Raaklijn opstellen
Gegeven is de functie \(f(x) = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 5 \text{.}\) Op de grafiek van \(f\) ligt het punt \(A\) met \(x_{A} = -2 \text{.}\)
4p
Stel algebraïsch de formule op van de raaklijn \(l\) aan \(f\) in \(A \text{.}\)
○
\(f(-2) = -9 \text{,}\) dus \(A (-2 , -9) \text{.}\)
1p
○
\(f(x) = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 5\) geeft \(f'(x) = 3 x^{2} + 4 x + 2 \text{.}\)
1p
○
Stel \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = f'(-2) = 6 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = 6 x + b \\ \text{door } A (-2 , -9)\end{rcases} \begin{matrix}6 ⋅ -2 + b = -9 \\ -12 + b = -9 \\ b = 3\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = 6 x + 3 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \sqrt{x+5}-4 \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = -1\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
5p
Stel algebraïsch de formule op van de raaklijn \(l\) aan \(f\) in \(A \text{.}\)
○
\(f(-1) = \sqrt{-1+5}-4 = -2 \text{,}\) dus \(A (-1 , -2)\)
1p
○
\(f(x) = \sqrt{x+5}-4\) geeft
\(f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x+5}}\)
2p
○
\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = f'(-1) = \frac{1}{2 \sqrt{-1+5}} = {1 \over 4}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = {1 \over 4} x + b \\ \text{door } A (-1 , -2)\end{rcases} \begin{matrix}{1 \over 4} -1 + b = -2 \\ {-1 \over 4} + b = -2 \\ b = {-7 \over 4}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = {1 \over 4} x + {-7 \over 4} \text{.}\)
1p