Wandelingen over platte figuren

2e - 5 oefeningen

Vierkant (1)
00ph - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 41ms
Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 10.2

Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (1 , 4)\) en \(B (6 , 2) \text{.}\) Zie het figuur.

OxyABCD

3p

Bereken de coördinaten van het punt \(C \text{.}\)

\(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 \\ 2\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{BA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-2 \\ -5\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

\(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{BA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}6 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2 \\ -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

De coördinaten van punt \(C\) zijn dus \((4 , -3) \text{.}\)

1p

Vierkant (2)
00po - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms
Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 10.2

Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (2 , 0)\) en \(C (6 , 3) \text{.}\) Zie het figuur.

xyACBD

4p

Bereken de coördinaten van het punt \(D \text{.}\)

Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}C \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}4 \\ 1\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

\(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ 1\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ -1\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-1\frac{1}{2} \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

\(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}4 \\ 1\frac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\frac{1}{2} \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\frac{1}{2} \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

De coördinaten van punt \(D\) zijn dus \((2\frac{1}{2} , 3\frac{1}{2}) \text{.}\)

1p

Wandeling (1)
00pw - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms
Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 10.2

Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (2 , 1)\) en \(B (6 , 0) \text{.}\) Zijde \(A\kern{-.8pt}D\) is een diagonaal van vierkant \(A\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}F \text{.}\) Zie het figuur.

OxyABCDEF

6p

Bereken de coördinaten van het punt \(F \text{.}\)

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ -1\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{AB}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-1 \\ -4\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

\(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AB}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}D \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{d}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1\frac{1}{2} \\ -1\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

\(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\frac{1}{2} \\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 2\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}2 \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

\(\overrightarrow{f} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}1\frac{1}{2} \\ -1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ -1\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

De coördinaten van punt \(F\) zijn dus \((3\frac{1}{2} , -1\frac{1}{2}) \text{.}\)

1p

Wandeling (2)
00px - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms
Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 10.2

Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (0 , 7)\) en \(B (3 , 2) \text{.}\) Op diagonaal \(A\kern{-.8pt}C\) liggen de punten \(E\) en \(F\) met \(A\kern{-.8pt}E = E\kern{-.8pt}F = F\kern{-.8pt}C \text{.}\) Lijnstuk \(C\kern{-.8pt}F\) is een zijde van vierkant \(C\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}G\kern{-.8pt}H \text{.}\) Zie het figuur.

OxyABCDEFGH

7p

Bereken de coördinaten van het punt \(H \text{.}\)

\(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}0 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 5\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{BA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-5 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

\(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{BA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-5 \\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ -1\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}-2 \\ -1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ -8\end{pmatrix}\)

1p

\(\overrightarrow{f} = \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}0 \\ 7\end{pmatrix} + \frac{2}{3} \begin{pmatrix}-2 \\ -8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\frac{1}{3} \\ 1\frac{2}{3}\end{pmatrix}\)

1p

\(\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{f} - \overrightarrow{c} = \begin{pmatrix}-1\frac{1}{3} \\ 1\frac{2}{3}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2 \\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{2}{3} \\ 2\frac{2}{3}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{CF}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-2\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3}\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

\(\overrightarrow{h} = \overrightarrow{c} + \overrightarrow{CF}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-2 \\ -1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3}\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

De coördinaten van punt \(H\) zijn dus \((-4\frac{2}{3} , -\frac{1}{3}) \text{.}\)

1p

Wandeling (3)
00py - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms
Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 10.2

Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (2 , 5)\) en \(C (6 , 0) \text{.}\) Zijde \(A\kern{-.8pt}B\) is een zijde van vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}F \text{.}\) Op zijde \(A\kern{-.8pt}F\) liggen de punten \(G\) en \(H\) met \(A\kern{-.8pt}G = G\kern{-.8pt}H = H\kern{-.8pt}F \text{.}\) Zie het figuur.

OxyACBDEFGH

8p

Bereken de coördinaten van het punt \(G \text{.}\)

Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}C \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}4 \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

\(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ -2\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

\(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}4 \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}1\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} \\ -4\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{AB}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-4\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

\(\overrightarrow{f} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AB}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-4\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ 5\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

\(\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{f} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ 5\frac{1}{2}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}\)

1p

\(\overrightarrow{g} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AF} = \begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} + \frac{1}{3} \begin{pmatrix}-4\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 5\frac{1}{6}\end{pmatrix}\)

1p

De coördinaten van punt \(G\) zijn dus \((\frac{1}{2} , 5\frac{1}{6}) \text{.}\)

1p

00ph 00po 00pw 00px 00py