Raaklijnen aan cirkels
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 3 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (5 , 2) \text{.}\)
4p
Stel de vergelijking van \(l\) op.
○
Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 13\)
Dus \(M (3 , -1)\) en \(r = \sqrt{13} \text{.}\)
1p
○
De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {-1 - 2 \over 3 - 5} = 1\frac{1}{2} \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = 1\frac{1}{2}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -\frac{2}{3}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = -\frac{2}{3} x + b \\ \text{door } A (5 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}2 = -\frac{2}{3} ⋅ 5 + b \\ 2 = -3\frac{1}{3} + b \\ b = 5\frac{1}{3}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -\frac{2}{3} x + 5\frac{1}{3} \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 10 x - 6 y + 26 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = -3\) en \(y_{A} > y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
De lijn \(k\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(l\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\)
6p
Stel de vergelijking op van \(k \text{.}\)
○
\(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} + 10 x - 6 y + 26 = 0 \\ x = -3\end{rcases}\) geeft
\((-3)^{2} + y^{2} + 10 ⋅ -3 - 6 y + 26 = 0\)
\(1 y^{2} + -6 y + 5 = 0\)
\((y + -1) (y + -5) = 0\)
\(y = 1 ∨ y = 5\)
1p
○
\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (-3 , 5)\) en \(B (-3 , 1) \text{.}\)
1p
○
(kwadraatafsplitsen)
\((x + 5)^{2} - 25 + (y - 3)^{2} - 9 + 26 = 0\)
\((x + 5)^{2} + (y - 3)^{2} = 8\)
Dus \(M (-5 , 3) \text{.}\)
1p
○
(voor de lijn door \(A\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{AM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {3 - 5 \over -5 - -3} = 1 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}\text{AM} \perp k \text{, dus } \text{rc}_{\text{AM}} ⋅ \text{rc}_{k} = -1 \\ \text{rc}_{\text{AM}} = 1\end{rcases} \text{rc}_{k} = -1\)
1p
○
\(\begin{rcases}k{:}\,y = -x + b \\ \text{door } A (-3 , 5)\end{rcases} \begin{matrix}5 = -1 ⋅ -3 + b \\ 5 = 3 + b \\ b = 2\end{matrix}\)
Dus \(k{:}\,y = -x + 2 \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y - 3 = 0 \text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(-\frac{1}{2}\) die \(c\) raken.
5p
Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.
○
Stel \(y = -\frac{1}{2} x + b \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y - 3 = 0\) geeft
\(x^{2} + (-\frac{1}{2} x + b)^{2} + 2 x - 2 (-\frac{1}{2} x + b) - 3 = 0 \text{.}\)
1p
○
Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + \frac{1}{4} x^{2} - b x + b^{2} + 2 x + x - 2 b - 3 = 0\)
\(1\frac{1}{4} x^{2} + (-b + 3) x + (b^{2} - 2 b - 3) = 0\)
1p
○
De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (-b + 3)^{2} - 4 ⋅ 1\frac{1}{4} ⋅ (b^{2} - 2 b - 3)\)
\(D = b^{2} - 6 b + 9 - 5 b^{2} + 10 b + 15\)
\(D = -4 b^{2} + 4 b + 24\)
1p
○
Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-4 b^{2} + 4 b + 24 = 0\)
\(b^{2} - b - 6 = 0\)
\((b + 2) (b - 3) = 0\)
\(b = -2 ∨ b = 3\)
1p
○
De vergelijkingen zijn \(y = -\frac{1}{2} x - 2\) en \(y = -\frac{1}{2} x + 3 \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x + 10 y + 39 = 0\) en het punt \(A (0 , -7) \text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c \text{.}\)
5p
Stel van beide lijnen de vergelijking op.
○
Stel \(y = a x - 7 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} - 8 x + 10 y + 39 = 0\) geeft
\(x^{2} + (a x - 7)^{2} - 8 x + 10 (a x - 7) + 39 = 0 \text{.}\)
1p
○
Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + a^{2} x^{2} - 14 a x + 49 - 8 x + 10 a x - 70 + 39 = 0\)
\((1 + a^{2}) x^{2} + (-4 a - 8) x + 18 = 0\)
1p
○
De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (-4 a - 8)^{2} - 4 ⋅ (1 + a^{2}) ⋅ 18\)
\(D = 16 a^{2} + 64 a + 64 - 72 - 72 a^{2}\)
\(D = -56 a^{2} + 64 a - 8\)
1p
○
Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-56 a^{2} + 64 a - 8 = 0\)
\(-7 a^{2} + 8 a - 1 = 0\)
\(D = 8^{2} - 4 ⋅ -7 ⋅ -1 = 36\) dus \(\sqrt{D} = 6\)
\(a = {-8 - 6 \over -14} = 1 ∨ a = {-8 + 6 \over -14} = \frac{1}{7} \text{.}\)
1p
○
De vergelijkingen zijn \(y = x - 7\) en \(y = \frac{1}{7} x - 7 \text{.}\)
1p