Raaklijnen aan cirkels

Kwadraatafsplitsen geeft \((x-1)^2+(y-2)^2=10\)
Dus \(M(1, 2)\) en \(r=\sqrt{10}\text{.}\)

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={2-5 \over 1-2}=3\text{.}\)

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=3\end{rcases}\text{rc}_l=-\frac{1}{3}\)

\(\begin{rcases}y=-\frac{1}{3}x+b \\ \text{door }A(2, 5)\end{rcases}\begin{matrix}5=-\frac{1}{3}⋅2+b \\ 5=-\frac{2}{3}+b \\ b=5\frac{2}{3}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{1}{3}x+5\frac{2}{3}\text{.}\)

\(\begin{rcases}c{:}\,x^2+y^2+10x+6y-19=0 \\ x=-3\end{rcases}\) geeft
\((-3)^2+y^2+10⋅-3+6y-19=0\)
\(y^2+6y-40=0\)
\((y+10)(y-4)=0\)
\(y=-10∨y=4\)

\(y_A<y_B\text{,}\) dus \(A(-3, -10)\) en \(B(-3, 4)\text{.}\)

(kwadraatafsplitsen)
\((x+5)^2-25+(y+3)^2-9-19=0\)
\((x+5)^2+(y+3)^2=53\)
Dus \(M(-5, -3)\text{.}\)

(voor de lijn door \(A\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{AM}}={\Delta y \over \Delta x}={-3--10 \over -5--3}=-3\frac{1}{2}\text{.}\)

\(\begin{rcases}\text{AM}\perp k\text{, dus }\text{rc}_{\text{AM}}⋅\text{rc}_k=-1 \\ \text{rc}_{\text{AM}}=-3\frac{1}{2}\end{rcases}\text{rc}_k=\frac{2}{7}\)

\(\begin{rcases}k{:}\,y=\frac{2}{7}x+b \\ \text{door }A(-3, -10)\end{rcases}\begin{matrix}-10=\frac{2}{7}⋅-3+b \\ -10=-\frac{6}{7}+b \\ b=-9\frac{1}{7}\end{matrix}\)
Dus \(k{:}\,y=\frac{2}{7}x-9\frac{1}{7}\text{.}\)

Stel \(y=\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+2x+14y+5=0\) geeft
\(x^2+(\frac{1}{2}x+b)^2+2x+14(\frac{1}{2}x+b)+5=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+\frac{1}{4}x^2+bx+b^2+2x+7x+14b+5=0\)
\(1\frac{1}{4}x^2+(b+9)x+(b^2+14b+5)=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(b+9)^2-4⋅1\frac{1}{4}⋅(b^2+14b+5)\)
\(D=b^2+18b+81-5b^2-70b-25\)
\(D=-4b^2-52b+56\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2-52b+56=0\)
\(b^2+13b-14=0\)
\((b+14)(b-1)=0\)
\(b=-14∨b=1\)

De vergelijkingen zijn \(y=\frac{1}{2}x-14\) en \(y=\frac{1}{2}x+1\text{.}\)

Stel \(y=ax-7\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-12x+10y+53=0\) geeft
\(x^2+(ax-7)^2-12x+10(ax-7)+53=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2-14ax+49-12x+10ax-70+53=0\)
\((1+a^2)x^2+(-4a-12)x+32=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(-4a-12)^2-4⋅(1+a^2)⋅32\)
\(D=16a^2+96a+144-128-128a^2\)
\(D=-112a^2+96a+16\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-112a^2+96a+16=0\)
\(-7a^2+6a+1=0\)
\(D=6^2-4⋅-7⋅1=64\) dus \(\sqrt{D}=8\)
\(a={-6-8 \over -14}=1∨a={-6+8 \over -14}=-\frac{1}{7}\text{.}\)

De vergelijkingen zijn \(y=x-7\) en \(y=-\frac{1}{7}x-7\text{.}\)