Raaklijnen aan cirkels

Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+(y-3)^2=13\)
Dus \(M(0, 3)\) en \(r=\sqrt{13}\text{.}\)

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={3-5 \over 0-3}=\frac{2}{3}\text{.}\)

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=\frac{2}{3}\end{rcases}\text{rc}_l=-1\frac{1}{2}\)

\(\begin{rcases}y=-1\frac{1}{2}x+b \\ \text{door }A(3, 5)\end{rcases}\begin{matrix}5=-1\frac{1}{2}⋅3+b \\ 5=-4\frac{1}{2}+b \\ b=9\frac{1}{2}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-1\frac{1}{2}x+9\frac{1}{2}\text{.}\)

Stel \(y=-\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+2x-14y+45=0\) geeft
\(x^2+(-\frac{1}{2}x+b)^2+2x-14(-\frac{1}{2}x+b)+45=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+\frac{1}{4}x^2-bx+b^2+2x+7x-14b+45=0\)
\(1\frac{1}{4}x^2+(-b+9)x+(b^2-14b+45)=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(-b+9)^2-4⋅1\frac{1}{4}⋅(b^2-14b+45)\)
\(D=b^2-18b+81-5b^2+70b-225\)
\(D=-4b^2+52b-144\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2+52b-144=0\)
\(b^2-13b+36=0\)
\((b-4)(b-9)=0\)
\(b=4∨b=9\)

De vergelijkingen zijn \(y=-\frac{1}{2}x+4\) en \(y=-\frac{1}{2}x+9\text{.}\)

Stel \(y=ax+1\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-10x-8y+24=0\) geeft
\(x^2+(ax+1)^2-10x-8(ax+1)+24=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2+2ax+1-10x-8ax-8+24=0\)
\((1+a^2)x^2+(-6a-10)x+17=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(-6a-10)^2-4⋅(1+a^2)⋅17\)
\(D=36a^2+120a+100-68-68a^2\)
\(D=-32a^2+120a+32\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-32a^2+120a+32=0\)
\(-4a^2+15a+4=0\)
\(D=15^2-4⋅-4⋅4=289\) dus \(\sqrt{D}=17\)
\(a={-15-17 \over -8}=4∨a={-15+17 \over -8}=-\frac{1}{4}\text{.}\)

De vergelijkingen zijn \(y=4x+1\) en \(y=-\frac{1}{4}x+1\text{.}\)