Raaklijnen aan cirkels

Kwadraatafsplitsen geeft \((x-1)^2+(y+5)^2=13\)
Dus \(M(1, -5)\) en \(r=\sqrt{13}\text{.}\)

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={-5--3 \over 1-4}=\frac{2}{3}\text{.}\)

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=\frac{2}{3}\end{rcases}\text{rc}_l=-1\frac{1}{2}\)

\(\begin{rcases}y=-1\frac{1}{2}x+b \\ \text{door }A(4, -3)\end{rcases}\begin{matrix}-3=-1\frac{1}{2}⋅4+b \\ -3=-6+b \\ b=3\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-1\frac{1}{2}x+3\text{.}\)

Stel \(y=\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+8x+2y-63=0\) geeft
\(x^2+(\frac{1}{2}x+b)^2+8x+2(\frac{1}{2}x+b)-63=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+\frac{1}{4}x^2+bx+b^2+8x+x+2b-63=0\)
\(1\frac{1}{4}x^2+(b+9)x+(b^2+2b-63)=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(b+9)^2-4⋅1\frac{1}{4}⋅(b^2+2b-63)\)
\(D=b^2+18b+81-5b^2-10b+315\)
\(D=-4b^2+8b+396\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2+8b+396=0\)
\(b^2-2b-99=0\)
\((b+9)(b-11)=0\)
\(b=-9∨b=11\)

De vergelijkingen zijn \(y=\frac{1}{2}x-9\) en \(y=\frac{1}{2}x+11\text{.}\)

Stel \(y=ax-6\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-8x+8y+30=0\) geeft
\(x^2+(ax-6)^2-8x+8(ax-6)+30=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2-12ax+36-8x+8ax-48+30=0\)
\((1+a^2)x^2+(-4a-8)x+18=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(-4a-8)^2-4⋅(1+a^2)⋅18\)
\(D=16a^2+64a+64-72-72a^2\)
\(D=-56a^2+64a-8\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-56a^2+64a-8=0\)
\(-7a^2+8a-1=0\)
\(D=8^2-4⋅-7⋅-1=36\) dus \(\sqrt{D}=6\)
\(a={-8-6 \over -14}=1∨a={-8+6 \over -14}=\frac{1}{7}\text{.}\)

De vergelijkingen zijn \(y=x-6\) en \(y=\frac{1}{7}x-6\text{.}\)