft]
\(t^2+3t=0\)
\(t(t+3)=0\)
\(t=0∨t=-3\)

[De snijpunten met de \(y\text{-}\)as zijn dan]
\(t=0\) geeft \(y(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\)
\(t=-3\) geeft \(y(-3)=30\text{,}\) dus \((0, 30)\)

[Oplossen van \(y(t)=16\) geeft]
\(2t^2-4t=16\)
\(2t^2-4t-16=0\)
\(t^2-2t-8=0\)
\((t+2)(t-4)=0\)
\(t=-2∨t=4\)

\(x(-2)=16\text{,}\) dus \(t=-2\) geeft het punt \((16, 16)\text{.}\)

\(x(4)=16\text{,}\) dus \(t=4\) geeft ook het punt \((16, 16)\text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.