Toepassingen van de afgeleide functie

\(f'(x)=-5x^4+9x^2+2\)

\(f'(\sqrt{2})=-5(\sqrt{2})^4+9(\sqrt{2})^2+2=0\)

Schets:

\(f'(\sqrt{2})=0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x=\sqrt{2}\text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x=\sqrt{2}\text{.}\)

\(f'(x)=3x^2+24x+45\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(3x^2+24x+45=0\)
\(x^2+8x+15=0\)
\((x+5)(x+3)=0\)
\(x=-5∨x=-3\)

Schets:

max. is \(f(-5)=-5\) en min. is \(f(-3)=-9\text{.}\)

\(f'(x)=12x^3-12x\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(12x^3-12x=0\)
\(x^3-x=0\)
\(x(x+1)(x-1)=0\)
\(x=0∨x=-1∨x=1\)

Schets:

min. is \(f(-1)=37\text{,}\) max. is \(f(0)=40\) en min. is \(f(1)=37\text{.}\)

\(f(x)=\frac{3}{4}x-\sqrt{3x-5}=\frac{3}{4}x-(3x-5)^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}⋅(3x-5)^{-\frac{1}{2}}⋅3=\frac{3}{4}-{3 \over 2\sqrt{3x-5}}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{3}{4}-{3 \over 2\sqrt{3x-5}}=0\)
\(-{3 \over 2\sqrt{3x-5}}=-\frac{3}{4}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(6\sqrt{3x-5}=12\)
\(\sqrt{3x-5}=2\)

Kwadrateren geeft
\(3x-5=4\)
\(x=3\)

Schets:

min. is \(f(3)=\frac{1}{4}\text{.}\)

\(3x-5≥0\) geeft \(x≥1\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(D_f=[1\frac{2}{3}, \rightarrow ⟩\text{.}\)

min. is \(f(3)=\frac{1}{4}\text{,}\) dus \(B_f=[\frac{1}{4}, \rightarrow ⟩\text{.}\)

Uitdelen geeft
\(f(x)={4x^2+x+49 \over 7x}={4x^2 \over 7x}+{x \over 7x}+{49 \over 7x}=\frac{4}{7}x+\frac{1}{7}+7x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x)=\frac{4}{7}+7⋅-1⋅x^{-2}=\frac{4}{7}-{7 \over x^2}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{4}{7}-{7 \over x^2}=0\)
\(\frac{4}{7}={7 \over x^2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(4x^2=49\)
\(x^2=\frac{49}{4}\)
\(x=\sqrt{\frac{49}{4}}=3\frac{1}{2}∨x=-\sqrt{\frac{49}{4}}=-3\frac{1}{2}\)

Schets:

min. is \(f(-3\frac{1}{2})=-3\frac{6}{7}\) en max. is \(f(3\frac{1}{2})=4\frac{1}{7}\text{.}\)

\(f(-5)=3\text{,}\) dus \(A(-5, 3)\)

\(f(x)={-3 \over x+4}=-3(x+4)^{-1}\) geeft
\(f'(x)=-3⋅-1⋅(x+4)^{-2}⋅1={3 \over (x+4)^2}\)

\(\text{rc}_k=f'(-5)=3\)

\(\text{rc}_k⋅\text{rc}_l=-1\) geeft \(\text{rc}_l=-\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(y=-\frac{1}{3}x+b\)

\(\begin{rcases}y=-\frac{1}{3}x+b \\ \text{door }A(-5, 3)\end{rcases}\begin{matrix}-\frac{1}{3}⋅-5+b=3 \\ 1\frac{2}{3}+b=3 \\ b=1\frac{1}{3}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{1}{3}x+1\frac{1}{3}\text{.}\)

\(B(0, 1\frac{1}{3})\)

\(f(-1)=-4\text{,}\) dus \(A(-1, -4)\text{.}\)

\(f(x)=4x^3+x^2-5x-6\) geeft \(f'(x)=12x^2+2x-5\text{.}\)

Stel \(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=f'(-1)=5\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=5x+b \\ \text{door }A(-1, -4)\end{rcases}\begin{matrix}5⋅-1+b=-4 \\ -5+b=-4 \\ b=1\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=5x+1\text{.}\)

De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit
\(x^2+2x-3=-x^2+x+3\)
\(2x^2+x-6=0\)
\(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c\text{-}\)formule met \(D=1^2-4⋅2⋅-6=49\) geeft
\(x={-1-\sqrt{49} \over 2⋅2}=-2∨x={-1+\sqrt{49} \over 2⋅2}=1\frac{1}{2}\)

\(x_A=-2\text{,}\) dus \(y_A=g(-2)=-3\)

\(g'(x)=-2x+1\)

\(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=g'(-2)=5\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=5x+b \\ \text{door }A(-2, -3)\end{rcases}\begin{matrix}5⋅-2+b=-3 \\ -10+b=-3 \\ b=7\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=5x+7\text{.}\)

Snijpunt \(C\) volgt uit
\(x^2+2x-3=5x+7\)
\(x^2-3x-10=0\)
\((x+2)(x-5)=0\)
\(x=-2∨x=5\)

\(x_C=5\text{,}\) dus \(y_C=f(5)=32\) en
\(C(5, 32)\text{.}\)

\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-2\frac{1}{2}x^2+x+\frac{1}{2}\) geeft \(f'(x)=x^2-5x+1\text{.}\)

\(f'(x)=-5\) geeft
\(x^2-5x+1=-5\)
\(x^2-5x+6=0\)
\((x-2)(x-3)=0\)
\(x=2∨x=3\text{.}\)

\(f(2)=-4\frac{5}{6}\text{,}\) dus \(A(2, -4\frac{5}{6})\text{.}\)

\(f(3)=-10\text{,}\) dus \(B(3, -10)\text{.}\)