Raaklijnen aan cirkels

Kwadraatafsplitsen geeft \((x+2)^2+(y+1)^2=10\)
Dus \(M(-2, -1)\) en \(r=\sqrt{10}\text{.}\)

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={-1-0 \over -2-1}=\frac{1}{3}\text{.}\)

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=\frac{1}{3}\end{rcases}\text{rc}_l=-3\)

\(\begin{rcases}y=-3x+b \\ \text{door }A(1, 0)\end{rcases}\begin{matrix}0=-3⋅1+b \\ 0=-3+b \\ b=3\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-3x+3\text{.}\)

\(\begin{rcases}c{:}\,x^2+y^2-10x+8=0 \\ x=6\end{rcases}\) geeft
\(6^2+y^2-10⋅6+8=0\)
\(y^2-16=0\)
\(y^2=16\)
\(y=-4∨y=4\)

\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(6, 4)\) en \(B(6, -4)\text{.}\)

(kwadraatafsplitsen)
\((x-5)^2-25+y^2+8=0\)
\((x-5)^2+y^2=17\)
Dus \(M(5, 0)\text{.}\)

(voor de lijn door \(B\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{BM}}={\Delta y \over \Delta x}={0--4 \over 5-6}=-4\text{.}\)

\(\begin{rcases}\text{BM}\perp k\text{, dus }\text{rc}_{\text{BM}}⋅\text{rc}_k=-1 \\ \text{rc}_{\text{BM}}=-4\end{rcases}\text{rc}_k=\frac{1}{4}\)

\(\begin{rcases}k{:}\,y=\frac{1}{4}x+b \\ \text{door }B(6, -4)\end{rcases}\begin{matrix}-4=\frac{1}{4}⋅6+b \\ -4=1\frac{1}{2}+b \\ b=-5\frac{1}{2}\end{matrix}\)
Dus \(k{:}\,y=\frac{1}{4}x-5\frac{1}{2}\text{.}\)

Stel \(y=-2x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+2x-12y+17=0\) geeft
\(x^2+(-2x+b)^2+2x-12(-2x+b)+17=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+4x^2-4bx+b^2+2x+24x-12b+17=0\)
\(5x^2+(-4b+26)x+(b^2-12b+17)=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(-4b+26)^2-4⋅5⋅(b^2-12b+17)\)
\(D=16b^2-208b+676-20b^2+240b-340\)
\(D=-4b^2+32b+336\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2+32b+336=0\)
\(b^2-8b-84=0\)
\((b+6)(b-14)=0\)
\(b=-6∨b=14\)

De vergelijkingen zijn \(y=-2x-6\) en \(y=-2x+14\text{.}\)

Stel \(y=ax-5\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-6x+8y+20=0\) geeft
\(x^2+(ax-5)^2-6x+8(ax-5)+20=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2-10ax+25-6x+8ax-40+20=0\)
\((1+a^2)x^2+(-2a-6)x+5=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(-2a-6)^2-4⋅(1+a^2)⋅5\)
\(D=4a^2+24a+36-20-20a^2\)
\(D=-16a^2+24a+16\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-16a^2+24a+16=0\)
\(-2a^2+3a+2=0\)
\(D=3^2-4⋅-2⋅2=25\) dus \(\sqrt{D}=5\)
\(a={-3-5 \over -4}=2∨a={-3+5 \over -4}=-\frac{1}{2}\text{.}\)

De vergelijkingen zijn \(y=2x-5\) en \(y=-\frac{1}{2}x-5\text{.}\)