Redeneren met grenswaarden

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}2^x\) naar 0.

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^2\) heel groot en dus wordt ook \(7x^2\) heel groot.

Dus wordt \(0{,}2^x+7x^2\) heel groot.
De formule heeft dus geen grenswaarde.

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^x\) heel groot (want \(e>1\text{)}\)

Dus wordt \(20⋅e^x\) heel groot
en dus wordt \(25+20⋅e^x\) heel groot.

Dus nadert \({680 \over 25+20⋅e^x}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}43^x\) naar \(0\) (want \(0{,}43<1\text{)}\)

Dus nadert \(22⋅0{,}43^x\) naar \(0\)
en dus nadert \(2+22⋅0{,}43^x\) naar \(2\text{.}\)

Dus nadert \({156 \over 2+22⋅0{,}43^x}\) naar \({156 \over 2}=78\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(78\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}77^x\) naar \(0\) (want \(0{,}77<1\text{).}\)

Dus nadert \(4+0{,}77^x\) naar \(4\text{.}\)

Dus nadert \(15(4+0{,}77^x)\) naar \(15⋅4=60\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(60\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}23^x\) heel groot (want \(1{,}23>1\text{).}\)

Dus nadert \({18 \over 1{,}23^x}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(77-{18 \over 1{,}23^x}\) naar \(77\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(77\text{.}\)

Er geldt \(e^{-0{,}6x}={1 \over e^{0{,}6x}}\text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}6x\) heel groot, dus wordt \(e^{0{,}6x}\) heel groot (want \(e>1\text{),}\) en dus nadert \({1 \over e^{0{,}6x}}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(10⋅e^{-0{,}6x}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(20+10⋅e^{-0{,}6x}\) naar \(20\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(20\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^6\) heel groot.

Dus nadert \({9 \over x^6}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(-2+{9 \over x^6}\) naar \(-2\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(-2\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({-9x^2 \over -6x^2}\text{.}\)

Er geldt \({-9x^2 \over -6x^2}={-9 \over -6}=1\frac{1}{2}\text{.}\)

De grenswaarde van \(y\) is dus \(1\frac{1}{2}\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(\ln(x)\) heel groot.

Dus wordt \(5⋅\ln(x)\) heel groot
en dus wordt \(24+5⋅\ln(x)\) heel groot.

Dus nadert \({340 \over 24+5⋅\ln(x)}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepaalt de hoogste machten van \(x\) het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \(-2x^3\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(-2x^3\) heel groot negatief.

De gegeven formule heeft dus geen grenswaarde.

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}7}\) naar \(0\text{,}\) want \(x^{-0{,}7}={1 \over x^{0{,}7}}\) en \(x^{0{,}7}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

Dus nadert \(10⋅x^{-0{,}7}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(40+10x^{-0{,}7}\) naar \(40\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(40\text{.}\)