Toepassingen van de afgeleide functie

2b - 3 oefeningen

LoodrechteLijnOpstellen
00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 34ms - data pool: #536 (33ms)
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 6.4 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 6.4 Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B - 6.4

Gegeven is de functie \(f(x) = {-9 \over 2 x - 7}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = 5 \text{.}\)

De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\)

OxyAB

7p

Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\)

\(f(5) = -3 \text{,}\) dus \(A (5 , -3)\)

1p

\(f(x) = {-9 \over 2 x - 7} = -9 (2 x - 7)^{-1}\) geeft
\(f'(x) = -9 ⋅ -1 ⋅ (2 x - 7)^{-2} ⋅ 2 = {18 \over (2 x - 7)^{2}}\)

2p

\(\text{rc}_{k} = f'(5) = 2\)

1p

\(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = -\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(y = -\frac{1}{2} x + b\)

1p

\(\begin{rcases}y = -\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (5 , -3)\end{rcases} \begin{matrix}-\frac{1}{2} ⋅ 5 + b = -3 \\ -2\frac{1}{2} + b = -3 \\ b = -\frac{1}{2}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \text{.}\)

1p

\(B (0 , -\frac{1}{2})\)

1p

RaaklijnAanSnijdendeParabolen
00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 26ms - data pool: #503 (26ms)
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 6.4 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 6.4 Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B - 6.4

Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} - 3 x - 3\) en \(g(x) = -x^{2} + 2 x + 4 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\)

OxyABC

7p

Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\)

De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit
\(x^{2} - 3 x - 3 = -x^{2} + 2 x + 4\)
\(2 x^{2} - 5 x - 7 = 0\)
\(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = (-5)^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ -7 = 81\) geeft
\(x = {5 - \sqrt{81} \over 2 ⋅ 2} = -1 ∨ x = {5 + \sqrt{81} \over 2 ⋅ 2} = 3\frac{1}{2}\)

1p

\(x_{A} = -1 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-1) = 1\)

1p

\(g'(x) = -2 x + 2\)

1p

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-1) = 4 \text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}y = 4 x + b \\ \text{door } A (-1 , 1)\end{rcases} \begin{matrix}4 ⋅ -1 + b = 1 \\ -4 + b = 1 \\ b = 5\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = 4 x + 5 \text{.}\)

1p

Snijpunt \(C\) volgt uit
\(x^{2} - 3 x - 3 = 4 x + 5\)
\(x^{2} - 7 x - 8 = 0\)
\((x + 1) (x - 8) = 0\)
\(x = -1 ∨ x = 8\)

1p

\(x_{C} = 8 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(8) = 37\) en
\(C (8 , 37) \text{.}\)

1p

RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient
00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 6.1 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 2.4 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 6.1 Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B - 2.5

Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + 4 x^{2} + 13 x + 1\frac{2}{3} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-2 \text{.}\)

4p

Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\)

\(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + 4 x^{2} + 13 x + 1\frac{2}{3}\) geeft \(f'(x) = x^{2} + 8 x + 13 \text{.}\)

1p

\(f'(x) = -2\) geeft
\(x^{2} + 8 x + 13 = -2\)
\(x^{2} + 8 x + 15 = 0\)
\((x + 5) (x + 3) = 0\)
\(x = -5 ∨ x = -3 \text{.}\)

1p

\(f(-5) = -5 \text{,}\) dus \(A (-5 , -5) \text{.}\)

1p

\(f(-3) = -10\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(B (-3 , -10\frac{1}{3}) \text{.}\)

1p

00jh 00jq 00a4