Raaklijnen aan cirkels

Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+(y-3)^2=17\)
Dus \(M(0, 3)\) en \(r=\sqrt{17}\text{.}\)

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={3-7 \over 0-1}=4\text{.}\)

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=4\end{rcases}\text{rc}_l=-\frac{1}{4}\)

\(\begin{rcases}y=-\frac{1}{4}x+b \\ \text{door }A(1, 7)\end{rcases}\begin{matrix}7=-\frac{1}{4}⋅1+b \\ 7=-\frac{1}{4}+b \\ b=7\frac{1}{4}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{1}{4}x+7\frac{1}{4}\text{.}\)

Stel \(y=\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+4x+6y-67=0\) geeft
\(x^2+(\frac{1}{2}x+b)^2+4x+6(\frac{1}{2}x+b)-67=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+\frac{1}{4}x^2+bx+b^2+4x+3x+6b-67=0\)
\(1\frac{1}{4}x^2+(b+7)x+(b^2+6b-67)=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(b+7)^2-4⋅1\frac{1}{4}⋅(b^2+6b-67)\)
\(D=b^2+14b+49-5b^2-30b+335\)
\(D=-4b^2-16b+384\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2-16b+384=0\)
\(b^2+4b-96=0\)
\((b+12)(b-8)=0\)
\(b=-12∨b=8\)

De vergelijkingen zijn \(y=\frac{1}{2}x-12\) en \(y=\frac{1}{2}x+8\text{.}\)

Stel \(y=ax+7\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-12x-10y+41=0\) geeft
\(x^2+(ax+7)^2-12x-10(ax+7)+41=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2+14ax+49-12x-10ax-70+41=0\)
\((1+a^2)x^2+(4a-12)x+20=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(4a-12)^2-4⋅(1+a^2)⋅20\)
\(D=16a^2-96a+144-80-80a^2\)
\(D=-64a^2-96a+64\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-64a^2-96a+64=0\)
\(-2a^2-3a+2=0\)
\(D=(-3)^2-4⋅-2⋅2=25\) dus \(\sqrt{D}=5\)
\(a={3-5 \over -4}=\frac{1}{2}∨a={3+5 \over -4}=-2\text{.}\)

De vergelijkingen zijn \(y=\frac{1}{2}x+7\) en \(y=-2x+7\text{.}\)