Redeneren met grenswaarden
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 0{,}6^{x} + 7 x^{3}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}6^{x}\) naar 0.
1p
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{3}\) heel groot en dus wordt ook \(7 x^{3}\) heel groot.
1p
○
Dus wordt \(0{,}6^{x} + 7 x^{3}\) heel groot.
De formule heeft dus geen grenswaarde.
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = {230 \over 3 + 7 ⋅ e^{x}}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{)}\)
1p
○
Dus wordt \(7 ⋅ e^{x}\) heel groot
en dus wordt \(3 + 7 ⋅ e^{x}\) heel groot.
1p
○
Dus nadert \({230 \over 3 + 7 ⋅ e^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = {128 \over 8 - 4 ⋅ 0{,}76^{x}}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}76^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}76 < 1 \text{)}\)
1p
○
Dus nadert \(-4 ⋅ 0{,}76^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(8 - 4 ⋅ 0{,}76^{x}\) naar \(8 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \({128 \over 8 - 4 ⋅ 0{,}76^{x}}\) naar \({128 \over 8} = 16\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(16 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 11 (2 - 0{,}41^{x})\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}41^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}41 < 1 \text{).}\)
1p
○
Dus nadert \(2 - 0{,}41^{x}\) naar \(2 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(11 (2 - 0{,}41^{x})\) naar \(11 ⋅ 2 = 22\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(22 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 50 - {68 \over e^{x}}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{).}\)
1p
○
Dus nadert \({68 \over e^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(50 - {68 \over e^{x}}\) naar \(50\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(50 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 90 + 70 ⋅ 1{,}33^{-0{,}1 x}\)
○
Er geldt \(1{,}33^{-0{,}1 x} = {1 \over 1{,}33^{0{,}1 x}} \text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}1 x\) heel groot, dus wordt \(1{,}33^{0{,}1 x}\) heel groot (want \(1{,}33 > 1 \text{),}\) en dus nadert \({1 \over 1{,}33^{0{,}1 x}}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(70 ⋅ 1{,}33^{-0{,}1 x}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(90 + 70 ⋅ 1{,}33^{-0{,}1 x}\) naar \(90 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(90 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = -1 + {9 \over x^{8}}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{8}\) heel groot.
1p
○
Dus nadert \({9 \over x^{8}}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(-1 + {9 \over x^{8}}\) naar \(-1\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(-1 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = {-4 x - 2 \over x + 3}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({-4 x \over x} \text{.}\)
1p
○
Er geldt \({-4 x \over x} = {-4 \over 1} = -4 \text{.}\)
1p
○
De grenswaarde van \(y\) is dus \(-4 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = {570 \over 6 + 5 ⋅ \ln(x)}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(\ln(x)\) heel groot.
1p
○
Dus wordt \(5 ⋅ \ln(x)\) heel groot
en dus wordt \(6 + 5 ⋅ \ln(x)\) heel groot.
1p
○
Dus nadert \({570 \over 6 + 5 ⋅ \ln(x)}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = -5 x^{2} + 7\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan bepaalt de hoogste machten van \(x\) het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \(-5 x^{2}\)
1p
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(-5 x^{2}\) heel groot negatief.
1p
○
De gegeven formule heeft dus geen grenswaarde.
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 50 - 30 ⋅ x^{-0{,}4}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}4}\) naar \(0 \text{,}\) want \(x^{-0{,}4} = {1 \over x^{0{,}4}}\) en \(x^{0{,}4}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.
1p
○
Dus nadert \(-30 ⋅ x^{-0{,}4}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(50 - 30 x^{-0{,}4}\) naar \(50 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(50 \text{.}\)
1p