Raaklijnen aan cirkels

Kwadraatafsplitsen geeft \((x-5)^2+(y+1)^2=5\)
Dus \(M(5, -1)\) en \(r=\sqrt{5}\text{.}\)

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={-1-0 \over 5-7}=\frac{1}{2}\text{.}\)

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=\frac{1}{2}\end{rcases}\text{rc}_l=-2\)

\(\begin{rcases}y=-2x+b \\ \text{door }A(7, 0)\end{rcases}\begin{matrix}0=-2⋅7+b \\ 0=-14+b \\ b=14\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-2x+14\text{.}\)

Stel \(y=1\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+2x+10y+13=0\) geeft
\(x^2+(1\frac{1}{2}x+b)^2+2x+10(1\frac{1}{2}x+b)+13=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+2\frac{1}{4}x^2+3bx+b^2+2x+15x+10b+13=0\)
\(3\frac{1}{4}x^2+(3b+17)x+(b^2+10b+13)=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(3b+17)^2-4⋅3\frac{1}{4}⋅(b^2+10b+13)\)
\(D=9b^2+102b+289-13b^2-130b-169\)
\(D=-4b^2-28b+120\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2-28b+120=0\)
\(b^2+7b-30=0\)
\((b+10)(b-3)=0\)
\(b=-10∨b=3\)

De vergelijkingen zijn \(y=1\frac{1}{2}x-10\) en \(y=1\frac{1}{2}x+3\text{.}\)

Stel \(y=ax+8\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-4x-8y+10=0\) geeft
\(x^2+(ax+8)^2-4x-8(ax+8)+10=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2+16ax+64-4x-8ax-64+10=0\)
\((1+a^2)x^2+(8a-4)x+10=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(8a-4)^2-4⋅(1+a^2)⋅10\)
\(D=64a^2-64a+16-40-40a^2\)
\(D=24a^2-64a-24\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(24a^2-64a-24=0\)
\(3a^2-8a-3=0\)
\(D=(-8)^2-4⋅3⋅-3=100\) dus \(\sqrt{D}=10\)
\(a={8-10 \over 6}=-\frac{1}{3}∨a={8+10 \over 6}=3\text{.}\)

De vergelijkingen zijn \(y=-\frac{1}{3}x+8\) en \(y=3x+8\text{.}\)