Vectoren en hoeken

HoekInDriehoek
00qf - Vectoren en hoeken - 4ms
code
00qf
vaardigheid
Vectoren en hoeken
start-up
4ms

Gegeven zijn de punten \(\text{P} (1 , -2) \text{,}\) \(\text{Q} (5 , 0)\) en \(\text{R} (3 , 7) \text{.}\)

3p

Bereken de hoek \(\angle R\kern{-.8pt}P\kern{-.8pt}Q \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{r} - \overrightarrow{p} = \begin{pmatrix}3 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 9\end{pmatrix}\)
en \(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{q} - \overrightarrow{p} = \begin{pmatrix}5 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

○

\(\cos(\angle R\kern{-.8pt}P\kern{-.8pt}Q) = {\begin{pmatrix}2 \\ 9\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 9\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {26 \over \sqrt{85} ⋅ \sqrt{20}} \text{.}\)

1p

○

\(\angle R\kern{-.8pt}P\kern{-.8pt}Q = \cos^{-1}({26 \over \sqrt{85} ⋅ \sqrt{20}}) ≈ 50{,}9\degree\)

1p

HoekTussenTweeLijnen
00qe - Vectoren en hoeken - 0ms
code
00qe
vaardigheid
Vectoren en hoeken
start-up
0ms

Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ -1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -4\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}4 \\ -7\end{pmatrix} \text{.}\)

2p

Bereken de hoek tussen deze lijnen.

○

\(\cos(\angle (k , l)) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}4 \\ -7\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}4 \\ -7\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {12 \over \sqrt{9} ⋅ \sqrt{65}}\)

1p

○

\(\angle (k , l) = \cos^{-1}({12 \over \sqrt{9} ⋅ \sqrt{65}}) ≈ 60{,}3\degree\)

1p

HoekTussenTweeVectoren
00qd - Vectoren en hoeken - 0ms
code
00qd
vaardigheid
Vectoren en hoeken
start-up
0ms

Gegeven zijn de vectoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}0 \\ -2\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}4 \\ -6\end{pmatrix} \text{.}\)

2p

Bereken de hoek tussen deze vectoren.

○

\(\cos(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b})) = {\begin{pmatrix}0 \\ -2\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}4 \\ -6\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ -2\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}4 \\ -6\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {12 \over \sqrt{4} ⋅ \sqrt{52}} \text{.}\)

1p

○

\(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = \cos^{-1}({12 \over \sqrt{4} ⋅ \sqrt{52}}) ≈ 33{,}7\degree\)

1p