Wandelingen over platte figuren
Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (2 , 7)\) en \(B (6 , 0) \text{.}\) Zie het figuur.
3p
Bereken de coördinaten van het punt \(C \text{.}\)
○
\(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ 7\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{BA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{BA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}13 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
De coördinaten van punt \(C\) zijn dus \((13 , 4) \text{.}\)
1p
Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (0 , 2)\) en \(C (6 , 3) \text{.}\) Zie het figuur.
4p
Bereken de coördinaten van het punt \(B \text{.}\)
○
Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}C \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}3 \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}3 \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
De coördinaten van punt \(B\) zijn dus \((3\frac{1}{2} , -\frac{1}{2}) \text{.}\)
1p
Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (2 , 1)\) en \(C (5 , 7) \text{.}\) Op zijde \(A\kern{-.8pt}B\) liggen de punten \(E\) en \(F\) met \(A\kern{-.8pt}E = E\kern{-.8pt}F = F\kern{-.8pt}B \text{.}\) Zie het figuur.
6p
Bereken de coördinaten van het punt \(F \text{.}\)
○
Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}C \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5 \\ 7\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\frac{1}{2} \\ -3\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}3 \\ -1\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ 4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3 \\ -1\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}6\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ 1\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\overrightarrow{f} = \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} + \frac{2}{3} \begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ 1\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 2\end{pmatrix}\)
1p
○
De coördinaten van punt \(F\) zijn dus \((5 , 2) \text{.}\)
1p
Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (6 , 5)\) en \(B (7 , 0) \text{.}\) Het punt \(E\) is het midden van zijde \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\) Lijnstuk \(B\kern{-.8pt}E\) is een diagonaal van vierkant \(B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}G \text{.}\) Zie het figuur.
7p
Bereken de coördinaten van het punt \(G \text{.}\)
○
\(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}7 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 5\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{BA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{BA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}7 \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12 \\ 1\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{e} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}7 \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}12 \\ 1\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}9\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}\)
1p
○
Noem \(M\) het midden van diagonaal \(B\kern{-.8pt}E \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{e}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}7 \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}9\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}8\frac{1}{4} \\ \frac{1}{4}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}7 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}8\frac{1}{4} \\ \frac{1}{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MB}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{4} \\ 1\frac{1}{4}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{g} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MB}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}8\frac{1}{4} \\ \frac{1}{4}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\frac{1}{4} \\ 1\frac{1}{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 \\ 1\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
De coördinaten van punt \(G\) zijn dus \((8 , 1\frac{1}{2}) \text{.}\)
1p
Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (1 , 4)\) en \(C (6 , 3) \text{.}\) Op zijde \(A\kern{-.8pt}D\) liggen de punten \(E\) en \(F\) met \(A\kern{-.8pt}E = E\kern{-.8pt}F = F\kern{-.8pt}D \text{.}\) Lijnstuk \(A\kern{-.8pt}E\) is een zijde van vierkant \(A\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}G\kern{-.8pt}H \text{.}\) Zie het figuur.
8p
Bereken de coördinaten van het punt \(H \text{.}\)
○
Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}C \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 6\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\overrightarrow{e} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix} + \frac{1}{3} \begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 4\frac{2}{3}\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{e} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}2 \\ 4\frac{2}{3}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ \frac{2}{3}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{AE}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-\frac{2}{3} \\ 1\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{h} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AE}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\frac{2}{3} \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{3} \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
De coördinaten van punt \(H\) zijn dus \((\frac{1}{3} , 5) \text{.}\)
1p