Redeneren met grenswaarden

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}9^x\) naar 0.

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^3\) heel groot en dus wordt ook \(2x^3\) heel groot.

Dus wordt \(0{,}9^x+2x^3\) heel groot.
De formule heeft dus geen grenswaarde.

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^x\) heel groot (want \(e>1\text{)}\)

Dus wordt \(4⋅e^x\) heel groot
en dus wordt \(8+4⋅e^x\) heel groot.

Dus nadert \({330 \over 8+4⋅e^x}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}58^x\) naar \(0\) (want \(0{,}58<1\text{)}\)

Dus nadert \(-20⋅0{,}58^x\) naar \(0\)
en dus nadert \(6-20⋅0{,}58^x\) naar \(6\text{.}\)

Dus nadert \({456 \over 6-20⋅0{,}58^x}\) naar \({456 \over 6}=76\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(76\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}28^x\) naar \(0\) (want \(0{,}28<1\text{).}\)

Dus nadert \(1-0{,}28^x\) naar \(1\text{.}\)

Dus nadert \(7(1-0{,}28^x)\) naar \(7⋅1=7\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(7\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^x\) heel groot (want \(e>1\text{).}\)

Dus nadert \({39 \over e^x}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(50+{39 \over e^x}\) naar \(50\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(50\text{.}\)

Er geldt \(1{,}22^{-0{,}4x}={1 \over 1{,}22^{0{,}4x}}\text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}4x\) heel groot, dus wordt \(1{,}22^{0{,}4x}\) heel groot (want \(1{,}22>1\text{),}\) en dus nadert \({1 \over 1{,}22^{0{,}4x}}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(70⋅1{,}22^{-0{,}4x}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(60+70⋅1{,}22^{-0{,}4x}\) naar \(60\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(60\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^4\) heel groot.

Dus nadert \({6 \over x^4}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(9-{6 \over x^4}\) naar \(9\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(9\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({5x^2 \over 8x^2}\text{.}\)

Er geldt \({5x^2 \over 8x^2}={5 \over 8}=\frac{5}{8}\text{.}\)

De grenswaarde van \(y\) is dus \(\frac{5}{8}\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(\ln(x)\) heel groot.

Dus wordt \(20⋅\ln(x)\) heel groot
en dus wordt \(2+20⋅\ln(x)\) heel groot.

Dus nadert \({850 \over 2+20⋅\ln(x)}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepaalt de hoogste machten van \(x\) het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \(-2x^4\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(-2x^4\) heel groot negatief.

De gegeven formule heeft dus geen grenswaarde.

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}9}\) naar \(0\text{,}\) want \(x^{-0{,}9}={1 \over x^{0{,}9}}\) en \(x^{0{,}9}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

Dus nadert \(60⋅x^{-0{,}9}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(70+60x^{-0{,}9}\) naar \(70\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(70\text{.}\)