Raaklijnen aan cirkels

Kwadraatafsplitsen geeft \((x-4)^2+(y-3)^2=20\)
Dus \(M(4, 3)\) en \(r=\sqrt{20}\text{.}\)

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={3-7 \over 4-6}=2\text{.}\)

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=2\end{rcases}\text{rc}_l=-\frac{1}{2}\)

\(\begin{rcases}y=-\frac{1}{2}x+b \\ \text{door }A(6, 7)\end{rcases}\begin{matrix}7=-\frac{1}{2}⋅6+b \\ 7=-3+b \\ b=10\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{1}{2}x+10\text{.}\)

\(\begin{rcases}c{:}\,x^2+y^2-4x-6y=0 \\ x=5\end{rcases}\) geeft
\(5^2+y^2-4⋅5-6y+0=0\)
\(y^2-6y+5=0\)
\((y-1)(y-5)=0\)
\(y=1∨y=5\)

\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(5, 5)\) en \(B(5, 1)\text{.}\)

(kwadraatafsplitsen)
\((x-2)^2-4+(y-3)^2-9+0=0\)
\((x-2)^2+(y-3)^2=13\)
Dus \(M(2, 3)\text{.}\)

(voor de lijn door \(B\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{BM}}={\Delta y \over \Delta x}={3-1 \over 2-5}=-\frac{2}{3}\text{.}\)

\(\begin{rcases}\text{BM}\perp l\text{, dus }\text{rc}_{\text{BM}}⋅\text{rc}_l=-1 \\ \text{rc}_{\text{BM}}=-\frac{2}{3}\end{rcases}\text{rc}_l=1\frac{1}{2}\)

\(\begin{rcases}l{:}\,y=1\frac{1}{2}x+b \\ \text{door }B(5, 1)\end{rcases}\begin{matrix}1=1\frac{1}{2}⋅5+b \\ 1=7\frac{1}{2}+b \\ b=-6\frac{1}{2}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=1\frac{1}{2}x-6\frac{1}{2}\text{.}\)

Stel \(y=1\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+4x+4y-44=0\) geeft
\(x^2+(1\frac{1}{2}x+b)^2+4x+4(1\frac{1}{2}x+b)-44=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+2\frac{1}{4}x^2+3bx+b^2+4x+6x+4b-44=0\)
\(3\frac{1}{4}x^2+(3b+10)x+(b^2+4b-44)=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(3b+10)^2-4⋅3\frac{1}{4}⋅(b^2+4b-44)\)
\(D=9b^2+60b+100-13b^2-52b+572\)
\(D=-4b^2+8b+672\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2+8b+672=0\)
\(b^2-2b-168=0\)
\((b+12)(b-14)=0\)
\(b=-12∨b=14\)

De vergelijkingen zijn \(y=1\frac{1}{2}x-12\) en \(y=1\frac{1}{2}x+14\text{.}\)

Stel \(y=ax+5\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-10x-8y+28=0\) geeft
\(x^2+(ax+5)^2-10x-8(ax+5)+28=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2+10ax+25-10x-8ax-40+28=0\)
\((1+a^2)x^2+(2a-10)x+13=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(2a-10)^2-4⋅(1+a^2)⋅13\)
\(D=4a^2-40a+100-52-52a^2\)
\(D=-48a^2-40a+48\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-48a^2-40a+48=0\)
\(-6a^2-5a+6=0\)
\(D=(-5)^2-4⋅-6⋅6=169\) dus \(\sqrt{D}=13\)
\(a={5-13 \over -12}=\frac{2}{3}∨a={5+13 \over -12}=-1\frac{1}{2}\text{.}\)

De vergelijkingen zijn \(y=\frac{2}{3}x+5\) en \(y=-1\frac{1}{2}x+5\text{.}\)