Raaklijnen aan cirkels

a

Kwadraatafsplitsen geeft \((x+3)^2+(y-5)^2=10\)
Dus \(M(-3, 5)\) en \(r=\sqrt{10}\text{.}\)

1p

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={5-6 \over -3-0}=\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=\frac{1}{3}\end{rcases}\text{rc}_l=-3\)

1p

\(\begin{rcases}y=-3x+b \\ \text{door }A(0, 6)\end{rcases}\begin{matrix}6=-3⋅0+b \\ 6=0+b \\ b=6\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-3x+6\text{.}\)

1p

a

Stel \(y=1\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+2x+6y-3=0\) geeft
\(x^2+(1\frac{1}{2}x+b)^2+2x+6(1\frac{1}{2}x+b)-3=0\text{.}\)

1p

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+2\frac{1}{4}x^2+3bx+b^2+2x+9x+6b-3=0\)
\(3\frac{1}{4}x^2+(3b+11)x+(b^2+6b-3)=0\)

1p

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(3b+11)^2-4⋅3\frac{1}{4}⋅(b^2+6b-3)\)
\(D=9b^2+66b+121-13b^2-78b+39\)
\(D=-4b^2-12b+160\)

1p

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2-12b+160=0\)
\(b^2+3b-40=0\)
\((b+8)(b-5)=0\)
\(b=-8∨b=5\)

1p

De vergelijkingen zijn \(y=1\frac{1}{2}x-8\) en \(y=1\frac{1}{2}x+5\text{.}\)

1p

a

Stel \(y=ax-5\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-8x+6y+15=0\) geeft
\(x^2+(ax-5)^2-8x+6(ax-5)+15=0\text{.}\)

1p

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2-10ax+25-8x+6ax-30+15=0\)
\((1+a^2)x^2+(-4a-8)x+10=0\)

1p

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(-4a-8)^2-4⋅(1+a^2)⋅10\)
\(D=16a^2+64a+64-40-40a^2\)
\(D=-24a^2+64a+24\)

1p

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-24a^2+64a+24=0\)
\(-3a^2+8a+3=0\)
\(D=8^2-4⋅-3⋅3=100\) dus \(\sqrt{D}=10\)
\(a={-8-10 \over -6}=3∨a={-8+10 \over -6}=-\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

De vergelijkingen zijn \(y=3x-5\) en \(y=-\frac{1}{3}x-5\text{.}\)

1p