Vectorvoorstelling van een lijn
Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-7 \\ -1\end{pmatrix} ∧ -5 ≤ t ≤ -1 \text{.}\)
2p
Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk.
○
\(t = -5\) geeft \(x = 7 - 5 ⋅ -7 = 42\) en \(y = 5 - 5 ⋅ -1 = 10 \text{,}\) dus \((42 , 10) \text{.}\)
1p
○
\(t = -1\) geeft \(x = 7 - 1 ⋅ -7 = 14\) en \(y = 5 - 1 ⋅ -1 = 6 \text{,}\) dus \((14 , 6) \text{.}\)
1p
Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix} \text{.}\)
3p
Onderzoek of het punt \(A (30 , 9)\) op \(l\) ligt.
○
\(x = 30\) geeft
\(2 + 7 t = 30\)
\(7 t = 28\)
\(t = 4 \text{.}\)
1p
○
\(t = 4\) geeft \(y = 5 + 4 ⋅ 1 = 9 \text{.}\)
1p
○
Dus \(A\) ligt op \(l \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de lijnen
\(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\)
4p
Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)
○
[Gelijkstellen geeft]
\(\begin{cases}-5 + t = -1 + 3 u \\ 1 + 4 t = 2 + 2 u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}t - 3 u = 4 \\ 4 t - 2 u = 1\end{cases}\)
1p
○
\(\begin{cases}t - 3 u = 4 \\ 4 t - 2 u = 1\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}4 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 t - 12 u = 16 \\ 4 t - 2 u = 1\end{cases}\)
1p
○
Aftrekken geeft \(-10 u = 15\) en dus \(u = -1\frac{1}{2}\)
1p
○
\(u = -1\frac{1}{2}\) geeft \(x = -1 + 3 ⋅ -1\frac{1}{2} = -5\frac{1}{2}\) en \(y = 2 + 2 ⋅ -1\frac{1}{2} = -1 \text{,}\) dus \(S (-5\frac{1}{2} , -1) \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-4 \\ -2\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,4 x - 3 y = 0 \text{.}\)
3p
Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)
○
Substitutie geeft
\(4 (2 - 4 t) - 3 (-4 - 2 t) = 0 \text{.}\)
1p
○
\(8 - 16 t + 12 + 6 t = 0\)
\(-10 t + 20 = 0\)
\(-10 t = -20\)
\(t = 2 \text{.}\)
1p
○
Invullen van \(t = 2\) in de vectorvoorstelling geeft
\(x = 2 + 2 ⋅ -4 = -6\)
en
\(y = -4 + 2 ⋅ -2 = -8\)
dus \(S (-6 , -8) \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \(A (-6 , 4) \text{,}\) \(B (-2 , 5)\) en \(C (3 , -7) \text{.}\)
2p
Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\)
○
\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}3 \\ -7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ -12\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}-6 \\ 4\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6 \\ 4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}5 \\ -12\end{pmatrix}\)
1p
Gegeven zijn de punten \(A (4 , 1)\) en \(B (0 , 7) \text{.}\)
2p
Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\)
○
\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}0 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ 6\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-4 \\ 6\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \(A (4 , 1)\) en \(B (3 , 5) \text{.}\)
2p
Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)
○
\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\)
1p