Toepassingen van de afgeleide functie

\(f'(x)=-4x^4+7x^2+15\)

\(f'(\sqrt{3})=-4(\sqrt{3})^4+7(\sqrt{3})^2+15=0\)

Schets:

\(f'(\sqrt{3})=0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x=\sqrt{3}\text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x=\sqrt{3}\text{.}\)

\(f'(x)=3x^2+18x+24\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(3x^2+18x+24=0\)
\(x^2+6x+8=0\)
\((x+4)(x+2)=0\)
\(x=-4∨x=-2\)

Schets:

max. is \(f(-4)=-28\) en min. is \(f(-2)=-32\text{.}\)

\(f'(x)=-12x^3-24x^2+36x\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(-12x^3-24x^2+36x=0\)
\(x^3+2x^2-3x=0\)
\(x(x+3)(x-1)=0\)
\(x=0∨x=-3∨x=1\)

Schets:

max. is \(f(-3)=176\text{,}\) min. is \(f(0)=41\) en max. is \(f(1)=48\text{.}\)

\(f(x)=\frac{1}{2}x-\sqrt{x-3}=\frac{1}{2}x-(x-3)^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}⋅(x-3)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}-{1 \over 2\sqrt{x-3}}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{1}{2}-{1 \over 2\sqrt{x-3}}=0\)
\(-{1 \over 2\sqrt{x-3}}=-\frac{1}{2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(2\sqrt{x-3}=2\)
\(\sqrt{x-3}=1\)

Kwadrateren geeft
\(x-3=1\)
\(x=4\)

Schets:

min. is \(f(4)=1\text{.}\)

\(x-3≥0\) geeft \(x≥3\text{,}\) dus \(D_f=[3, \rightarrow ⟩\text{.}\)

min. is \(f(4)=1\text{,}\) dus \(B_f=[1, \rightarrow ⟩\text{.}\)

Uitdelen geeft
\(f(x)={2x^2+7x+18 \over 7x}={2x^2 \over 7x}+{7x \over 7x}+{18 \over 7x}=\frac{2}{7}x+1+\frac{18}{7}x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x)=\frac{2}{7}+\frac{18}{7}⋅-1⋅x^{-2}=\frac{2}{7}-{18 \over 7x^2}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{2}{7}-{18 \over 7x^2}=0\)
\(\frac{2}{7}={18 \over 7x^2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(14x^2=126\)
\(x^2=9\)
\(x=\sqrt{9}=3∨x=-\sqrt{9}=-3\)

Schets:

min. is \(f(-3)=-\frac{5}{7}\) en max. is \(f(3)=2\frac{5}{7}\text{.}\)

\(f(4)=-3\text{,}\) dus \(A(4, -3)\)

\(f(x)={-6 \over 2x-6}=-6(2x-6)^{-1}\) geeft
\(f'(x)=-6⋅-1⋅(2x-6)^{-2}⋅2={12 \over (2x-6)^2}\)

\(\text{rc}_k=f'(4)=3\)

\(\text{rc}_k⋅\text{rc}_l=-1\) geeft \(\text{rc}_l=-\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(y=-\frac{1}{3}x+b\)

\(\begin{rcases}y=-\frac{1}{3}x+b \\ \text{door }A(4, -3)\end{rcases}\begin{matrix}-\frac{1}{3}⋅4+b=-3 \\ -1\frac{1}{3}+b=-3 \\ b=-1\frac{2}{3}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{1}{3}x-1\frac{2}{3}\text{.}\)

\(B(0, -1\frac{2}{3})\)

\(f(-2)=-9\text{,}\) dus \(A(-2, -9)\text{.}\)

\(f(x)=2x^3+6x^2+6x-5\) geeft \(f'(x)=6x^2+12x+6\text{.}\)

Stel \(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=f'(-2)=6\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=6x+b \\ \text{door }A(-2, -9)\end{rcases}\begin{matrix}6⋅-2+b=-9 \\ -12+b=-9 \\ b=3\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=6x+3\text{.}\)

De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit
\(x^2+3x+1=-x^2-4x+5\)
\(2x^2+7x-4=0\)
\(abc\text{-}\)formule met \(D=7^2-4⋅2⋅-4=81\) geeft
\(x={-7-\sqrt{81} \over 2⋅2}=-4∨x={-7+\sqrt{81} \over 2⋅2}=\frac{1}{2}\)

\(x_A=-4\text{,}\) dus \(y_A=g(-4)=5\)

\(g'(x)=-2x-4\)

\(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=g'(-4)=4\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=4x+b \\ \text{door }A(-4, 5)\end{rcases}\begin{matrix}4⋅-4+b=5 \\ -16+b=5 \\ b=21\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=4x+21\text{.}\)

Snijpunt \(C\) volgt uit
\(x^2+3x+1=4x+21\)
\(x^2-x-20=0\)
\((x+4)(x-5)=0\)
\(x=-4∨x=5\)

\(x_C=5\text{,}\) dus \(y_C=f(5)=41\) en
\(C(5, 41)\text{.}\)

\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-3\frac{1}{2}x^2+7x+3\frac{1}{2}\) geeft \(f'(x)=x^2-7x+7\text{.}\)

\(f'(x)=-5\) geeft
\(x^2-7x+7=-5\)
\(x^2-7x+12=0\)
\((x-3)(x-4)=0\)
\(x=3∨x=4\text{.}\)

\(f(3)=2\text{,}\) dus \(A(3, 2)\text{.}\)

\(f(4)=-3\frac{1}{6}\text{,}\) dus \(B(4, -3\frac{1}{6})\text{.}\)