Redeneren met grenswaarden

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}2^x\) naar 0.

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^4\) heel groot en dus wordt ook \(6x^4\) heel groot.

Dus wordt \(0{,}2^x+6x^4\) heel groot.
De formule heeft dus geen grenswaarde.

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^x\) heel groot (want \(e>1\text{)}\)

Dus wordt \(10⋅e^x\) heel groot
en dus wordt \(20+10⋅e^x\) heel groot.

Dus nadert \({330 \over 20+10⋅e^x}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}25^x\) naar \(0\) (want \(0{,}25<1\text{)}\)

Dus nadert \(-10⋅0{,}25^x\) naar \(0\)
en dus nadert \(7-10⋅0{,}25^x\) naar \(7\text{.}\)

Dus nadert \({98 \over 7-10⋅0{,}25^x}\) naar \({98 \over 7}=14\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(14\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}85^x\) naar \(0\) (want \(0{,}85<1\text{).}\)

Dus nadert \(5-0{,}85^x\) naar \(5\text{.}\)

Dus nadert \(4(5-0{,}85^x)\) naar \(4⋅5=20\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(20\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}29^x\) heel groot (want \(1{,}29>1\text{).}\)

Dus nadert \({82 \over 1{,}29^x}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(75-{82 \over 1{,}29^x}\) naar \(75\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(75\text{.}\)

Er geldt \(e^{-0{,}4x}={1 \over e^{0{,}4x}}\text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}4x\) heel groot, dus wordt \(e^{0{,}4x}\) heel groot (want \(e>1\text{),}\) en dus nadert \({1 \over e^{0{,}4x}}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(-50⋅e^{-0{,}4x}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(70-50⋅e^{-0{,}4x}\) naar \(70\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(70\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^5\) heel groot.

Dus nadert \({2 \over x^5}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(6-{2 \over x^5}\) naar \(6\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(6\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({-7x^2 \over -5x^2}\text{.}\)

Er geldt \({-7x^2 \over -5x^2}={-7 \over -5}=1\frac{2}{5}\text{.}\)

De grenswaarde van \(y\) is dus \(1\frac{2}{5}\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(\ln(x)\) heel groot.

Dus wordt \(2⋅\ln(x)\) heel groot
en dus wordt \(1+2⋅\ln(x)\) heel groot.

Dus nadert \({740 \over 1+2⋅\ln(x)}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepaalt de hoogste machten van \(x\) het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \(8x^3\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(8x^3\) heel groot positief.

De gegeven formule heeft dus geen grenswaarde.

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}5}\) naar \(0\text{,}\) want \(x^{-0{,}5}={1 \over x^{0{,}5}}\) en \(x^{0{,}5}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

Dus nadert \(-80⋅x^{-0{,}5}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(30-80x^{-0{,}5}\) naar \(30\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(30\text{.}\)