Snelheid en versnelling

0c - 3 oefeningen

BaansnelheidBerekenen
00qv - Snelheid en versnelling - basis - 455ms
Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 10.5

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 3 t^{3} - 12 t \\ y(t) = 2\frac{1}{2} t^{2} - 5 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Oxy

3p

Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = -1 \text{.}\)

\(x'(t) = 9 t^{2} - 12\)
\(y'(t) = 5 t - 5\)

1p

[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v} (-1) = \begin{pmatrix}x'(-1) \\ y'(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ -10\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

[Dus de baansnelheid is]
\(v(-1) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (-1)\end{vmatrix} = \sqrt{(-3)^{2} + (-10)^{2}} = \sqrt{109} \text{.}\)

1p

BaansnelheidMinimaliseren
00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms
Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 10.5

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = \frac{2}{3} t^{3} - 2 t \\ y(t) = -2 t^{2} - 6 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Oxy

4p

Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen.

\(x'(t) = 2 t^{2} - 2\)
\(y'(t) = -4 t - 6\)

1p

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(2 t^{2} - 2)^{2} + (-4 t - 6)^{2}} \text{.}\)

1p

Voer in
\(y_{1} = \sqrt{(2 x^{2} - 2)^{2} + (-4 x - 6)^{2}}\)
Optie 'minimum' geeft \(x = -1{,}213...\) en \(y = 1{,}485...\)

1p

De minimale baansnelheid is ongeveer \(1{,}49\) voor \(t = -1{,}21 \text{.}\)

1p

BaanversnellingBerekenen
00qx - Snelheid en versnelling - basis - 1ms
Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 10.5

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -2 t^{3} + 2 t \\ y(t) = -3 t^{2} + 6 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Oxy

4p

Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = -1 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

\(x'(t) = -6 t^{2} + 2\)
\(y'(t) = -6 t + 6\)

1p

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(-6 t^{2} + 2)^{2} + (-6 t + 6)^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{36 t^{4} + 12 t^{2} - 72 t + 40} \text{.}\)

1p

[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t) = v'(t)\)
\(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{36 t^{4} + 12 t^{2} - 72 t + 40}} ⋅ (144 t^{3} + 24 t - 72)\)
\(\text{} = {72 t^{3} + 12 t - 36 \over \sqrt{36 t^{4} + 12 t^{2} - 72 t + 40}}\)

1p

[Invullen van \(t = -1\) geeft]
\(a(-1) = {-120 \over \sqrt{160}} ≈ -9{,}49\)

1p

00qv 00qw 00qx