Raaklijnen aan cirkels

Kwadraatafsplitsen geeft \((x-2)^2+y^2=5\)
Dus \(M(2, 0)\) en \(r=\sqrt{5}\text{.}\)

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={0-1 \over 2-4}=\frac{1}{2}\text{.}\)

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=\frac{1}{2}\end{rcases}\text{rc}_l=-2\)

\(\begin{rcases}y=-2x+b \\ \text{door }A(4, 1)\end{rcases}\begin{matrix}1=-2⋅4+b \\ 1=-8+b \\ b=9\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-2x+9\text{.}\)

Stel \(y=\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+10x-20y+120=0\) geeft
\(x^2+(\frac{1}{2}x+b)^2+10x-20(\frac{1}{2}x+b)+120=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+\frac{1}{4}x^2+bx+b^2+10x-10x-20b+120=0\)
\(1\frac{1}{4}x^2+bx+(b^2-20b+120)=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=b^2-4⋅1\frac{1}{4}⋅(b^2-20b+120)\)
\(D=b^2+0-5b^2+100b-600\)
\(D=-4b^2+100b-600\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2+100b-600=0\)
\(b^2-25b+150=0\)
\((b-10)(b-15)=0\)
\(b=10∨b=15\)

De vergelijkingen zijn \(y=\frac{1}{2}x+10\) en \(y=\frac{1}{2}x+15\text{.}\)

Stel \(y=ax+2\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-12x-8y+32=0\) geeft
\(x^2+(ax+2)^2-12x-8(ax+2)+32=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2+4ax+4-12x-8ax-16+32=0\)
\((1+a^2)x^2+(-4a-12)x+20=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(-4a-12)^2-4⋅(1+a^2)⋅20\)
\(D=16a^2+96a+144-80-80a^2\)
\(D=-64a^2+96a+64\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-64a^2+96a+64=0\)
\(-2a^2+3a+2=0\)
\(D=3^2-4⋅-2⋅2=25\) dus \(\sqrt{D}=5\)
\(a={-3-5 \over -4}=2∨a={-3+5 \over -4}=-\frac{1}{2}\text{.}\)

De vergelijkingen zijn \(y=2x+2\) en \(y=-\frac{1}{2}x+2\text{.}\)