Toepassingen van de afgeleide functie

\(f'(x)=5x^4-12x^2+4\)

\(f'(\sqrt{2})=5(\sqrt{2})^4-12(\sqrt{2})^2+4=0\)

Schets:

\(f'(\sqrt{2})=0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x=\sqrt{2}\text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x=\sqrt{2}\text{.}\)

\(f'(x)=-6x^2-6x+120\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(-6x^2-6x+120=0\)
\(x^2+x-20=0\)
\((x+5)(x-4)=0\)
\(x=-5∨x=4\)

Schets:

min. is \(f(-5)=-454\) en max. is \(f(4)=275\text{.}\)

\(f'(x)=-12x^3+72x^2-60x\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(-12x^3+72x^2-60x=0\)
\(x^3-6x^2+5x=0\)
\(x(x-1)(x-5)=0\)
\(x=0∨x=1∨x=5\)

Schets:

max. is \(f(0)=12\text{,}\) min. is \(f(1)=3\) en max. is \(f(5)=387\text{.}\)

\(f(x)=\frac{3}{4}x-\sqrt{3x-4}=\frac{3}{4}x-(3x-4)^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}⋅(3x-4)^{-\frac{1}{2}}⋅3=\frac{3}{4}-{3 \over 2\sqrt{3x-4}}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{3}{4}-{3 \over 2\sqrt{3x-4}}=0\)
\(-{3 \over 2\sqrt{3x-4}}=-\frac{3}{4}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(6\sqrt{3x-4}=12\)
\(\sqrt{3x-4}=2\)

Kwadrateren geeft
\(3x-4=4\)
\(x=2\frac{2}{3}\)

Schets:

min. is \(f(2\frac{2}{3})=0\text{.}\)

\(3x-4≥0\) geeft \(x≥1\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(D_f=[1\frac{1}{3}, \rightarrow ⟩\text{.}\)

min. is \(f(2\frac{2}{3})=0\text{,}\) dus \(B_f=[0, \rightarrow ⟩\text{.}\)

Uitdelen geeft
\(f(x)={4x^2+11x+1 \over 3x}={4x^2 \over 3x}+{11x \over 3x}+{1 \over 3x}=\frac{4}{3}x+\frac{11}{3}+\frac{1}{3}x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x)=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}⋅-1⋅x^{-2}=\frac{4}{3}-{1 \over 3x^2}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{4}{3}-{1 \over 3x^2}=0\)
\(\frac{4}{3}={1 \over 3x^2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(12x^2=3\)
\(x^2=\frac{1}{4}\)
\(x=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}∨x=-\sqrt{\frac{1}{4}}=-\frac{1}{2}\)

Schets:

min. is \(f(-\frac{1}{2})=2\frac{1}{3}\) en max. is \(f(\frac{1}{2})=5\text{.}\)

\(f(3)=3\text{,}\) dus \(A(3, 3)\)

\(f(x)={-6 \over 2x-8}=-6(2x-8)^{-1}\) geeft
\(f'(x)=-6⋅-1⋅(2x-8)^{-2}⋅2={12 \over (2x-8)^2}\)

\(\text{rc}_k=f'(3)=3\)

\(\text{rc}_k⋅\text{rc}_l=-1\) geeft \(\text{rc}_l=-\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(y=-\frac{1}{3}x+b\)

\(\begin{rcases}y=-\frac{1}{3}x+b \\ \text{door }A(3, 3)\end{rcases}\begin{matrix}-\frac{1}{3}⋅3+b=3 \\ -1+b=3 \\ b=4\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{1}{3}x+4\text{.}\)

\(B(0, 4)\)

\(f(2)=8\text{,}\) dus \(A(2, 8)\text{.}\)

\(f(x)=-x^3+3x^2+x+2\) geeft \(f'(x)=-3x^2+6x+1\text{.}\)

Stel \(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=f'(2)=1\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=x+b \\ \text{door }A(2, 8)\end{rcases}\begin{matrix}1⋅2+b=8 \\ 2+b=8 \\ b=6\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=x+6\text{.}\)

De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit
\(x^2+5x+3=-x^2-4x-1\)
\(2x^2+9x+4=0\)
\(abc\text{-}\)formule met \(D=9^2-4⋅2⋅4=49\) geeft
\(x={-9-\sqrt{49} \over 2⋅2}=-4∨x={-9+\sqrt{49} \over 2⋅2}=-\frac{1}{2}\)

\(x_A=-4\text{,}\) dus \(y_A=g(-4)=-1\)

\(g'(x)=-2x-4\)

\(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=g'(-4)=4\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=4x+b \\ \text{door }A(-4, -1)\end{rcases}\begin{matrix}4⋅-4+b=-1 \\ -16+b=-1 \\ b=15\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=4x+15\text{.}\)

Snijpunt \(C\) volgt uit
\(x^2+5x+3=4x+15\)
\(x^2+x-12=0\)
\((x+4)(x-3)=0\)
\(x=-4∨x=3\)

\(x_C=3\text{,}\) dus \(y_C=f(3)=27\) en
\(C(3, 27)\text{.}\)

\(f(x)=\frac{1}{3}x^3+1\frac{1}{2}x^2-14x+\frac{2}{3}\) geeft \(f'(x)=x^2+3x-14\text{.}\)

\(f'(x)=-4\) geeft
\(x^2+3x-14=-4\)
\(x^2+3x-10=0\)
\((x+5)(x-2)=0\)
\(x=-5∨x=2\text{.}\)

\(f(-5)=66\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(A(-5, 66\frac{1}{2})\text{.}\)

\(f(2)=-18\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(B(2, -18\frac{2}{3})\text{.}\)