Snelheid en versnelling

0c - 3 oefeningen

BaansnelheidBerekenen 00qv - Snelheid en versnelling - basis - 399ms	Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 10.5
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = \frac{2}{3} t^{3} - 2 t \\ y(t) = \frac{1}{4} t^{2} + t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = -3 \text{.}\)	○ \(x'(t) = 2 t^{2} - 2\) \(y'(t) = \frac{1}{2} t + 1\) 1p ○ [Voor de snelheidsvector geldt] \(\overrightarrow{v} (-3) = \begin{pmatrix}x'(-3) \\ y'(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16 \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ [Dus de baansnelheid is] \(v(-3) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (-3)\end{vmatrix} = \sqrt{16^{2} + (-\frac{1}{2})^{2}} = \sqrt{256\frac{1}{4}} \text{ [} \text{} = 2\frac{1}{2} \sqrt{41} \text{]} \text{.}\) 1p
BaansnelheidMinimaliseren 00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms	Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 10.5
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = \frac{1}{3} t^{3} - 4 t \\ y(t) = 2 t^{2} + 4 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen.	○ \(x'(t) = t^{2} - 4\) \(y'(t) = 4 t + 4\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\) \(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{(t^{2} - 4)^{2} + (4 t + 4)^{2}} \text{.}\) 1p ○ Voer in \(y_{1} = \sqrt{(x^{2} - 4)^{2} + (4 x + 4)^{2}}\) Optie 'minimum' geeft \(x = -1{,}364...\) en \(y = 2{,}587...\) 1p ○ De minimale baansnelheid is ongeveer \(2{,}59\) voor \(t = -1{,}36 \text{.}\) 1p
BaanversnellingBerekenen 00qx - Snelheid en versnelling - basis - 0ms	Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 10.5
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = 1\frac{1}{2} t^{2} - 6 t \\ y(t) = 1\frac{2}{3} t^{3} - 15 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = 3 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.	○ \(x'(t) = 3 t - 6\) \(y'(t) = 5 t^{2} - 15\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\) \(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{(3 t - 6)^{2} + (5 t^{2} - 15)^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{25 t^{4} - 141 t^{2} - 36 t + 261} \text{.}\) 1p ○ [De formule voor de baanversnelling is dan] \(a(t) = v'(t)\) \(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{25 t^{4} - 141 t^{2} - 36 t + 261}} ⋅ (100 t^{3} - 282 t - 36)\) \(\text{} = {50 t^{3} - 141 t - 18 \over \sqrt{25 t^{4} - 141 t^{2} - 36 t + 261}}\) 1p ○ [Invullen van \(t = 3\) geeft] \(a(3) = {909 \over \sqrt{909}} ≈ 30{,}15\) 1p

00qv 00qw 00qx