Raaklijnen aan cirkels

Kwadraatafsplitsen geeft \((x+3)^2+(y-5)^2=17\)
Dus \(M(-3, 5)\) en \(r=\sqrt{17}\text{.}\)

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={5-6 \over -3-1}=\frac{1}{4}\text{.}\)

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=\frac{1}{4}\end{rcases}\text{rc}_l=-4\)

\(\begin{rcases}y=-4x+b \\ \text{door }A(1, 6)\end{rcases}\begin{matrix}6=-4⋅1+b \\ 6=-4+b \\ b=10\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-4x+10\text{.}\)

Stel \(y=\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+2x+8y+12=0\) geeft
\(x^2+(\frac{1}{2}x+b)^2+2x+8(\frac{1}{2}x+b)+12=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+\frac{1}{4}x^2+bx+b^2+2x+4x+8b+12=0\)
\(1\frac{1}{4}x^2+(b+6)x+(b^2+8b+12)=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(b+6)^2-4⋅1\frac{1}{4}⋅(b^2+8b+12)\)
\(D=b^2+12b+36-5b^2-40b-60\)
\(D=-4b^2-28b-24\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2-28b-24=0\)
\(b^2+7b+6=0\)
\((b+6)(b+1)=0\)
\(b=-6∨b=-1\)

De vergelijkingen zijn \(y=\frac{1}{2}x-6\) en \(y=\frac{1}{2}x-1\text{.}\)

Stel \(y=ax+3\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-10x+4y+19=0\) geeft
\(x^2+(ax+3)^2-10x+4(ax+3)+19=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2+6ax+9-10x+4ax+12+19=0\)
\((1+a^2)x^2+(10a-10)x+40=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(10a-10)^2-4⋅(1+a^2)⋅40\)
\(D=100a^2-200a+100-160-160a^2\)
\(D=-60a^2-200a-60\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-60a^2-200a-60=0\)
\(-3a^2-10a-3=0\)
\(D=(-10)^2-4⋅-3⋅-3=64\) dus \(\sqrt{D}=8\)
\(a={10-8 \over -6}=-\frac{1}{3}∨a={10+8 \over -6}=-3\text{.}\)

De vergelijkingen zijn \(y=-\frac{1}{3}x+3\) en \(y=-3x+3\text{.}\)