Redeneren met grenswaarden

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}4^{x}\) naar 0.

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{4}\) heel groot en dus wordt ook \(6 x^{4}\) heel groot.

Dus wordt \(0{,}4^{x} + 6 x^{4}\) heel groot.
De formule heeft dus geen grenswaarde.

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}39^{x}\) heel groot (want \(1{,}39 > 1 \text{)}\)

Dus wordt \(14 ⋅ 1{,}39^{x}\) heel groot
en dus wordt \(21 + 14 ⋅ 1{,}39^{x}\) heel groot.

Dus nadert \({830 \over 21 + 14 ⋅ 1{,}39^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}83^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}83 < 1 \text{)}\)

Dus nadert \(-4 ⋅ 0{,}83^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(9 - 4 ⋅ 0{,}83^{x}\) naar \(9 \text{.}\)

Dus nadert \({189 \over 9 - 4 ⋅ 0{,}83^{x}}\) naar \({189 \over 9} = 21\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(21 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}7^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}7 < 1 \text{).}\)

Dus nadert \(4 - 0{,}7^{x}\) naar \(4 \text{.}\)

Dus nadert \(2 (4 - 0{,}7^{x})\) naar \(2 ⋅ 4 = 8\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(8 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{).}\)

Dus nadert \({30 \over e^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(38 - {30 \over e^{x}}\) naar \(38\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(38 \text{.}\)

Er geldt \(1{,}6^{-0{,}8 x} = {1 \over 1{,}6^{0{,}8 x}} \text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}8 x\) heel groot, dus wordt \(1{,}6^{0{,}8 x}\) heel groot (want \(1{,}6 > 1 \text{),}\) en dus nadert \({1 \over 1{,}6^{0{,}8 x}}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(70 ⋅ 1{,}6^{-0{,}8 x}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(30 + 70 ⋅ 1{,}6^{-0{,}8 x}\) naar \(30 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(30 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{3}\) heel groot.

Dus nadert \({9 \over x^{3}}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(-7 - {9 \over x^{3}}\) naar \(-7\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(-7 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({2 x \over x} \text{.}\)

Er geldt \({2 x \over x} = {2 \over 1} = 2 \text{.}\)

De grenswaarde van \(y\) is dus \(2 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(\ln(x)\) heel groot.

Dus wordt \(23 ⋅ \ln(x)\) heel groot
en dus wordt \(5 + 23 ⋅ \ln(x)\) heel groot.

Dus nadert \({310 \over 5 + 23 ⋅ \ln(x)}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepaalt de hoogste machten van \(x\) het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \(9 x^{2}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(9 x^{2}\) heel groot positief.

De gegeven formule heeft dus geen grenswaarde.

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}5}\) naar \(0 \text{,}\) want \(x^{-0{,}5} = {1 \over x^{0{,}5}}\) en \(x^{0{,}5}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

Dus nadert \(-30 ⋅ x^{-0{,}5}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(10 - 30 x^{-0{,}5}\) naar \(10 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(10 \text{.}\)