Snelheid en versnelling
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -2 t^{3} + 14 t \\ y(t) = -2\frac{1}{2} t^{2} - 5 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = 1 \text{.}\)
○
\(x'(t) = -6 t^{2} + 14\)
\(y'(t) = -5 t - 5\)
1p
○
[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v} (1) = \begin{pmatrix}x'(1) \\ y'(1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 \\ -10\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
[Dus de baansnelheid is]
\(v(1) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (1)\end{vmatrix} = \sqrt{8^{2} + (-10)^{2}} = \sqrt{164} \text{ [} \text{} = 2 \sqrt{41} \text{]} \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 2 t^{3} - 2 t \\ y(t) = -2 t^{2} - 4 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
4p
Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen.
○
\(x'(t) = 6 t^{2} - 2\)
\(y'(t) = -4 t - 4\)
1p
○
[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(6 t^{2} - 2)^{2} + (-4 t - 4)^{2}} \text{.}\)
1p
○
Voer in
\(y_{1} = \sqrt{(6 x^{2} - 2)^{2} + (-4 x - 4)^{2}}\)
Optie 'minimum' geeft \(x = -0{,}666...\) en \(y = 1{,}490...\)
1p
○
De minimale baansnelheid is ongeveer \(1{,}49\) voor \(t = -0{,}67 \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -t^{2} - 4 t \\ y(t) = -\frac{2}{3} t^{3} + 14 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
4p
Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = -1 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
○
\(x'(t) = -2 t - 4\)
\(y'(t) = -2 t^{2} + 14\)
1p
○
[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(-2 t - 4)^{2} + (-2 t^{2} + 14)^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{4 t^{4} - 52 t^{2} + 16 t + 212} \text{.}\)
1p
○
[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t) = v'(t)\)
\(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{4 t^{4} - 52 t^{2} + 16 t + 212}} ⋅ (16 t^{3} - 104 t + 16)\)
\(\text{} = {8 t^{3} - 52 t + 8 \over \sqrt{4 t^{4} - 52 t^{2} + 16 t + 212}}\)
1p
○
[Invullen van \(t = -1\) geeft]
\(a(-1) = {52 \over \sqrt{148}} ≈ 4{,}27\)
1p