Redeneren met grenswaarden

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}9^x\) naar 0.

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^3\) heel groot en dus wordt ook \(2x^3\) heel groot.

Dus wordt \(0{,}9^x+2x^3\) heel groot.
De formule heeft dus geen grenswaarde.

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^x\) heel groot (want \(e>1\text{)}\)

Dus wordt \(10⋅e^x\) heel groot
en dus wordt \(25+10⋅e^x\) heel groot.

Dus nadert \({200 \over 25+10⋅e^x}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}25^x\) naar \(0\) (want \(0{,}25<1\text{)}\)

Dus nadert \(-22⋅0{,}25^x\) naar \(0\)
en dus nadert \(4-22⋅0{,}25^x\) naar \(4\text{.}\)

Dus nadert \({180 \over 4-22⋅0{,}25^x}\) naar \({180 \over 4}=45\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(45\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}74^x\) naar \(0\) (want \(0{,}74<1\text{).}\)

Dus nadert \(4-0{,}74^x\) naar \(4\text{.}\)

Dus nadert \(8(4-0{,}74^x)\) naar \(8⋅4=32\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(32\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^x\) heel groot (want \(e>1\text{).}\)

Dus nadert \({34 \over e^x}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(73+{34 \over e^x}\) naar \(73\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(73\text{.}\)

Er geldt \(1{,}11^{-0{,}7x}={1 \over 1{,}11^{0{,}7x}}\text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}7x\) heel groot, dus wordt \(1{,}11^{0{,}7x}\) heel groot (want \(1{,}11>1\text{),}\) en dus nadert \({1 \over 1{,}11^{0{,}7x}}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(-10⋅1{,}11^{-0{,}7x}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(70-10⋅1{,}11^{-0{,}7x}\) naar \(70\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(70\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^7\) heel groot.

Dus nadert \({1 \over x^7}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(4+{1 \over x^7}\) naar \(4\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(4\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({2x^2 \over -4x^2}\text{.}\)

Er geldt \({2x^2 \over -4x^2}={2 \over -4}=-\frac{1}{2}\text{.}\)

De grenswaarde van \(y\) is dus \(-\frac{1}{2}\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(\ln(x)\) heel groot.

Dus wordt \(14⋅\ln(x)\) heel groot
en dus wordt \(6+14⋅\ln(x)\) heel groot.

Dus nadert \({670 \over 6+14⋅\ln(x)}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepaalt de hoogste machten van \(x\) het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \(-7x^3\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(-7x^3\) heel groot negatief.

De gegeven formule heeft dus geen grenswaarde.

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}2}\) naar \(0\text{,}\) want \(x^{-0{,}2}={1 \over x^{0{,}2}}\) en \(x^{0{,}2}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

Dus nadert \(-80⋅x^{-0{,}2}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(10-80x^{-0{,}2}\) naar \(10\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(10\text{.}\)