Parameterkrommen

\(x'(t) = 2 t + 2\)
\(y'(t) = -8 t^{2} + 2\)

[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t) = 0\)
\(2 t + 2 = 0\)
\(2 t = -2\)
\(t = -1\)

\(y'(-1) = -6 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = -1\) is de baan evenwijdig aan de \(y \text{-}\)as in het punt \((-1 , \frac{2}{3}) \text{.}\)

\(x'(t) = -2 t + 2\)
\(y'(t) = 2 t^{2} - 8\)

[Evenwijdig met de x-as, dus]
\(y'(t) = 0\)
\(2 t^{2} + 0 t + -8 = 0\)
\(1 t^{2} + 0 t + -4 = 0\)
\(1 t^{2} = 4\)
\(t = -2 ∨ t = 2\)

\(x'(-2) = 6 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = -2\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((-8 , 10\frac{2}{3}) \text{.}\)

\(x'(2) = -2 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = 2\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((0 , -10\frac{2}{3}) \text{.}\)

\(x'(t) = 6 t^{2} - 14\)
\(y'(t) = -2 t - 2\)

\(\overrightarrow{v} (-3) = \begin{pmatrix}x'(-3) \\ y'(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}40 \\ 4\end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{v} (1) = \begin{pmatrix}x'(1) \\ y'(1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 \\ -4\end{pmatrix}\)

\(\cos(\varphi ) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}40 \\ 4\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}-8 \\ -4\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}40 \\ 4\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-8 \\ -4\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {336 \over \sqrt{1\,616} ⋅ \sqrt{80}}\)

\(\varphi = \cos^{-1}({336 \over \sqrt{1\,616} ⋅ \sqrt{80}}) ≈ 20{,}9\degree\)

\(x'(t) = -5\frac{1}{2} t - 11\)
\(y'(t) = -3 t^{2} + 4\)

\(t = -1\) geeft het punt \((8\frac{1}{4} , -3) \text{.}\)

[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_{l} = \overrightarrow{v} (-1) = \begin{pmatrix}x'(-1) \\ y'(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\frac{1}{2} \\ 1\end{pmatrix} \text{.}\)

[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_{l} = \begin{pmatrix}1 \\ 5\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l{:}\,x + 5\frac{1}{2} y = c \text{.}\)

\(\begin{rcases}l{:}\,x + 5\frac{1}{2} y = c \\ \text{door } (8\frac{1}{4} , -3)\end{rcases} \begin{matrix}c = 1 ⋅ 8\frac{1}{4} + 5\frac{1}{2} ⋅ -3 = -8\frac{1}{4}\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,5\frac{1}{2} x + y = -8\frac{1}{4} \text{.}\)

Snijpunt met de \(x \text{-}\)as betekent \(y(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(2 t^{3} - 8 t = 0\)

[Oplossen geeft]
\(t (2 t^{2} + 0 t + -8) = 0\)
\(t = 0 ∨ 2 t^{2} + 0 t + -8 = 0\)
\(t = 0 ∨ 1 t^{2} + 0 t + -4 = 0\)
\(t = 0 ∨ 1 t^{2} = 4\)
\(t = 0 ∨ t = -2 ∨ t = 2\)

[De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(x(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = -2\) geeft \(x(-2) = 16 \text{,}\) dus \((16 , 0)\)
\(t = 2\) geeft \(x(2) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)

Snijpunt met de \(y \text{-}\)as betekent \(x(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(\frac{3}{4} t^{2} - 3 t = 0\)

[Oplossen geeft]
\(1 t^{2} + -4 t + 0 = 0\)
\(t (1 t + -4) = 0\)
\(t = 0 ∨ t = 4\)

[De snijpunten met de \(y \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(y(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = 4\) geeft \(y(4) = -9\frac{1}{3} \text{,}\) dus \((0 , -9\frac{1}{3})\)

[Oplossen van \(x(t) = 20\) geeft]
\(2\frac{1}{2} t^{2} - 5 t = 20\)
\({5 \over 2} t^{2} + -5 t + -20 = 0\)
\(1 t^{2} + -2 t + -8 = 0\)
\((t + 2) (t + -4) = 0\)
\(t = -2 ∨ t = 4\)

\(y(-2) = 10\frac{2}{3} \text{,}\) dus \(t = -2\) geeft het punt \((20 , 10\frac{2}{3}) \text{.}\)

\(y(4) = 10\frac{2}{3} \text{,}\) dus \(t = 4\) geeft ook het punt \((20 , 10\frac{2}{3}) \text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.