Toepassingen van de afgeleide functie

\(f'(x)=-5x^4+10x^2+15\)

\(f'(\sqrt{3})=-5(\sqrt{3})^4+10(\sqrt{3})^2+15=0\)

Schets:

\(f'(\sqrt{3})=0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x=\sqrt{3}\text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x=\sqrt{3}\text{.}\)

\(f'(x)=6x^2+42x+60\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(6x^2+42x+60=0\)
\(x^2+7x+10=0\)
\((x+5)(x+2)=0\)
\(x=-5∨x=-2\)

Schets:

max. is \(f(-5)=-48\) en min. is \(f(-2)=-75\text{.}\)

\(f'(x)=-12x^3-36x^2+48x\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(-12x^3-36x^2+48x=0\)
\(x^3+3x^2-4x=0\)
\(x(x+4)(x-1)=0\)
\(x=0∨x=-4∨x=1\)

Schets:

max. is \(f(-4)=339\text{,}\) min. is \(f(0)=-45\) en max. is \(f(1)=-36\text{.}\)

\(f(x)=\sqrt{4x-2}-\frac{2}{3}x=(4x-2)^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}x\) geeft
\(f'(x)=\frac{1}{2}⋅(4x-2)^{-\frac{1}{2}}⋅4-\frac{2}{3}={2 \over \sqrt{4x-2}}-\frac{2}{3}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\({2 \over \sqrt{4x-2}}-\frac{2}{3}=0\)
\({2 \over \sqrt{4x-2}}=\frac{2}{3}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(2\sqrt{4x-2}=6\)
\(\sqrt{4x-2}=3\)

Kwadrateren geeft
\(4x-2=9\)
\(x=2\frac{3}{4}\)

Schets:

max. is \(f(2\frac{3}{4})=1\frac{1}{6}\text{.}\)

\(4x-2≥0\) geeft \(x≥\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(D_f=[\frac{1}{2}, \rightarrow ⟩\text{.}\)

max. is \(f(2\frac{3}{4})=1\frac{1}{6}\text{,}\) dus \(B_f=⟨\leftarrow , 1\frac{1}{6}]\text{.}\)

Uitdelen geeft
\(f(x)={4x^2+25 \over 5x}={4x^2 \over 5x}+{25 \over 5x}=\frac{4}{5}x+5x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x)=\frac{4}{5}+5⋅-1⋅x^{-2}=\frac{4}{5}-{5 \over x^2}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{4}{5}-{5 \over x^2}=0\)
\(\frac{4}{5}={5 \over x^2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(4x^2=25\)
\(x^2=\frac{25}{4}\)
\(x=\sqrt{\frac{25}{4}}=2\frac{1}{2}∨x=-\sqrt{\frac{25}{4}}=-2\frac{1}{2}\)

Schets:

min. is \(f(-2\frac{1}{2})=-4\) en max. is \(f(2\frac{1}{2})=4\text{.}\)

\(f(-2)=-1\text{,}\) dus \(A(-2, -1)\)

\(f(x)={10 \over 6x+2}=10(6x+2)^{-1}\) geeft
\(f'(x)=10⋅-1⋅(6x+2)^{-2}⋅6={-60 \over (6x+2)^2}\)

\(\text{rc}_k=f'(-2)=-\frac{3}{5}\)

\(\text{rc}_k⋅\text{rc}_l=-1\) geeft \(\text{rc}_l=\frac{5}{3}\text{,}\) dus \(y=1\frac{2}{3}x+b\)

\(\begin{rcases}y=1\frac{2}{3}x+b \\ \text{door }A(-2, -1)\end{rcases}\begin{matrix}1\frac{2}{3}⋅-2+b=-1 \\ -3\frac{1}{3}+b=-1 \\ b=2\frac{1}{3}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=1\frac{2}{3}x+2\frac{1}{3}\text{.}\)

\(B(0, 2\frac{1}{3})\)

\(f(1)=3\text{,}\) dus \(A(1, 3)\text{.}\)

\(f(x)=-4x^3+4x^2+5x-2\) geeft \(f'(x)=-12x^2+8x+5\text{.}\)

Stel \(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=f'(1)=1\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=x+b \\ \text{door }A(1, 3)\end{rcases}\begin{matrix}1⋅1+b=3 \\ 1+b=3 \\ b=2\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=x+2\text{.}\)

De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit
\(x^2+x-1=-x^2-x+3\)
\(2x^2+2x-4=0\)
\(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c\text{-}\)formule met \(D=2^2-4⋅2⋅-4=36\) geeft
\(x={-2-\sqrt{36} \over 2⋅2}=-2∨x={-2+\sqrt{36} \over 2⋅2}=1\)

\(x_A=-2\text{,}\) dus \(y_A=g(-2)=1\)

\(g'(x)=-2x-1\)

\(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=g'(-2)=3\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=3x+b \\ \text{door }A(-2, 1)\end{rcases}\begin{matrix}3⋅-2+b=1 \\ -6+b=1 \\ b=7\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=3x+7\text{.}\)

Snijpunt \(C\) volgt uit
\(x^2+x-1=3x+7\)
\(x^2-2x-8=0\)
\((x+2)(x-4)=0\)
\(x=-2∨x=4\)

\(x_C=4\text{,}\) dus \(y_C=f(4)=19\) en
\(C(4, 19)\text{.}\)

\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-13x+1\frac{2}{3}\) geeft \(f'(x)=x^2-2x-13\text{.}\)

\(f'(x)=-5\) geeft
\(x^2-2x-13=-5\)
\(x^2-2x-8=0\)
\((x+2)(x-4)=0\)
\(x=-2∨x=4\text{.}\)

\(f(-2)=21\text{,}\) dus \(A(-2, 21)\text{.}\)

\(f(4)=-45\text{,}\) dus \(B(4, -45)\text{.}\)