Raaklijnen aan cirkels

Kwadraatafsplitsen geeft \((x-1)^2+(y+3)^2=5\)
Dus \(M(1, -3)\) en \(r=\sqrt{5}\text{.}\)

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={-3--1 \over 1-2}=2\text{.}\)

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=2\end{rcases}\text{rc}_l=-\frac{1}{2}\)

\(\begin{rcases}y=-\frac{1}{2}x+b \\ \text{door }A(2, -1)\end{rcases}\begin{matrix}-1=-\frac{1}{2}⋅2+b \\ -1=-1+b \\ b=0\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{1}{2}x\text{.}\)

Stel \(y=\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+10x-18y+101=0\) geeft
\(x^2+(\frac{1}{2}x+b)^2+10x-18(\frac{1}{2}x+b)+101=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+\frac{1}{4}x^2+bx+b^2+10x-9x-18b+101=0\)
\(1\frac{1}{4}x^2+(b+1)x+(b^2-18b+101)=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(b+1)^2-4⋅1\frac{1}{4}⋅(b^2-18b+101)\)
\(D=b^2+2b+1-5b^2+90b-505\)
\(D=-4b^2+92b-504\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2+92b-504=0\)
\(b^2-23b+126=0\)
\((b-9)(b-14)=0\)
\(b=9∨b=14\)

De vergelijkingen zijn \(y=\frac{1}{2}x+9\) en \(y=\frac{1}{2}x+14\text{.}\)

Stel \(y=ax+2\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-2x+2y-3=0\) geeft
\(x^2+(ax+2)^2-2x+2(ax+2)-3=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2+4ax+4-2x+2ax+4-3=0\)
\((1+a^2)x^2+(6a-2)x+5=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(6a-2)^2-4⋅(1+a^2)⋅5\)
\(D=36a^2-24a+4-20-20a^2\)
\(D=16a^2-24a-16\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(16a^2-24a-16=0\)
\(2a^2-3a-2=0\)
\(D=(-3)^2-4⋅2⋅-2=25\) dus \(\sqrt{D}=5\)
\(a={3-5 \over 4}=-\frac{1}{2}∨a={3+5 \over 4}=2\text{.}\)

De vergelijkingen zijn \(y=-\frac{1}{2}x+2\) en \(y=2x+2\text{.}\)