Toepassingen van de afgeleide functie
Gegeven is de functie \(f(x) = {4 \over 2 x + 8}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = -5 \text{.}\)
De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\)
7p
Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\)
○
\(f(-5) = -2 \text{,}\) dus \(A (-5 , -2)\)
1p
○
\(f(x) = {4 \over 2 x + 8} = 4 (2 x + 8)^{-1}\) geeft
\(f'(x) = 4 ⋅ -1 ⋅ (2 x + 8)^{-2} ⋅ 2 = {-8 \over (2 x + 8)^{2}}\)
2p
○
\(\text{rc}_{k} = f'(-5) = -2\)
1p
○
\(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = \frac{1}{2} \text{,}\) dus \(y = \frac{1}{2} x + b\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = \frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (-5 , -2)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{2} ⋅ -5 + b = -2 \\ -2\frac{1}{2} + b = -2 \\ b = \frac{1}{2}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \text{.}\)
1p
○
\(B (0 , \frac{1}{2})\)
1p
Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} + 2 x + 1\) en \(g(x) = -x^{2} + 4 x + 5 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\)
7p
Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\)
○
De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit
\(x^{2} + 2 x + 1 = -x^{2} + 4 x + 5\)
\(2 x^{2} - 2 x - 4 = 0\)
\(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = (-2)^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ -4 = 36\) geeft
\(x = {2 - \sqrt{36} \over 2 ⋅ 2} = -1 ∨ x = {2 + \sqrt{36} \over 2 ⋅ 2} = 2\)
1p
○
\(x_{A} = -1 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-1) = 0\)
1p
○
\(g'(x) = -2 x + 4\)
1p
○
\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-1) = 6 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = 6 x + b \\ \text{door } A (-1 , 0)\end{rcases} \begin{matrix}6 ⋅ -1 + b = 0 \\ -6 + b = 0 \\ b = 6\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = 6 x + 6 \text{.}\)
1p
○
Snijpunt \(C\) volgt uit
\(x^{2} + 2 x + 1 = 6 x + 6\)
\(x^{2} - 4 x - 5 = 0\)
\((x + 1) (x - 5) = 0\)
\(x = -1 ∨ x = 5\)
1p
○
\(x_{C} = 5 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(5) = 36\) en
\(C (5 , 36) \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + 2\frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{1}{3} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-5 \text{.}\)
4p
Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\)
○
\(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + 2\frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{1}{3}\) geeft \(f'(x) = x^{2} + 5 x + 1 \text{.}\)
1p
○
\(f'(x) = -5\) geeft
\(x^{2} + 5 x + 1 = -5\)
\(x^{2} + 5 x + 6 = 0\)
\((x + 3) (x + 2) = 0\)
\(x = -3 ∨ x = -2 \text{.}\)
1p
○
\(f(-3) = 10\frac{5}{6} \text{,}\) dus \(A (-3 , 10\frac{5}{6}) \text{.}\)
1p
○
\(f(-2) = 5\frac{2}{3} \text{,}\) dus \(B (-2 , 5\frac{2}{3}) \text{.}\)
1p